孫桂林，江炎蘭

（1.海軍航空工程學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)研究所，山東 煙臺 264001；2.國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，長沙 410073）

0 引言

自1807年傅里葉變換問世以來，迅速在科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域得到了深入的研究和廣泛的運用。正是由于這些研究和應(yīng)用，逐漸暴露了傅里葉變換在研究某些問題及處理某些特殊數(shù)據(jù)時的局限性。

1946年，D.Gabor[1]從一個方向改進了傅里葉變換，給出了以他的名字命名的Gabor變換，最終導(dǎo)致小波分析的出現(xiàn)；而V.Namias[2]從完全不同的角度出發(fā)，在1980年給出了傅里葉變換的改進形式，也就是分數(shù)階傅里葉變換（也稱為分數(shù)傅里葉變換）。

1993年，分數(shù)階傅里葉變換由Mondlovic[3-4]等人最先引入到光學(xué)研究中。Ozaktas 和Mendlovic[4]提出用平方折射率光波導(dǎo)（GRIN）實現(xiàn)分數(shù)階傅里葉變換，而Lohmann[5]等人利用傅里葉變換相當(dāng)于Wigner 分布函數(shù)相空間中角度為π/2的旋轉(zhuǎn)的這一性質(zhì)，闡釋了分數(shù)階傅里葉變換的物理意義，并提出利用非常簡單的單透鏡和雙透鏡結(jié)構(gòu)實現(xiàn)分數(shù)階傅里葉變換，也就是Lohmann I 和LohmannII 光學(xué)結(jié)構(gòu)。

自此，由透鏡分立光學(xué)元件組成的光學(xué)系統(tǒng)成為分數(shù)階傅里葉變換光學(xué)實現(xiàn)的重要方式之一。

本文利用ABCD 定律分析了實現(xiàn)分數(shù)階傅里葉變換的3個基本光學(xué)系統(tǒng)；歸納了分數(shù)階傅里葉變換在光學(xué)中的應(yīng)用；最后指出了分數(shù)階傅里葉變換在光學(xué)系統(tǒng)中進一步的發(fā)展方向。

1 分數(shù)階傅里葉變換的變換矩陣及光場表達式

1.1 分數(shù)階傅里葉變換矩陣

已知謝爾維斯特定理，

已知傅里葉變換矩陣為

設(shè)P/Q 階傅里葉變換矩陣為

根據(jù)分數(shù)階傅里葉變換的定義，得到

利用謝爾維斯特定理及以上各式，解得

1.2 光場表達式

由柯林斯（Collins）公式，經(jīng)ABCD 矩陣變換前后的光場關(guān)系為：

將變換矩陣式(5)代入Collins 式(6)中，可以得到P/Q 階傅里葉變換后的光場的表達式：

式(7)即為光學(xué)上P/Q 階分數(shù)階傅里葉變換的積分表達式。

2 光學(xué)系統(tǒng)對分數(shù)階傅里葉變換的實現(xiàn)

一般認為，光學(xué)上有3種方式可以實現(xiàn)分數(shù)階傅里葉變換，即類透鏡介質(zhì)光波導(dǎo)、Lohmann I 和Lohmann II 光學(xué)結(jié)構(gòu)。下面利用傳輸矩陣方法分別討論這3種基本光學(xué)結(jié)構(gòu)是如何實現(xiàn)分數(shù)階傅里葉變換的。

2.1 類透鏡介質(zhì)實現(xiàn)分數(shù)階傅里葉變換

正透鏡介質(zhì)中的折射率與徑向關(guān)系為，

式中，β ＞0，且β＜＜1，n β、分別為折射率和參數(shù)，則傳輸矩陣為

與分數(shù)階傅里葉變換矩陣式(5)比較可知，對于正透鏡介質(zhì)當(dāng)傳輸距離為時，實現(xiàn)階傅里葉變換。

2.2 Lohmann I 光學(xué)系統(tǒng)

Lohmann I 光學(xué)系統(tǒng)是利用類單透鏡前后焦面關(guān)系，設(shè)計P/Q 階傅里葉變換光學(xué)系統(tǒng)，圖1給出了該光學(xué)系統(tǒng)的表示。

圖1 Lohmann I 光學(xué)系統(tǒng)

此光學(xué)系統(tǒng)的傳輸矩陣為：

式中：

由此我們可以看到，

與分數(shù)階傅里葉變換矩陣式(5)對比，我們可以看到當(dāng)fP/Q、LP/Q滿足式(11)條件時，Lohmann I光學(xué)系統(tǒng)即可實現(xiàn)分數(shù)階傅里葉變換。

2.3 Lohmann II 光學(xué)系統(tǒng)

圖2給出了利用兩個完全相同的透鏡和一段傳輸距離設(shè)計分數(shù)階傅里葉變換系統(tǒng)。

圖2 Lohmann II 光學(xué)系統(tǒng)

此光學(xué)系統(tǒng)的傳輸矩陣為：

式中，

由此我們可以看到，

與分數(shù)階傅里葉變換矩陣式(5)對比，我們可以看到當(dāng)fP/Q、LP/Q滿足式(13)條件時，Lohmann II光學(xué)系統(tǒng)即可實現(xiàn)分數(shù)階傅里葉變換。

3 分數(shù)階傅里葉變換在光學(xué)中的應(yīng)用

分數(shù)階傅里葉變換比傅里葉變換在處理各種問題時更加靈活。因此，自問世以來分數(shù)階傅里葉變換在各個領(lǐng)域的應(yīng)用研究便是一個熱點。分數(shù)階傅里葉變換是傅里葉變換的推廣。因此，在傅里葉變換適用的領(lǐng)域分數(shù)階傅里葉變換也同樣適用，并呈現(xiàn)出新的特性。

3.1 分數(shù)階傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用

由于分數(shù)階傅里葉變換具有傅里葉變換在圖像處理中所不具有的一些重要性質(zhì)，因此在圖像處理中較傅里葉變換有更廣泛的應(yīng)用[6]。

基于分數(shù)階傅里葉變換的圖像加密和復(fù)原。目前應(yīng)用傅里葉變換光學(xué)系統(tǒng)對圖像進行加密的方法已遠遠不能滿足現(xiàn)實要求。2000年，G.Unnikrishnan和劉樹田[7-9]等人提出用分數(shù)階傅里葉變換實現(xiàn)圖像的雙隨機相位加密后，由于其對傅里葉變換系統(tǒng)保密性能的優(yōu)化，使得利用分數(shù)階傅里葉變換進行圖像加密迅速成為國內(nèi)外研究的熱點[10-13]。1995年，Mendlovic D[14-15]等人又提出變形分數(shù)階傅里葉變換光學(xué)實現(xiàn)的理論。此后不斷有利用變形分數(shù)傅里葉變換進行圖像加密和復(fù)原的研究出現(xiàn)[16-19]。由于每個自由度的加密階數(shù)不定，加密位置、數(shù)量不定，使得加密后的圖像更加安全，圖像的破解更加困難。圖像復(fù)原是原系統(tǒng)的逆過程，加密的復(fù)雜性也就增加了解密的復(fù)雜性。利用分數(shù)階傅里葉變換進行圖像加密是現(xiàn)在研究的熱點?？梢韵胍?，由于變形分數(shù)傅里葉變換進行圖像加密的優(yōu)越性，必然是未來理論和技術(shù)研究的熱點。

基于分數(shù)階傅里葉變換的圖像數(shù)字水印技術(shù)是將版權(quán)信息隱藏于被保護的數(shù)字信息內(nèi)，因而有效的數(shù)字水印算法應(yīng)具有水印信息的不可見性、抗噪音魯棒性和較高容量。原始的數(shù)字水印算法是利用小波的雙域分析能力，由此聯(lián)想到分數(shù)階傅里葉變換也是雙域的，并且具有優(yōu)于小波變換的全域特性。我們把水印信息隱藏在被保護信息的低頻分數(shù)傅里葉譜部分的系數(shù)上，并同時將水印信息做離散分數(shù)傅里葉變換，用它的低頻分量代替水印信息。這樣既降低了水印嵌入的信息量，又可以增加水印信息的安全性[20-21]。

分數(shù)階傅里葉變換全息圖。分數(shù)階傅里葉變換全息圖[22]是在分數(shù)階傅里葉變換域上用全息的方法記錄下的物光波的分數(shù)階傅里葉變換分布，由于分數(shù)階傅里葉變換自由度的變化，因此不僅能記錄物體的信息，也記錄了記錄系統(tǒng)的信息，開拓了分數(shù)階傅里葉變換的更多應(yīng)用領(lǐng)域。全息圖的記錄和再現(xiàn)方式的數(shù)字式實現(xiàn)是目前全息術(shù)的一個重要方向。

3.2 基于分數(shù)階傅里葉變換的聯(lián)合相關(guān)器

在模式識別中，基于分數(shù)階傅里葉變換聯(lián)合相關(guān)器較傳統(tǒng)的基于傅里葉變換的聯(lián)合相關(guān)器有較大改善[23-25]，尤其是在畸變物體或多個物體識別中更是顯示出很大的優(yōu)越性[26-28]。近年來也出現(xiàn)了變形分數(shù)階傅里葉變換相關(guān)器的一些研究[29]。分數(shù)相關(guān)器是通過對畸變信號的補償來實現(xiàn)較好的相關(guān)輸出的，而變形分數(shù)傅里葉變換相關(guān)器是通過兩個自由度的畸變補償實現(xiàn)相關(guān)輸出。文獻[29]指出分數(shù)階傅里葉變換相關(guān)器較傳統(tǒng)相關(guān)器有較大改善，但是實際應(yīng)用中由于受到儀器精度的限制，還沒有得到廣泛應(yīng)用。

3.3 利用分數(shù)階傅里葉變換分析光學(xué)諧振腔

利用光學(xué)傳輸矩陣和含透鏡的光腔的分數(shù)階傅里葉變換的性質(zhì)分析諧振腔的穩(wěn)定性在方法上是比較方便的，并且在物理圖像上是比較直觀的[30-31]。

4 結(jié)論

本文對分數(shù)階傅里葉變換的發(fā)展歷程進行了簡單回顧，應(yīng)用ABCD 矩陣方法分析了實現(xiàn)分數(shù)階傅里葉變換的3個基本光學(xué)系統(tǒng)，并就分數(shù)階傅里葉變換在光學(xué)中的幾種應(yīng)用進行了歸納總結(jié)。

自分數(shù)階傅里葉變換出現(xiàn)以來人們就一直對它不斷進行研究。變形分數(shù)傅里葉變換相較分數(shù)階傅里葉變換又有許多特別的優(yōu)勢，但是變形分數(shù)傅里葉變換的光學(xué)實現(xiàn)對儀器精度要求比較高，計算量比較大?？梢韵胍?，由于變形分數(shù)傅里葉變換的特殊性質(zhì)，未來對分數(shù)階傅里葉變換的研究必然傾向于對變形分數(shù)傅里葉變換的研究。而且伴隨著理論和技術(shù)的提高，必然會為變形分數(shù)傅里葉變換提供更廣闊的發(fā)展空間。

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