刁俊東，葉曉峰，陳躍輝

(華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，江西南昌330013)

對(duì)于強(qiáng)奇異Calderón-Zygmund算子T來說，它是Calderón-Zygmund奇異積分算子的推廣，其核函數(shù)在原處具有更強(qiáng)的奇性。它的模型是一類乘子算子Tα，β，其定義為其中0＜α＜1和β＞0。Fefferman和Stein在文獻(xiàn)[1]中把乘子算子擴(kuò)充到一類卷子算子上，從而得到它的弱(1，1)和相關(guān)空間的有界性，Hirschman[2]，Wainger[3]得到了它在Lq(1＜q＜∞)上的有界性。Alvarez[4]又進(jìn)一步的研究了非卷積型奇異積分算子，使奇性核更強(qiáng)，從而廣泛的應(yīng)用到數(shù)學(xué)的眾多分支和相關(guān)領(lǐng)域，并取得了大量的成果，這篇文章是進(jìn)一步拓展了它在特殊空間的有界性。

1 定義及主要結(jié)果

定義1 T:S→S′是有界的線性算子，稱T是Calderón-Zygmund型強(qiáng)奇異積分算子，是指T滿足以下3個(gè)條件:

(1)T可以連續(xù)擴(kuò)張為L(zhǎng)2→L2上的有界算子;

(2)存在一個(gè)在{(x，y):x≠y}上的連續(xù)函數(shù)K(x，y)，當(dāng)2時(shí)，滿足

其中:0＜δ≤1，0＜α＜1，且還滿足

(3)對(duì)某一β，n(1-α)/2≤β＜n/2，T和它的共軛算子T*可以連續(xù)擴(kuò)充為L(zhǎng)q到L2上的有界算子，其中:1/q=1/2+β/n。

Alvarez[4]等證明了強(qiáng)奇異Calderón-Zygmund算子T的(L∞，BMO)的有界性和弱(L1，L1)有界性;并且由插值定理可以得到T是Lp(Rn)有界的，1＜p＜∞。Lin Yan[5]得到強(qiáng)奇異Calderón-Zygmund算子與Lipschitz函數(shù)b生成的交換子[b，T]在morrey空間是有界的;Li Jun feng[6]得到了強(qiáng)奇異Calderón-Zygmund算子與Lipschitz函數(shù)b生成的交換子[b，T]從Lp(Rn)到Lq(Rn)上的有界性。這里涉及到Lipschitz函數(shù)b，它是一類特殊函數(shù)，能夠和算子結(jié)合構(gòu)成交換子，擴(kuò)大了算子的作用。

定義2 當(dāng)0＜β0＜1時(shí)，Lipschitz空間是滿足下列條件的函數(shù)組成的空間

定義3 b∈Lipβ(Rn)(0＜β＜1)，m∈N和0＜p≤1，1≤r≤∞，1＜s＜∞，一個(gè)函數(shù)a(x)被稱作(p，s;bm)原子，如果它滿足以下條件:

根據(jù)以上結(jié)論，想到它在Hardy型空間上是否有界呢?其次文獻(xiàn)[3]得到了強(qiáng)奇異Calderón-Zygmund算子與Lipschitz函數(shù)b生成的交換子[b，T]從Lp(Rn)到Lq(Rn)上的有界性，那么它在Hardy型空間上是否有界呢?本文將得到。

定理1 T是一個(gè)Calderón-Zygmund型強(qiáng)奇異積分算子，n≥2，α，β，δ如定義1所述

定理2 T是一個(gè)Calderón-Zygmund型強(qiáng)奇異積分算子，n≥2，α，β，δ，β0如定義1和定義4所述

其中:

2 定理的證明

定理1的證明

證明 設(shè)aj是一個(gè)緊支集在B=B(x0，r)上的a(p，s;bm)原子，根據(jù)題意知，證明定理1只需要證明‖Ta(x)‖q≤C，因?yàn)?/p>

現(xiàn)在來估計(jì)當(dāng)0＜r≤1時(shí)的情況

由以上兩種情況討論可知

定理2的證明

證明 設(shè)aj是一個(gè)緊支集在B=B(x0，r)上的a(p，s;bm)原子，根據(jù)題意，證明定理2只需要證明‖[b，T]a(x)‖q≤C‖b‖，這是因?yàn)?/p>

首先來估計(jì)II，在這里由于q＞1，根據(jù)T是Lp(Rn)有界的，當(dāng)1＜p＜∞時(shí)，所以可以得到T在Lq(Rn)是有界的。再結(jié)合H?lder不等式和1/p=1/q+β0/n可得

對(duì)于I，下面分情況討論。

當(dāng)r＞1時(shí)

因?yàn)閞＞1，所以當(dāng)x∈(2B)c，y∈B時(shí)，有

由a的消失性和Minkowski不等式以及定義1中條件(2)，得到I2的估計(jì)

現(xiàn)在來估計(jì)當(dāng)0＜r≤1時(shí)的情形

由以上兩種情況討論可知

[1] HIRSCHMAN I I.Onmultiplier transformations[J].DukeMath，1957(26):221-242.

[2] WAING S.Special trigonometric series in k-dimensions[J].Mem AmerMath Soc，1965(59):1-102.

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