李春洋,陳循,易曉山,陶俊勇
(國防科技大學 機電工程與自動化學院,長沙410073)
系統(tǒng)除了正常工作和完全失效兩種狀態(tài)外,還具有多種工作(或失效)狀態(tài),或系統(tǒng)能夠在多個性能水平下運行,這樣的系統(tǒng)被稱為多態(tài)系統(tǒng)[1-3]。多態(tài)系統(tǒng)一些部件的失效或者性能衰退會導致系統(tǒng)性能的下降,同時引起整個系統(tǒng)呈現(xiàn)出多個性能水平。多態(tài)系統(tǒng)可靠性能夠詳細地、廣泛地定義部件和系統(tǒng)的可靠性,能夠透徹地分析部件性能的變化對系統(tǒng)性能和可靠性的影響,以及系統(tǒng)失效的漸變過程。
20世紀70年代多態(tài)系統(tǒng)的概念被提出之后[4-5],多態(tài)系統(tǒng)可靠性的研究得到了國外學者的廣泛關(guān)注。多態(tài)系統(tǒng)可靠性的相關(guān)理論已經(jīng)應用到電力[6-7]、網(wǎng)絡[8-9]和機械[10-11]等領(lǐng)域。我國對多態(tài)系統(tǒng)可靠性的研究相對較少,起步也比較晚,主要集中在多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析[12-14],多態(tài)系統(tǒng)共因失效分析與優(yōu)化[15-17]等方面。
多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析主要有4 種方法:布爾模型擴展法[2,18]、隨機過程[2,12,14]、Monte Carlo 仿真[19-20]和通用生成函數(shù)[1-2,6-8,15-17]。其中,通用生成函數(shù)是解決多態(tài)系統(tǒng)可靠度計算問題應用較好的方法,它能夠明確地表達部件狀態(tài)性能和對應概率與系統(tǒng)狀態(tài)性能和對應概率的關(guān)系,并且可以通過簡單的運算由部件的通用生成函數(shù)得到系統(tǒng)的通用生成函數(shù),它具有計算速度快,適用范圍廣等特點[21]。
Ushakov[22-23]首先介紹了通用生成函數(shù)的概念,隨后Levitin[1-2]和Lisnianski[2]等學者將通用生成函數(shù)引入多態(tài)系統(tǒng)可靠性領(lǐng)域,使得通用生成函數(shù)在多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析[1-2,8,15,17,24]和多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化[1-2,6-7,16,21,25-26]等方面獲得了廣泛應用。此外,An 和Huang 等利用通用生成函數(shù)建立了離散的應力-強度干涉模型[27],分析了V 帶傳動的可靠性[28]。
在以上文獻中,通用生成函數(shù)都是針對離散隨機變量,在通用生成函數(shù)中體現(xiàn)為單一變量,在利用該通用生成函數(shù)分析多態(tài)系統(tǒng)可靠性時,部件性能和系統(tǒng)性能都只有一個參數(shù)。但在實際工程中,不少系統(tǒng)具有多個性能參數(shù),特別是機電系統(tǒng)。對于具有多個性能參數(shù)的多態(tài)系統(tǒng),在利用通用生成函數(shù)進行可靠性分析時,需要對離散隨機變量的通用生成函數(shù)進行改進,以適應實際需要。
針對多性能參數(shù)多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析的需要,本文通過對變量通用生成函數(shù)[1-2,21-28]進行改進,提出向量通用生成函數(shù),定義其相應的運算符和基本性質(zhì),并且分析利用向量通用生成函數(shù)估算多態(tài)串-并聯(lián)系統(tǒng)可靠度的計算方法和詳細流程,最后利用由性能退化部件組成的串-并聯(lián)系統(tǒng)進行應用研究。
假設G =(G1,G2,…,Gm)為m 維離散隨機向量,其概率分布可以用2 個集合g 和q 描述。其中,g 表示離散隨機向量G 的M 個可能取值,有如下形式:
其中,
q 表示M 個取值分別所對應的概率,有如下形式:
其中,
且滿足
則定義離散隨機向量G 的向量通用生成函數(shù)為
式(6)所定義的向量通用生成函數(shù)與變量通用生成函數(shù)[1-2,21-28]相比,其最大不同在于式(6)中g(shù)l為向量,而變量通用生成函數(shù)中g(shù)l為變量。在對向量通用生成函數(shù)進行計算時,其計算相對比較復雜,特別是當多個離散隨機向量的維數(shù)不同,且相互之間的關(guān)系較為復雜時。
定義H =(H1,H2,…,Hm')為m'維離散隨機向量,其概率分布可以用2 個集合h 和p 描述。其中,h={h1,h2,…,hM'}表示H 所有可能的M'個取值,且hk=(hk,1,hk,2,…,hk,m'),p ={p1,p2,…,pM'}表示每個取值所對應的概率。則由式(6)知,其向量通用生成函數(shù)為
定義m″維離散隨機向量D =(D1,D2,…,Dm″)為G 和H 的函數(shù),即D=f(G,H).其中,
式(8)表示Di為Gri(1),…,Gri(ai),Hsi(1),…,Hsi(bi)的函數(shù),即Di為離散隨機向量G 的第ri(1),…,ri(ai)個分量與離散隨機向量H 的第si(1),…,si(bi)個分量的函數(shù)。其中,1≤ri(1)<…<ri(ai)≤m,ai∈{1,2,…,m},1≤si(1)<…<si(bi)≤m',bi∈{1,2,…,m'},i=1,2,…,m″.
則D 的向量通用生成函數(shù)可以通過如下復合運算獲得
其中,
在計算式(9)時,向量通用生成函數(shù)中的同類項可以合并。比如,如果f(g1,h1)=f(g2,h2),則為了簡化計算過程,可以將q1p1zf(g1,h1)和q2p2zf(g2,h2)合并為(q1p1+q2p2)zf(g1,h1).合并同類項之后可以減少離散隨機向量的可能取值數(shù),從而減少計算量。
介紹一種常用的特殊情況,當m =m' =m″時,即隨機向量維數(shù)相同,且式(8)為Di=fi(Gi,Hi)時,則式(10)可以簡化為
此時,定義如下幾個比較常用的算子
定義N 個離散隨機向量G1,G2…,GN,其對應的向量通用生成函數(shù)分別為U1(z),U2(z),…,UN(z).則向量函數(shù)f(G1,G2,…,GN)的向量通用生成函數(shù)為U1(z),U2(z),…,UN(z)的復合運算
對式(15)進行運算時,要用到向量通用生成函數(shù)的如下性質(zhì)[1-2,27]:
利用以上性質(zhì),可以最終得到向量函數(shù)f(G1,G2,…,GN)的向量通用生成函數(shù)為
式中,Msys為向量函數(shù)f(G1,G2,…,GN)的可能取值數(shù),由于可以合并同類項,故為向量函數(shù)f(G1,G2,…,GN)的可能取值,qs為對應的概率。
圖1所示的多態(tài)串-并聯(lián)系統(tǒng)由N 個分系統(tǒng)串聯(lián)組成,其中分系統(tǒng)i 并聯(lián)ni個部件。設該多態(tài)串-并聯(lián)系統(tǒng)的部件和系統(tǒng)具有多個性能參數(shù)。
圖1 多態(tài)串-并聯(lián)系統(tǒng)Fig.1 Multi-state series-parallel system
計算該系統(tǒng)的可靠度時,有以下幾個步驟。
分系統(tǒng)i 的部件j 有Mij個狀態(tài),t 時刻部件的狀態(tài)性能為gij(t)={gij1(t),gij2(t),…,gijMij(t)},對應的狀態(tài)概率為qij(t)={qij1(t),qij2(t),…,qijMij(t)}.則由式(6),其向量通用生成函數(shù)為
對于離散多態(tài)系統(tǒng),部件的狀態(tài)性能gij(t)和狀態(tài)概率qij(t)可以直接得到[1-2],對于多態(tài)退化系統(tǒng),需要對性能分布進行離散化,離散化時狀態(tài)數(shù)可以根據(jù)需要來確定,具體情況在算例中分析。
分系統(tǒng)i 由ni個部件并聯(lián)組成,分系統(tǒng)性能可以表示為
式中,Xi為分系統(tǒng)i 的性能,Gi1,Gi2,…,Gini為部件性能。
式(20)為分系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù),它表示分系統(tǒng)性能與部件性能的關(guān)系。
根據(jù)部件的向量通用生成函數(shù)(式(19))和分系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)(式(20)),利用式(15)、式(16)、式(17)計算分系統(tǒng)i 的向量通用生成函數(shù)為
式中:Mi為分系統(tǒng)i 的狀態(tài)數(shù);{xi1(t),…xiMi(t)}為t 時刻分系統(tǒng)i 的狀態(tài)性能;{qi1(t),…,qiMi(t)}為對應的狀態(tài)概率。
在得到了分系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)之后,對于并聯(lián)部件較多的情況,分系統(tǒng)i 的狀態(tài)數(shù)Mi會比較大,為了減少計算量,提高計算速度,采用狀態(tài)重新劃分法進行處理:
將Ui(z,t)的Mi個狀態(tài)重新劃分為M'i個狀態(tài),M'i<Mi,M'i的大小可以根據(jù)計算精度和實際需要來確定。重新劃分之后,分系統(tǒng)i 的狀態(tài)性能變?yōu)?/p>
對應的狀態(tài)概率變?yōu)?/p>
此時,分系統(tǒng)i 的向量通用生成函數(shù)為
狀態(tài)重新劃分法的應用比較靈活,可以在計算分系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)過程中應用,也可以在計算系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)過程中應用。
系統(tǒng)由N 個分系統(tǒng)串聯(lián)組成,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)為:
式中:Y 為系統(tǒng)性能;X1,X2,…,XN為分系統(tǒng)性能。
估算多態(tài)系統(tǒng)可靠度時,根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的特點,分3 種情況分析。
1)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)已知
如果系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)已知,系統(tǒng)性能與分系統(tǒng)性能有明確函數(shù)關(guān)系,那么在得到各分系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)之后,利用式(15)、式(16)、式(17)可以得到系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)為
式中,Msys為系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù);{y1(t),…,yMsys(t)}為t時刻系統(tǒng)的狀態(tài)性能;{q1(t),…,qMsys(t)}為對應的狀態(tài)概率。
不失一般性,設2 個向量Y=(Y1,Y2,…,Ym)和Z=(Z1,Z2,…,Zm),如果對于所有的i,都有Yi≥Zi,則定義Y≥Z;如果對于所有的i,都有Yi≥Zi,且至少有一個i 使得Yi>Zi,則定義Y >Z.
定義如下運算符
其中,
定義w 為系統(tǒng)的最小性能需求,當系統(tǒng)的狀態(tài)性能不小于w 時,系統(tǒng)可靠,否則,系統(tǒng)不可靠。因此,t 時刻系統(tǒng)可靠度為
2)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)未知
如果系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)未知,在得到分系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)之后,不能直接利用式(15)、式(16)、式(17)得到系統(tǒng)的向量通用生成函數(shù)。一般來說,對于串-并聯(lián)系統(tǒng),當各分系統(tǒng)都可靠時,系統(tǒng)可靠。因此可以根據(jù)各分系統(tǒng)的最小性能需求分別得到各分系統(tǒng)的可靠度,從而得到系統(tǒng)可靠度。
定義wi為分系統(tǒng)i 的最小性能需求,則t 時刻分系統(tǒng)i 的可靠度為
t 時刻系統(tǒng)可靠度為
3)系統(tǒng)性能與部分分系統(tǒng)性能有函數(shù)關(guān)系
如果系統(tǒng)性能與部分分系統(tǒng)性能有明確的函數(shù)關(guān)系,不失一般性,設前d(d<N)個分系統(tǒng)的性能與系統(tǒng)性能有明確函數(shù)關(guān)系,則t 時刻系統(tǒng)可靠度為
式中,R1-d(t)為前d 個分系統(tǒng)的可靠度,利用式計算;Ri(t)為t 時刻分系統(tǒng)i 的可靠度,利用式計算,i=d+1,…,N.
性能退化系統(tǒng)在工作時呈現(xiàn)出多種性能狀態(tài),是一種比較典型的多態(tài)系統(tǒng)。通過性能退化分析可以得到性能退化系統(tǒng)的退化特性,從而得到其性能可靠性[29]。一個由性能退化部件組成的多態(tài)系統(tǒng),如果各部件的性能退化特性已知,利用傳統(tǒng)的可靠性分析方法很難得到系統(tǒng)的性能可靠性。從上面的介紹中知道,向量通用生成函數(shù)可以描述部件狀態(tài)性能和對應概率與系統(tǒng)狀態(tài)性能和對應概率的關(guān)系,從而得到系統(tǒng)的性能與可靠性。下面將利用本文的分析方法進行算例分析,以驗證其有效性。
如圖2所示的串-并聯(lián)系統(tǒng)由3 個分系統(tǒng)組成,包含6 個性能退化部件。其中,部件1 和2 屬于同種類型,部件3、4 和5 屬于同種類型。假設6 個性能退化部件的退化特性已經(jīng)比較了解,部件退化性能、分系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)見表1。系統(tǒng)的最小性能需求為w=(10.0,4.5).
圖2 多臺串-并聯(lián)系統(tǒng)Fig.2 An example of multi-state series-parallel system
從表1可以看出,如果定義G6(t)≥7.0 時部件6 正常,則系統(tǒng)性能可以根據(jù)分系統(tǒng)1 和2 的性能得到,而分系統(tǒng)3(即部件6)的性能與系統(tǒng)性能沒有明確的函數(shù)關(guān)系,因此,在采用向量通用生成函數(shù)進行分析時,可以采用式進行計算,其中,d=2.
當t=10 000 h 時,如果采用Monte Carlo 仿真方法進行分析,則系統(tǒng)的可靠度約為0.812 7.下面的分析中,以Monte Carlo 仿真方法所得到的結(jié)果為參考值。
表1 部件退化性能及分系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)Tab.1 Performance of degraded components andstructure functions of subsystems and the system
如果采用傳統(tǒng)可靠性分析方法,每個部件只有兩個狀態(tài),對于部件1 和2,當部件性能不小于(5.0,4.5)時,部件1 和2 正常,分系統(tǒng)1 正常。對于部件3、4 和5,當部件性能不小于(3.4,4.5)時,部件3、4 和5 正常,分系統(tǒng)2 正常。對于部件6,當部件性能不小于7.0 時,部件6 正常,分系統(tǒng)3 正常。此時,采用傳統(tǒng)可靠性分析方法可以得到系統(tǒng)可靠度為0.470 5.
根據(jù)上面定義的2 個狀態(tài),采用向量通用生成函數(shù)進行分析,得系統(tǒng)可靠度為0.470 5;如果每個部件定義4 個狀態(tài),則系統(tǒng)可靠度為0.784 5;如果每個部件定義16 個狀態(tài),則系統(tǒng)可靠度為0.789 2.部件狀態(tài)數(shù)與系統(tǒng)可靠度的對應情況見表2.
可以看出,隨著部件狀態(tài)數(shù)的增加,采用本文方法所得到的估算結(jié)果越來越與Monte Carlo 仿真得到的參考值接近。當部件狀態(tài)數(shù)大于256 時,系統(tǒng)可靠度穩(wěn)定在0.812 6.隨著部件狀態(tài)數(shù)的增加,所得到的估算結(jié)果越來越準確,但是計算量越來越大。
表2 部件狀態(tài)數(shù)與系統(tǒng)可靠度Tab.2 Number of component states and system reliability
當部件狀態(tài)數(shù)為256 時,如果不合并同類項,分系統(tǒng)1 有2562個狀態(tài),分系統(tǒng)2 有2563個狀態(tài),系統(tǒng)有2565個狀態(tài),計算量太大而難以計算。合并同類項之后,分系統(tǒng)1 有688 個狀態(tài),分系統(tǒng)2 有2 032個狀態(tài),系統(tǒng)有3 750 個狀態(tài),系統(tǒng)的可靠度為0.812 6,計算時間為7.5 s.如果采用狀態(tài)重新劃分法將分系統(tǒng)性能重新劃分為64 個狀態(tài),則系統(tǒng)的可靠度為0.812 3,計算時間為4.7 s.可以看出,通過合并同類項和狀態(tài)重新劃分法,能夠極大地提高計算效率,特別是當部件數(shù)較多時,效果會更加明顯。
分別采用傳統(tǒng)可靠性分析方法、Monte Carlo 仿真方法和本文方法,分析時間與系統(tǒng)可靠度關(guān)系,如圖3所示。
從圖3可以看出,傳統(tǒng)可靠性分析方法在分析具有多種性能水平的多態(tài)系統(tǒng)可靠性時,所估算的可靠度與Monte Carlo 仿真方法所得到的結(jié)果相比十分保守,而本文方法與Monte Carlo 仿真方法所得結(jié)果粘合在一起,基本完全相同。
圖3 3 種方法得到的時間與系統(tǒng)可靠度關(guān)系Fig.3 The relationship between system reliability and time obtained by the three methods
1)提出了向量通用生成函數(shù)的定義和對應的運算方法,并且利用向量通用生成函數(shù)分析了多性能參數(shù)多態(tài)系統(tǒng)的可靠性問題。
2)向量通用生成函數(shù)能夠快速地估算多性能參數(shù)多態(tài)系統(tǒng)的可靠度,與Monte Carlo 仿真方法的結(jié)果對比顯示,其所得到的結(jié)果準確可信。
3)利用向量通用生成函數(shù)估算可靠度時,其估算的精度與狀態(tài)數(shù)有關(guān)。對于性能退化系統(tǒng),狀態(tài)劃分時定義的狀態(tài)數(shù)越多,計算精度越高,但計算越復雜。采用合并同類項和狀態(tài)重新劃分法可以有效減少計算量。
4)多態(tài)系統(tǒng)可靠性考慮了部件性能與系統(tǒng)性能的關(guān)系,性能與可靠度的關(guān)系,從而可以利用性能進行可靠性分析與優(yōu)化設計,這為可靠性設計的發(fā)展提供了新的思路,能夠有效避免目前工程中性能設計與可靠性設計相脫離的情況。
References)
[1]Levitin G.The universal generating function in reliability analysis and optimization[M].London:Springer,2005.
[2]Lisnianski A,Levitin G.Multi-state system reliability:Assessment,optimization and applications[M].Singapore:World Scientific,2003.
[3]Huang J S,Zuo M J.Dominant multi-state systems[J].IEEE Transactions on Reliability,2004,53(3):362 -368.
[4]Barton R M,Damon W W.Reliability in a multi-state system[C]∥Proceedings of the Sixth Annual Southeastern Symposium on Systems Theory.Louisiana:1974.
[5]Barlow R E,Wu A S.Coherent systems with multi-state components[J].Mathematics of Operations Research,1978,3:275 -281.
[6]Massim Y,Zeblah A,Meziane R,et al.Optimal design and reliability evaluation of multi-state series-parallel power systems[J].Nonlinear Dynamics,2005,40:309 -321.
[7]Taboada H A,Espiritu J F,Coit D W.Design allocation of multistate series-parallel systems for power systems planning:a multiple objective evolutionary approach[J].Journal of Risk and Reliability,2008,222(3):381 -391.
[8]Yeh W C.A simple universal generating function method for estimating the reliability of general multi-state node networks[J].IIE Transactions,2009,41:3 -11.
[9]Jane C C,Laih Y W.A practical algorithm for computing multistate two-terminal reliability[J].IEEE Transactions on Reliability,2008,57(2):295 -302.
[10]Krzysztof K,Joanna S.On multi-state safety analysis in shipping[J].International Journal of Reliability,Quality and Safety Engineering,2007,14(6):547 -567.
[11]Kolowrocki K,Kwiatuszewska-sarnecka B.Reliability and risk analysis of large systems with ageing components[J].Reliability Engineering and System Safety,2008,93:1821 -1829.
[12]宋月,劉三陽,馮海林.相鄰k-out-of-n :F 多狀態(tài)可修系統(tǒng)的可靠性分析[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2006,28(2):310-316.SONG Yue,LIU San-yang,F(xiàn)ENG Hai-lin.Reliability analysis of consecutive k-out-of-n :F repairable systems with multi-state component[J].Systems Engineering and Electronics,2006,28(2):310 -316.(in Chinese)
[13]武月琴,周泓,官建成.一類多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性計算[J].北京航空航天大學學報,2007,33(8):968 -971.WU Yue-qin,ZHOU Hong,GUAN Jian-cheng.Reliability estimation of a multi-state system[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and astronautics,2007,33(8):968 -971.(in Chinese)
[14]原菊梅,侯朝楨,高琳,等.粗糙Petri 網(wǎng)及其在多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性估計中的應用[J].兵工學報,2007,28(11):1373 -1376.YUAN Ju-mei,HOU Chao-zhen,GAO Lin,et al.Rough Petri net and its application in multi-state system reliability estimate[J].Acta Armamentarii,2007,28(11):1373 - 1376.(in Chinese)
[15]周金宇,謝里陽,王學敏.多狀態(tài)系統(tǒng)共因失效分析及可靠性模型[J].機械工程學報,2005,41(6):66 -70.ZHOU Jin-yu,XIE Li-yang,WANG Xue-min.Analysis for common cause failure and reliability model in multi-state systems[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2005,41(6):66-70.(in Chinese)
[16]Li Chun-yang,Chen Xun,Yi Xiao-shan.Redundancy optimization for multi-state system in the presence of common cause failures[C]∥The 2008 International Conference on Risk and Reliability Management.Beijing:2008:632 -636.
[17]Li Chun-yang,Chen Xun,Yi Xiao-shan,et al.Heterogeneous redundancy optimization for multi-state series-parallel systems subject to common cause failures[J].Reliability Engineering and System Safety,2010,95(3):202 -207.
[18]Zaitseva E,Levashenko V.Investigation multi-state system reliability by structure function[C]∥Proceedings of the 2nd International Conference on Dependability of Computer Systems.Poland,2007:81 -90.
[19]Ramirez-marquez J E,Coit D W.A Monte-Carlo simulation approach for approximating multi-state two-terminal reliability[J].Reliability Engineering and System Safety,2005,87:253 -264.
[20]Zio E,Marella M,Podofillini L.A Monte Carlo simulation approach to the availability assessment of multi-state systems with operational dependencies[J].Reliability Engineering and System Safety,2007,92:871 -882.
[21]Taboada H A,Espiritu J F,Coit D W.MOMS-GA:a multi-objective multi-state genetic algorithm for system reliability optimization design problems[J].IEEE Transactions on Reliability,2008,57(1):182 -191.
[22]Ushakov I.Universal generating function[J].Soviet Journal of Computer and Systems Sciences,1986,24(5):118 -129.
[23]Ushakov I.Optimal standby problems and a universal generating function[J].Soviet Journal of Computer and Systems Sciences,1987,25(4):79 -82.
[24]Levitin G.A universal generating function approach for the analysis of multi-state systems with dependent elements[J].Reliability Engineering and System Safety,2004,84(3):285 -292.
[25]Ouzineb M,Nourelfath M,Gendreau M.Tabu search for the redundancy allocation problem of homogenous series-parallel multistate systems[J].Reliability Engineering and System Safety,2008,93(8):1257 -1272.
[26]Tian Z G,Levitin G,Zuo M J.A joint reliability redundancy optimization approach for multi-state series– parallel systems[J].Reliability Engineering and System Safety,2009.
[27]An Z W,Huang H Z,Liu Y.A discrete stress-strength interference model based on universal generating function[J].Reliability Engineering and System Safety,2008,93(10):1485 -1490.
[28]An Z W,Huang H Z,Lin D.An approach to reliability evaluation of multiple V-belt drives considering the deviation of belt length[J].Journal of Risk and Reliability,2009,223(2):159-166.
[29]Wang P,Coit D W.Reliability prediction based on degradation modeling for systems with multiple degradation measures[C]∥Proceedings Annual Reliability and Maintainability Symposium.Los Angeles,2004:302 -307.