劉微微,張 靜

(哈爾濱理工大學(xué) 自動化學(xué)院,哈爾濱 150080)

0 引 言

對于單級倒立擺系統(tǒng),目前已有多種控制方法可對其實現(xiàn)穩(wěn)擺控制。典型的有線性 PID控制[1-2]、常規(guī)PID控制[3]、LQR控制、智能控制[4]等。其中,LQR控制方法的優(yōu)勢在于其控制方案簡單,超調(diào)量小,且響應(yīng)速度快,該方法不僅對單級倒立擺系統(tǒng)能夠進行有效控制,且已經(jīng)成功地應(yīng)用于直線雙倒立擺[5]和雙足機器人[6]的控制。

魯棒穩(wěn)定性是衡量控制系統(tǒng)控制品質(zhì)優(yōu)劣的一個重要指標(biāo)[7],鑒于LQR控制方法已有的控制優(yōu)勢,有必要對該控制方法的魯棒穩(wěn)定性做詳細分析,以進一步驗證LQR控制方法的控制優(yōu)勢。本文針對單級倒立擺系統(tǒng),完成了系統(tǒng)建模及LQR控制的MATLAB仿真,通過增加系統(tǒng)自身的擾動及LQR控制器中加權(quán)陣R的改變考察該控制方法的魯棒穩(wěn)定性,對比仿真結(jié)果表明該控制方法魯棒穩(wěn)定性良好。在較大的系統(tǒng)參數(shù)攝動下系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)的時間變化較小。

1 單級倒立擺系統(tǒng)建模

單級倒立擺的控制目標(biāo)是:由倒擺和小車組成的倒立擺在適當(dāng)?shù)目刂屏ψ饔孟?在有限長度的導(dǎo)軌上,受到干擾后,倒立擺仍然能夠豎直立穩(wěn)[8],即θ≈0,且小車位移x≈0(圖1)。

實際的單級倒立擺系統(tǒng)比較復(fù)雜,除了各組成器件的非線性外,還受到各種干擾,為分析其本質(zhì),需要對實際系統(tǒng)進行簡化[9]。簡化約束條件如下:

1)將擺桿視為質(zhì)量均勻分布的剛體細桿;

2)各部分的摩擦力與相對速度成正比;

3)施加在滑塊上的驅(qū)動力與加在功率放大器上的輸入電壓成正比,并無延時地施加到滑塊上;

圖1 倒立擺系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of inverted pendulum system

4)皮帶輪與傳送帶之間無滑動,傳送帶無伸長現(xiàn)象;

5)除滑塊與導(dǎo)軌之間的摩擦及擺桿轉(zhuǎn)軸的摩擦外其它摩擦及阻尼的影響均忽略。

設(shè)擺桿偏離垂直線的角度為θ,同時規(guī)定擺桿重心的坐標(biāo)為(xG,yG),則有:

根據(jù)牛頓定律,建立水平和垂直運動狀態(tài)方程。

擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動運動可用力矩方程來描述:

式中I為擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動慣量。

擺桿重心的水平運動由下式描述:

擺桿重心的垂直運動由下式描述:

小車的水平運動由下式描述:

假設(shè)θ很小,sinθ≈θ,cosθ≈1。則以上各式變?yōu)?

得到的單級倒立擺方程為:

控制指標(biāo)共有4個,即單級倒立擺的擺角θ、擺速˙θ、小車位置x和小車速度˙x。將倒立擺運動方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程的形式。令x(1)=θ,x(2)=˙θ,x (3)=x,x(4)=˙x,則狀態(tài)方程式為:

2 單級倒立擺系統(tǒng)LQR控制

LQR方法[10]針對狀態(tài)方程˙x=Ax+Bu,通過確定最佳控制量u(t)=-K x(t)的矩陣K,使得控制性能指標(biāo)達到極小,其中Q為正定(或半正定)厄米特或?qū)崒ΨQ矩陣,R為正定厄米特或?qū)崒﹃嚲仃?Q和R分別表示了誤差和能量損耗的相對重要性,Q中對角矩陣的各個元素分別代表各項指標(biāo)誤差的相對重要性。LQR控制器的增益為:

3 MATLAB環(huán)境下的單級倒立擺系統(tǒng)LQR控制仿真

倒立擺參數(shù)選取:

取重力加速度g=9.8 m/s2;

小車質(zhì)量M=1.0 kg;

桿的質(zhì)量m=0.1 kg;

半桿長L=0.75 m;

小車相對于導(dǎo)軌的摩擦系數(shù)μc=0.000 5;

桿相對于小車的摩擦系數(shù)μp=0.000 002;

小車控制力F,即控制力的輸出,在[-10,10]上連續(xù)取值。采樣周期T=10 ms。

初始條件取θ(0)=-10,˙θ(0)=0,x(0)= 0.15,˙x(0)=0,期望狀態(tài)為θ(0)=0°,˙θ(0)=0, x(0)=0,˙x(0)=0。

仿真結(jié)果見圖2,LQR控制器輸出曲線見圖3。

4 LQR控制方法魯棒性分析

魯棒性是衡量控制系統(tǒng)控制品質(zhì)的重要指標(biāo),通過以上的仿真結(jié)果可以看出LQR控制方法是可行且有效的。對該方法的魯棒性分析主要從以下3個方面進行:①改變小車質(zhì)量和擺桿長度;②改變初始擺角和小車位置;③改變Q和R的取值。

其中前兩個方面是分析倒立擺系統(tǒng)自身擾動對控制效果的影響,即驗證該方法的穩(wěn)定魯棒性;后一方面是分析控制器參數(shù)變化對控制效果的影響,即驗證該方法的品質(zhì)魯棒性。

4.1 改變小車質(zhì)量和擺桿長度

取M=1.090,L=0.25,m=0.13;此時的控制器增益變?yōu)镵=(-33.542 3,-5.132 6,-1.000 0,-2.324 9)。

改變小車質(zhì)量和擺桿長度后的響應(yīng)結(jié)果見圖4。

圖4 改變小車質(zhì)量和擺桿長度后的響應(yīng)結(jié)果Fig.4 Response of changes in the pendulum length of the car

4.2 改變初始擺角和小車位置

取θ(0)=-20,˙θ(0)=0,x(0)=0.20,˙x(0)= 0;此時的控制器增益為 K=(-34.369 6, -7.911 3,-1.000 0,-2.411 3)。

改變初始擺角和小車位置后的響應(yīng)結(jié)果見圖5。

圖5 改變初始擺角和小車位置后的響應(yīng)結(jié)果Fig.5 Response of changes in the initial pendulum angle and the car

4.3 改變控制器中Q與R的值

采用LQR方法,關(guān)鍵是選擇加權(quán)矩陣Q,一般Q越大,系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)的時間越短。這里選擇一個較為理想的Q值,R值仍取1。

此時的控制器增益為K=(-120.170 0, -21.740 8,-22.360 7,-22.342 6)。

改變加權(quán)陣Q后的響應(yīng)結(jié)果見圖6,控制力輸出曲線見圖7。

5 仿真實驗結(jié)果分析

利用LQR方法可以成功實現(xiàn)對單級倒立擺的控制,小車位置x和擺角θ上升時間達到了0.8 s,過渡時間2.5 s,通過增加倒擺系統(tǒng)自身的擾動從3個方面分析了LQR方法的魯棒性,對比仿真實驗結(jié)果可以看出該方法具有較強的魯棒穩(wěn)定性,受到擾動后的倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性良好。增大加權(quán)陣Q使得系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)的時間控制在了1.5 s,且各情況下的擺角θ超調(diào)量均＜25%。

6 結(jié) 論

魯棒穩(wěn)定性是衡量控制系統(tǒng)控制品質(zhì)的重要指標(biāo),本文通過3組不同參數(shù)的變化考察了LQR控制方法的魯棒穩(wěn)定性。倒立擺系統(tǒng)是一個多變量、非線性、強耦合的絕對不穩(wěn)定系統(tǒng),采用常規(guī)的PID控制效果一般較差,主要因為常規(guī)的PID控制器實際上是一種線性控制器。本文針對單級倒立擺系統(tǒng)采用最優(yōu)控制中的LQR控制方法,是對系統(tǒng)進行局部的線性化,通過仿真實驗得到該方法作用于倒立擺系統(tǒng)是可行且有效的,在較大的系統(tǒng)參數(shù)攝動下依然能夠保持系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

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