郭素娟， 吳 鳴， 李江濤

1 鄭州大學綜合設計研究院（450002） 2 核工業(yè)第五研究設計院（450052）

0 引言

有限單元法（也稱為有限元法）是在當今工程分析中獲得最廣泛應用的數(shù)值計算方法。由于它的通用性和有效性，受到工程技術界的高度重視。伴隨著計算機科學和技術的快速發(fā)展，現(xiàn)已成為計算機輔助設計（CAD）和計算機輔助制造（CAM）的重要組成部分。

1 有限單元法基本原理

1.1 要點

有限元法的理論是建立在加權余量法和變分原理的基礎上的,用有限元法來分析工程或物理問題的要點可歸納如下:

1）將一個表示結構或連續(xù)的求解域離散為若干個子域（單元），并通過它們邊界上的結點相互聯(lián)結成為組合體。

2）用每個單元內所假設的近似函數(shù)來分片地表示權求解域內待求的未知場變量,而每個單元內的近似函數(shù)由未知場函數(shù)在單元各結點上的數(shù)值和與其對應的插值函數(shù)來表達（此表達式通常表示為矩陣形式）。由于相鄰單元結點的場函數(shù)數(shù)值相同，可作為數(shù)值求解的基本未知量。因而，求解原來待求場函數(shù)的無窮多自由度問題轉換成為求解場函數(shù)結點值的有限自由度問題。

1.2 一般格式

將二維或三維連續(xù)體離散為有限個單元的集合體時，通常要求單元具有簡單而規(guī)則的幾何形狀以便計算。常用的二維單元有三角形或矩形，常用的三維單元有四面體、五面體或平行六面體。同樣形狀的單元還可有不同的單元的結點數(shù)，因此單元的種類繁多。如何選擇合適的單元進行計算，涉及導求解問題的類型、對計算精度的要求等方面的因素。

1）位移模式的選擇

單元中的位移模式一般采用廣義坐標為待定參數(shù)的有限元多項式作為近似函數(shù)，其選取原則可考慮以下幾點:

①廣義坐標是由結點場變量確定的,它的個數(shù)應與結點自由度數(shù)相等。如3結點三角形單元有6個結點自由度（結點位移），廣義坐標個數(shù)應取6個，因此兩個方向的位移和各取三項多項式；對于4結點的矩形單元，廣義坐標數(shù)為8，位移函數(shù)可取四項多項式作為近似函數(shù)。

②選取多項式時，常數(shù)項和坐標的一次項必須完備。位移模式中的常數(shù)項和一次項反映了單元剛體位移和常應變的特性。當劃分的單元數(shù)趨向于無窮大時，單元縮小趨于一點，此時單元應變趨于常應變。

③多項式的選取應由低階到高階，盡量選取完全多項式以提高單元的精度。一般來說，對于單元每邊有2個端結點的應保證一次完全多項式,每邊有3個結點的應取二次完全多項式。若由于項數(shù)限制不能選取完全多項式時，選擇的多項式應具有坐標的對稱性；并且，一個坐標方向的次數(shù)不應超過完全多項式的次數(shù)，以保證相鄰單元交界面（線）上位移的協(xié)調性。

2）位移插值函數(shù)的建立

在選定廣義坐標有限元的位移模式以后，重要的步驟就是建立單元位移場的插值函數(shù)表達式?，F(xiàn)給出廣義坐標有限元的一般步驟和表達式如下:

①以廣義坐標為待定參數(shù)，給出單元內位移u，則:

u=Φβ

其中，Φ為位移模式，表示位移作為坐標的函數(shù)中所包含的項數(shù)。

②用單元結點ae～位移表示廣義坐標β，慣用的單元結點位移排列是:

ae=[u1v1u2v2…]T

為便于求解廣義坐標β，可采用另一種表示方法，如

ae=[u1u2…v1v2]T

將單元結點坐標代入u=Φβ，得到

③將單元結點位移表示單元位移函數(shù)u，得到單元插值函數(shù)矩陣N。

u=ΦA-1ae～=～Nae～

將結點位移ae～改為一般排列順序ae，則有

u=Nae

④以單元結點位移ae表示單元應變，并得到應變矩陣B，則:

ε=Lu=Bae

1.3 有限元分析的執(zhí)行步驟

1）對結構進行離散

按問題的幾何特點和精度要求等因素劃分單元并形成網格，即將原來的連續(xù)體離散為在結點處相互聯(lián)結的有限單元組合體。

2）形成單元剛度矩陣和等效結點荷載列陣

單元剛度矩陣的一般表達式為:

其中，B為應變矩陣，D為材料彈性矩陣，為單元體積。

考慮到單元存在初應力和初應變,單元等效結點荷載列陣的一般表達式為:

3）集成結構的剛度矩陣和等效結點荷載列陣

其中，PF為直接作用于結點的集中力。

4）引入幾何邊界條件

通常幾何邊界條件（變分問題中為強制邊界條件）的形式是在若干結點上給定場函數(shù)的值，即:

5）求解有限元方程，得到結點位移a

ε=Lu=Bae

6）計算單元應變和應力

ε=Bae

σ=D(ε-ε0)+σ0=DBae-Dε0+σ0

（7）進行必要的后處理。

2 結論

1）用有限元進行分析，可以很精確地得到各個截面的內力和變形,為設計提供參考，這是傳統(tǒng)方法不容易做到的。

2）對于更復雜的結構，傳統(tǒng)方法需要做大量的簡化，造成很大的近似，而有限元能輕松應付，得出比較符合實際的結論。

[1]王勖成.有限單元法[M].北京:清華大學出版社,2003

[2]曾攀編著.有限元分析及應用[M].北京:清華大學出版社,2004