張宏生，陸念力

(哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院，哈爾濱150001，hszhanghit@gmail.com)

塔式起重機(簡稱塔機)廣泛應用于高層建筑施工、大型設備吊裝等諸多領域，在建筑施工中是無可替代的.動臂式塔機的吊臂通過俯仰變化來實現(xiàn)變幅，吊臂在吊重和變幅繩的共同作用下，近似只承受軸向壓力，因此吊臂的整體穩(wěn)定性一直是設計人員關注的焦點.動臂式塔機吊臂的結構特點是由變截面的根部段、頭部段以及等截面的中間段組成的非等截面混合結構，吊臂通過根部鉸與塔身連接，變幅鋼絲繩固定在吊臂頭部.故在起升平面內，吊臂的支撐形式可簡化為簡支式，在起升平面外為懸臂式.

對于等截面柱和幾種簡單的變截面柱的穩(wěn)定性，Timoshenko［1］給出精確解.為了準確地分析由變截面段和等截面段組成的非等截面混合結構穩(wěn)定性，很多學者進行了研究.Rahai［2］使用修正的振動模態(tài)法和能量法研究了非等截面混合結構的穩(wěn)定性.Bazeos［3］根據(jù)變截面不同變化率和不同邊界條件得到無量綱化的歐拉臨界力圖表，然后利用插值法快速計算結構的歐拉臨界力.樓夢麟［4］提出了基于Ritz展開的模態(tài)攝動法來求解變截面壓桿穩(wěn)定性問題的半解析方法.在使用有限元方法進行分析時，單元剛度陣的準確性直接影響計算結果.對于等截面梁，文獻［5］從彎曲微分方程出發(fā)得到精確的Bernoulli-Euler梁單元的剛度陣.由于變截面梁的復雜性和多樣性，很多學者提出了各種變截面梁單元［6-10］，一般來說，很難獲得統(tǒng)一的精確剛度陣.對于階梯柱模型，文獻［11］使用等截面梁精確有限元法得到了階梯柱的遞推公式.在起重機設計規(guī)范GB/T 3811-1983中將變截面柱等效為修正計算長度的等截面柱，對于變截面段和等截面段組成的非等截面混合結構穩(wěn)定性，只考慮了變截面段對稱的這一特殊情形.

本文從多節(jié)階梯柱的撓度微分方程出發(fā)，應用傳遞矩陣法，研究了簡支梁模型和懸臂梁模型這兩種支撐形式，得到多節(jié)階梯柱模型歐拉臨界力控制方程的表達式.使用各節(jié)長度相等的多節(jié)階梯柱模型模擬變截面柱，對于由變截面柱和等截面柱組成的非等截面混合結構，可統(tǒng)一為多節(jié)階梯柱模型.

1 多節(jié)階梯柱的傳遞矩陣法

如圖1所示的n節(jié)階梯柱模型，其中Li為第i節(jié)柱頂端到根部的長度，Ii為第i節(jié)柱的截面慣性矩，L為多節(jié)階梯柱總長，P為頂部軸力，E為彈性模量.

圖1 多節(jié)階梯柱模型

對于分段等截面梁模型，可列寫第i節(jié)柱的撓度微分方程為

式中:L0=0，Ln=L，δ為頂部位移.

方程(1)的通解為

由邊界條件x=Li時，yi=yi+1且y'i=y'i+1，得到

記

式(3)可表示為

記

式(4)可表示為

因此可得到傳遞矩陣關系為

當δ=0時，式(1)和(2)即為簡支梁模型的撓度微分方程及其通解，不難證明，對于簡支梁模型的待定系數(shù)仍將滿足式(9)傳遞矩陣關系.

懸臂梁模型的根部邊界條件為y1(0)=0且y'0(0)=0，解出

簡支梁模型的根部邊界條件為y1(0)=0，解出

懸臂梁模型的頂部邊界條件為yn(L)=δ，簡支梁模型的頂部邊界條件為yn(L)=0，可統(tǒng)一表示為

由式(8)和式(5)可獲得臨界失穩(wěn)特征方程為

應用邊界條件(6)或(7)可分別求出懸臂梁模型或簡支梁模型的歐拉臨界力.需要指出的是，本文推導的求解多節(jié)階梯柱的歐拉臨界力的傳遞矩陣法，既沒有限制每節(jié)柱的長度，也沒有限制每節(jié)柱的截面慣性矩，也未包含任何附加假定，對多節(jié)階梯柱模型來說，本文方法得到的臨界載荷P的控制方程式(9)是精確的.

2 計算結果與比較

本文將變截面梁柱以n節(jié)長度相等的非等截面階梯柱來模擬，隨著分節(jié)數(shù)目的增多，多節(jié)階梯柱模型計算結果將趨近于精確解.對幾個經典算例進行穩(wěn)定性分析，來驗證本文方法的準確性.為了便于比較，引入量綱為一的穩(wěn)定系數(shù)m=PcrL2/EI2.

在計算過程中，為了簡化計算，式(6)和式(7)中可以取δ=-1和A1=1.每節(jié)階梯柱使用各節(jié)變截面兩端慣性矩的中間值，計算結果較為精確，推薦使用

其中Ii和Ij分別為每小節(jié)變截面柱的兩端慣性矩.

例1 圖2所示為截面慣性矩為4次變化的變截面柱，a為反映截面錐度的常數(shù)，I1/I2=1/2，a/(a+L)=(1/2)1/4.圖2(a)為懸臂梁模型，其精確的歐拉臨界力［1］為Pcr=2.002EI2/L2;圖2(b)為簡支梁模型，其精確的歐拉臨界力［1］為Pcr=6.979EI2/L2，使用本文多節(jié)階梯柱的傳遞矩陣法，分成n節(jié)長度相等的非等截面階梯柱來計算歐拉臨界力，計算結果比較如表1，2所示.

圖2 截面慣性矩按四次變化的變截面柱

表1 截面慣性矩四次變化懸臂梁模型穩(wěn)定系數(shù)m值

表2 截面慣性矩四次變化簡支梁模型穩(wěn)定系數(shù)m值

例2 圖3所示為截面慣性矩按2次變化的變截面柱，a為反映截面錐度的常數(shù)，I1/I2= 3/10，a/(a+L)=(3/10)1/2.圖3(a)為懸臂梁模型，其精確的歐拉臨界力［1］為Pcr=1.763EI2/L2;圖3(b)為簡支梁模型，其精確的歐拉臨界力［1］為Pcr=5.622EI2/L2，使用本文多節(jié)階梯柱的傳遞矩陣法，分成n節(jié)長度相等的非等截面階梯柱來計算歐拉臨界力，計算結果比較如表3、4所示.

圖3 截面慣性矩按二次變化的變截面柱

表3 截面慣性矩二次變化懸臂梁模型穩(wěn)定系數(shù)m值

表4 截面慣性矩二次變化簡支梁模型穩(wěn)定系數(shù)m值

其中表1～4的精確值來自文獻［1］，從表中可以看出，本文多節(jié)階梯柱傳遞矩陣法的計算精度很高，用6節(jié)階梯柱模擬變截面柱求解整體穩(wěn)定性，將得到很好的計算結果，誤差均小于0.5%.

例3 某動臂式塔機吊臂模型如圖4所示，由a、c兩段慣性矩按2次變化的變截面段和b段等截面段組成，圖4(a)為平面內簡支式整體穩(wěn)定性計算模型;圖4(b)為平面外懸臂式整體穩(wěn)定性計算模型.La=0.2L，Lc=0.3L，Ia1/Ib1=0.3，Ic1/Ib1=0.4，Ib2/Ia2=0.9，Ic2/Ib2=0.4.引入無量綱穩(wěn)定系數(shù) m1= PcrL2/EIb1和 m2= PcrL2/EIa2，使用通用有限元軟件 ANSYS中的Beam44變截面梁單元，并將各段分為10～80個單元，對于平面內和平面外兩種模型，由ANSYS計算得到m值如表5所示.使用本文多節(jié)階梯柱的傳遞矩陣法，等截面段只分為1節(jié)，變截面段分為2～6節(jié)，計算結果如表6所示，其中表6中相對誤差比較的對象為使用ANSYS將每段分為80個單元得到的解.

圖4 動臂式塔機吊臂模型

表5 動臂式塔機吊臂模型ANSYS計算穩(wěn)定系數(shù)m值

表6 動臂式塔機吊臂模型穩(wěn)定系數(shù)m值

3 結論

1)本文推導的求解多節(jié)階梯柱歐拉臨界力的傳遞矩陣法，對多節(jié)階梯柱模型，該方法是精確的.當使用該方法以多節(jié)長度相等的非等截面階梯柱來模擬變截面柱，會產生誤差，但是隨著劃分節(jié)數(shù)的增多，誤差逐漸減小.

2)本文推薦將每段變截面柱劃分為6節(jié)長度相等的非等截面階梯柱，求解整體穩(wěn)定性的歐拉臨界力誤差小于0.5%，精度很高.對于變截面和等截面組成的非等截面混合結構，其等截面段只需劃分為1節(jié)，變截面段劃分為6節(jié)將得到滿意的結果.

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