王安祥， 李繼軍， 翟學(xué)軍， 張曉軍

(1.西安工程大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710048； 2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

圖1 地球表面上的空間轉(zhuǎn)動(dòng)參照系

0 前 言

地球自轉(zhuǎn)對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響主要就是科里奧利力的影響，一些教材上[1-3]只給出了物體自由落體運(yùn)動(dòng)的近似結(jié)果，在此之前的文獻(xiàn)[4-7]多是研究物體自由落體運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)，并且大多數(shù)忽略了空氣阻力.本文將計(jì)算不考慮空氣阻力時(shí)物體自由下落和豎直上拋運(yùn)動(dòng)的精確解，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算考慮空氣阻力時(shí)物體沿任意方向拋射的近似解，以期更為客觀、真實(shí)地反映科里奧利力對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響.

1 不考慮空氣阻力情況下物體自由落體運(yùn)動(dòng)的精確解

質(zhì)點(diǎn)在x,y,z 3個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

由于物體除受重力外不受其它外力作用，即Fx=Fy=Fz=0，所以質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程可簡(jiǎn)化為

(2)

將(2)式中的第一式和第三式分別對(duì)時(shí)間積分一次，得

(3)

將上式代入(2)式中的第二式，可得

(4)

上式為受迫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)微分方程，其通解為

(5)

將上式對(duì)時(shí)間t微分一次，得

(6)

由初始條件即可確定積分常數(shù)A和B：

所以得特解：

(7)

再將上式代入(3)式，對(duì)時(shí)間積分并應(yīng)用初始條件，即可解得

(8)

圖2 自由落體運(yùn)動(dòng)的Matlab模擬

(6)式和(8)式即為在科里奧利力作用下忽略空氣阻力時(shí)物體自由落體運(yùn)動(dòng)的精確解.

假設(shè)物體從北緯45°、高度h=200m處自由落下，通過Matlab模擬可得其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示. 從圖中可以看出，物體在北半球自由落體過程中，不僅要向東偏移，而且還要向南偏移，但向南偏移的量與向東偏移的量相比要小很多.

2 不考慮空氣阻力情況下物體豎直上拋運(yùn)動(dòng)的精確解

(9)

假設(shè)物體從北緯45°、以初速度v0=40m/s將物體豎直上拋，通過Matlab模擬可得其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示. 從圖中可以發(fā)現(xiàn)，在北半球豎直上拋過程中，物體在上升階段做偏西運(yùn)動(dòng)，在下落階段仍做偏西運(yùn)動(dòng)，因此豎直上拋物體的落地點(diǎn)是偏西的，同時(shí)物體還要向北偏移，因此落地點(diǎn)偏向西北方向，但是向北偏移量與向西偏移量相比非常小. 類似地，圖4是利用Matlab模擬的在南緯45°以初速度v=40m/s將物體豎直上拋的運(yùn)動(dòng)軌跡. 從圖中可以看出，在南半球豎直上拋過程中，物體在上升和下落階段都向西偏移，同時(shí)物體還要向南偏移，因此落地點(diǎn)是偏向西南方向的.

圖3 豎直上拋運(yùn)動(dòng)的Matlab模擬(北半球)

圖4 豎直上拋運(yùn)動(dòng)的Matlab模擬(南半球)

3 考慮空氣阻力情況下的物體斜拋運(yùn)動(dòng)的近似解

(10)

上式對(duì)時(shí)間積分一次，代入初始條件得：

(11)

將(11)式整理成下面形式，得

(12)

把(11)式代入(10)式得：

(13)

由于ω2很小，為計(jì)算方便，此處略去含ω2的項(xiàng)，則有

(14)

將(12)式代入(14)式，可得

(15)

對(duì)上式進(jìn)行求解，并利用初始條件得：

(16)

上式即為考慮空氣阻力情況下物體斜拋運(yùn)動(dòng)的近似解.

假設(shè)物體從北緯45°、高度h=0m處，以x、y、z 3個(gè)軸的分量都是10m/s的初速度拋出，阻力系數(shù)b=0.01N·s/(m·kg)，通過Matlab模擬可得其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示.考慮空氣阻力下的東西拋射、南北拋射及豎直上拋僅是斜拋運(yùn)動(dòng)的特例,下面以南北拋射為例予以說明.

圖5 考慮空氣阻力下斜拋運(yùn)動(dòng)的Matlab模擬

圖6 考慮空氣阻力下南北拋射運(yùn)動(dòng)的Matlab模擬

假設(shè)物體從北緯45°、高度h=0m處，以x軸分量是-10m/s、z軸的分量是10m/s、y軸的分量為零的初速度拋出，阻力系數(shù)取b=0.01N·s/(m·kg)，通過Matlab模擬可得其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示.

從圖6可以看出，在北半球自南向北拋射物體過程中，物體向東發(fā)生偏移，也就是向物體運(yùn)動(dòng)方向的右側(cè)偏移.因此，在北半球拋體運(yùn)動(dòng)中，物體總是向著其運(yùn)動(dòng)方向的右側(cè)偏移，然而在南半球拋體運(yùn)動(dòng)中則向著其運(yùn)動(dòng)方向的左側(cè)偏移.

4 結(jié)束語

本文獲得了在不考慮空氣阻力情況下物體自由下落、豎直上拋運(yùn)動(dòng)的精確解，進(jìn)一步得到了考慮空氣阻力情況下物體沿任意方向拋射的近似解，并在Matlab模擬的基礎(chǔ)上對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行了深入分析.這些結(jié)果更為客觀、真實(shí)地反映了科里奧利力對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響，更具有普適性.

參考文獻(xiàn)

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