胡生青 于路軍

(江陰市青陽中學(xué) 江蘇江陰 214401)

動(dòng)能定理是中學(xué)物理課程中的重要規(guī)律之一,也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,它將狀態(tài)量的變化與過程量聯(lián)系起來.應(yīng)用動(dòng)能定理解題時(shí),只需考慮始末運(yùn)動(dòng)狀態(tài),無需關(guān)注運(yùn)動(dòng)過程中的細(xì)節(jié)變化,顯得簡捷與方便,因此深受老師和同學(xué)的歡迎.應(yīng)用物理規(guī)律解決問題時(shí),若對物理概念的本質(zhì)認(rèn)識上存在問題,將造成誤用物理規(guī)律.筆者在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生在應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)易犯兩個(gè)錯(cuò)誤:一是研究對象為質(zhì)點(diǎn)系時(shí),將研究對象當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)模型仍使用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理;二是在某一方向上運(yùn)用動(dòng)能定理.本文擬就此二問題作詳盡探討.

1 質(zhì)點(diǎn)系問題

1.1 非質(zhì)點(diǎn)模型

平時(shí)教學(xué)中我們常接觸到物體間通過繩或桿相連的質(zhì)點(diǎn)系;高考試題中也出現(xiàn)過討論人在運(yùn)動(dòng)時(shí)有關(guān)能量轉(zhuǎn)化問題[1].此類研究對象在問題中為非質(zhì)點(diǎn)模型,高中所學(xué)的動(dòng)能定理能適用嗎?

【例1】(2006年全國高考卷)一位質(zhì)量為m的運(yùn)動(dòng)員從下蹲狀態(tài)向上起跳,經(jīng) Δt時(shí)間,身體伸直并剛好離開地面,速度為v0.在此過程中

B.地面對他的沖量為mv+mgΔt,地面對他做的功為為零

D.地面對他的沖量為mv-mgΔt,地面對他做的功為零

【析與解】以人為研究對象根據(jù)動(dòng)量定理得

解得

在討論地面對人做功問題時(shí),不少同學(xué)將人當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)模型,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理,誤認(rèn)為地面對人做了功為.而事實(shí)上,人在起跳的過程中地面對人作用力的作用點(diǎn)沒發(fā)生位移,地面對人做功為零,故答案選B.

人起跳過程就像一個(gè)被壓縮的彈簧在彈起的過程中釋放了彈性勢能,彈力做了多少功就有多少彈性勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能.其實(shí)人是自己做了功,通過功能關(guān)系知道人做功是能量轉(zhuǎn)化的過程,它是把人體內(nèi)的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為人體的動(dòng)能.在本題中不能把人看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn),應(yīng)將人構(gòu)建成質(zhì)點(diǎn)系模型;由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理可知,人獲得的動(dòng)能是人體內(nèi)力做功的結(jié)果.

1.2 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理

在由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)中,對每一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理,求和后得到

其中 A是組成系統(tǒng)的各質(zhì)點(diǎn)所受所有外力功和內(nèi)力功的代數(shù)和,即上式可寫成

就是所有外力功和所有內(nèi)力功的代數(shù)和等于其動(dòng)能增量.即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化等于系統(tǒng)所受的外力做功與內(nèi)力做功之和.這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理.應(yīng)注意,內(nèi)力做功并不一定為零,只有當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變(輕繩或輕桿類連接體),內(nèi)力做功才為零,一般情況內(nèi)力做功不為零.內(nèi)力做功與所選擇的參照系無關(guān),因?yàn)閮?nèi)力總是成對出現(xiàn)的,對作用力和反作用力(內(nèi)力)所做功的代數(shù)和取決于相對位移,而相對位移與選擇的參照系無關(guān).

【例2】輕繩一端掛一質(zhì)量為M的物體,另一端系在質(zhì)量為m的圓環(huán)上,圓環(huán)套在豎直固定的細(xì)桿上,定滑輪與細(xì)桿相距0.3m,如圖1所示.將環(huán)拉至與定滑輪在同一水平高度上,再將環(huán)由靜止釋放,圓環(huán)沿桿向下滑動(dòng)的最大位移為0.4m.若不計(jì)一切摩擦阻力(g取10m/s2),求:

(1)物體與圓環(huán)的質(zhì)量之比;

(2)圓環(huán)下落0.3m時(shí)的速度大小.

圖1

(2)環(huán)下落0.3 m時(shí),物體上升的位移

物體的速度為

繩的拉力對環(huán)和物體做功的代數(shù)和為零.由質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理有

用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理求解連接體問題時(shí),選取質(zhì)點(diǎn)組,找各力作用的位移大小關(guān)系,各質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的速度大小的關(guān)系,看質(zhì)點(diǎn)組各外力的功和各內(nèi)力的功的代數(shù)和,確定各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的初動(dòng)能和末動(dòng)能,然后建立方程求解.

中學(xué)物理教材中的動(dòng)能定理只適用于單個(gè)質(zhì)點(diǎn),對動(dòng)能定理應(yīng)用于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)沒有介紹.而在教學(xué)中常常出現(xiàn)多個(gè)質(zhì)點(diǎn)連接在一起的情況,如果對每個(gè)質(zhì)點(diǎn)列動(dòng)能定理方程,這樣求解問題相當(dāng)復(fù)雜.若在復(fù)習(xí)動(dòng)能定理的基礎(chǔ)上介紹質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理,既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,也符合學(xué)生身心發(fā)展特點(diǎn),學(xué)生很容易接受.所以筆者認(rèn)為有必要在此介紹質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理.把動(dòng)能定理的適用范圍推廣到系統(tǒng),用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理來解決研究對象為非質(zhì)點(diǎn)模型問題.

2 動(dòng)能定理有分量表達(dá)式嗎

【例3】如圖2所示,一個(gè)帶正電小球,電荷為q,質(zhì)量為m,從O點(diǎn)以速度v豎直向上射入勻強(qiáng)電場中,場強(qiáng)為E,小球到達(dá)運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)為P.求:

(1)OP的水平距離;

(2)小球在P點(diǎn)的動(dòng)能.

圖2

【析與解】小球在運(yùn)動(dòng)過程中受豎直向下的重力和水平向右的電場力作用,故可將運(yùn)動(dòng)分解為水平方向初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的勻減速度直線運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)P時(shí),它在豎直方向上速度為零,所以有0=v-gt.在 t時(shí)間內(nèi)小球運(yùn)動(dòng)的水平距離x,聯(lián)立上述方程

動(dòng)能定理是標(biāo)量式,不存在某一方向上的動(dòng)能,也不存在某個(gè)方向上的力做功,部分同學(xué)錯(cuò)誤地列出某一方向上的動(dòng)能定理方程,是對物理概念本質(zhì)的認(rèn)識上存在問題.

筆者認(rèn)為以上兩點(diǎn)對動(dòng)能定理的誤用,有學(xué)生學(xué)習(xí)不到位的因素,也有我們教學(xué)的原因.在平時(shí)習(xí)題中涉及到研究對象基本上是質(zhì)點(diǎn)模型,很少遇到研究對象為質(zhì)點(diǎn)系模型.若在教學(xué)中教師呈現(xiàn)的物理情景中出現(xiàn)非質(zhì)點(diǎn)模型,有意識地對學(xué)生進(jìn)行針對性訓(xùn)練,相信誤用的概率就要小得多.另外,講動(dòng)能定理理論時(shí),若能對公式的矢量性讓學(xué)生進(jìn)行討論,也會降低誤用.

上面的求解是將復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為簡單的直線運(yùn)動(dòng)來處理的.但在求解第(2)小問時(shí),有部分同學(xué)在水平方向上運(yùn)用動(dòng)能定理來求解,Ek-0=

1 胡生青.對人體內(nèi)力做功的討論.物理通報(bào),2008(11)