魏秀業(yè)，潘宏俠，黃晉英

(中北大學 機械工程與自動化學院，山西 太原030051)

傳感器的優(yōu)化布置是齒輪箱監(jiān)測系統(tǒng)中重要的問題，應該做到使用盡量少的傳感器獲取盡可能多的結構信息。在國內外現有的對傳感器優(yōu)化布置研究中，對于橋梁監(jiān)測系統(tǒng)傳感器優(yōu)化布置研究較多，而對于齒輪箱這類復雜的機械設備傳感器優(yōu)化布置的方法研究甚少。文獻［1 -5］將優(yōu)化傳感器用于模態(tài)測試和參數識別、故障檢測中，文獻［6］用主元分析法優(yōu)化傳感器布置用于過程監(jiān)控。智能的優(yōu)化算法是近幾年發(fā)展起來的模擬生物和物理過程的方法，在傳感器布置中占有重要的地位，其中以遺傳算法應用和研究最為廣泛［7］，它彌補了傳統(tǒng)的優(yōu)化算法的很多不足。粒子群算法是一種基于群體智能理論的全局優(yōu)化算法，其采用實數編碼，避免了遺傳算法復雜的操作過程，簡單易實現，目前圍繞提高收斂速度、避免早熟等進行了多種算法改進，已經取得一些研究成果，并在一些領域得到應用。由于粒子群優(yōu)化(PSO)算法在解決優(yōu)化問題上有其明顯的優(yōu)勢，本文將針對齒輪箱信號采集過程中傳感器布置數量難以估計和定位困難的現象，將PSO 算法引入到齒輪箱狀態(tài)檢測和故障診斷的傳感器優(yōu)化問題上，提出以目標函數作為優(yōu)化的依據，應用改進的動態(tài)加速常數的PSO 算法解決傳感器測點的選擇和優(yōu)化問題。

1 加速度自適應粒子群優(yōu)化算法

通?；诜N群的優(yōu)化方法，在優(yōu)化的早期應該鼓勵粒子在整個搜索空間移動，而不是聚集于局部極值的周圍。另一方面，在優(yōu)化的后期，提高趨于最優(yōu)解的收斂率而有效地找到最優(yōu)解是非常重要的?？紤]到這些相關因素，在標準PSO 算法的基礎上，提出動態(tài)的加速常數作為一種新的參數自適應策略，以下將動態(tài)加速常數的PSO 算法，稱為加速度自適應粒子群優(yōu)化(CPSO)算法.

這種改進，即在標準PSO 算法中，即(1)式、(2)式，實現加速常數c1和c2隨進化代數線性地改變，如(3)式和(4)式。

當vid＞vmax時，取vid=vmax;當vid＜-vmax時，取vid=-vmax，

(1)式～(4)式中:i=1，2，…，m 為組成群體的粒子數;d=1，2，…，D 為目標搜索空間的維數;加速常數c1和c2為非負常數;r1和r2為服從［0，1］上的均勻分布的隨機數;xid(t)為第i 個粒子的當前位置;pid為第i 個粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置;pgd為整個粒子群搜索到的最優(yōu)位置;vid為第i 個粒子的當前速度vid∈［-vmax，vmax］;vmax為最大限制速度，是非負數;R1、R2、R3、R4是初始設定的定值;t、tmax分別為當前進化代數和最大進化代數;ω 為慣性權重，一般取ω=ωmax-(ωmax-ωmin)t/tmax.

將該算法在神經網絡中進行測試，通過仿真實驗［8］，綜合比較發(fā)現，應設定0＜R1+R2≤2，進化曲線具有收斂速度較快的特點。因為2 者的數值過大不利于微粒的開發(fā)，其中R1也不可過小，太小則在最初的速度進化迭代中單個粒子優(yōu)化作用得不到體現;應設定R3-R4≥2，R3適當加大以提高空間搜索能力來獲得合適的種子，考慮到速度的取值范圍R3-R4之差不宜過大，這樣粒子群搜索初期有較好的探索新空間的能力，隨著迭代的進行線性減小，而局部搜索的能力線性增加，加大局部開發(fā)能力以得到最優(yōu)值。

2 PSO 算法在齒輪箱測點優(yōu)化中的應用

2.1 PSO 算法傳感器布置的適應度

測點選擇問題實際上是一種滿足一定準則或目標的優(yōu)化問題。PSO 算法是近十年來發(fā)展起來的隨機搜索的優(yōu)化算法，粒子群在搜索進化的過程中直接用適應度來評價解的優(yōu)劣，并以此作為以后搜索的依據?？紤]到齒輪箱監(jiān)測過程主要使用的傳感器是加速度計，并考慮到齒輪箱結構的特點，在選擇傳感器最優(yōu)布點時，設計了基于模態(tài)置信準則(MAC)的適應度。

文獻［9］認為MAC 矩陣是評價模態(tài)向量交角的一個很好的工具。由結構動力學原理可知，結構各固有振型在節(jié)點上的值形成了一組正交向量。但由于量測自由度遠小于結構模型的自由度并且受到測試精度和測量噪音的影響，測得的模態(tài)向量已不可能保證其正交性。在極端的情況下甚至會由于向量間的空間交角過小而丟失重要的模態(tài)。因此，在選擇測點時有必要使量測的模態(tài)向量保持較大的空間交角，盡可能地把原來模型的特性保留下來。模態(tài)置信度MAC 矩陣經常用于對試驗振型和理論振型進行匹配和比較，它非常容易實施并且不需要結構的質量矩陣和剛度矩陣，MAC矩陣表示為

式中:φi和φj分別為第i 階和第j 階模態(tài)向量。

MAC 矩陣非對角元素應介于0 和1 之間，小于0.25 表示2 個模態(tài)向量較易分辨，等于0 表示2 個模態(tài)向量相互正交，因此在傳感器優(yōu)化布置過程中，應該盡量使MAC 矩陣非對角元素最小，即

因此，可將(6)式作為測點優(yōu)化的適應度函數。

2.2 齒輪箱有限元建模和模態(tài)計算分析

以圖1所示的實驗室JZQ250 齒輪箱作為測點優(yōu)化對象，為了建立傳感器優(yōu)化的適應度函數，必須對其進行有限元建模和模態(tài)計算，然后以有限元分析和模態(tài)計算結果為依據，根據(5)式和(6)式構造MAC 矩陣，即適應度函數，以此目標函數作為粒子群進化過程中評價解的優(yōu)劣的依據。

圖1 JZQ250 齒輪箱傳動示意圖Fig.1 Sketch of JZQ250 gearbox transmission

齒輪箱體由上下2 個半箱體組成，上箱體尺寸為540 mm × 230 mm × 168 mm，下箱體尺寸為540 mm×230 mm ×160 mm，主體部分為鑄件，材料采用HT21-46，箱體質量51.3 kg.采用美國的三維PRO_ E 軟件進行三維實體建模，然后導入ANSYS10.0進行齒輪箱的有限元分析計算和模態(tài)分析。

齒輪箱體共劃分為15 033 個節(jié)點，采用8 節(jié)點四面體SOLID 45，單元數為55 163 個。根據齒輪箱體的實際工作情況，將其底板的安裝固定部位處4個節(jié)點的自由度全部約束，作為整個模型的邊界條件，得到的有限元模型，如圖2所示。

圖2 JZQ250 齒輪箱體有限元模型Fig.2 Finite element model of JZQ250 gearbox

研究中共計算20 階固有頻率，剔除局部模態(tài)，共計算了10 階箱體的固有頻率和振型，模態(tài)計算結果如表1所示。圖3為第1 階典型振型圖，第1階振動頻率為48.81 Hz，大體沿軸向擺動。從齒箱的模態(tài)分析可以看出上箱體的振動遠比下箱體的振動大。

2.3 初選點方案

初選點方案是優(yōu)化的約束條件，由2.2 節(jié)分析知齒輪箱上箱體的振動遠比下箱體的振動大，且上箱體各階模態(tài)較為密集，因此測點的布置原則是保證可以激發(fā)出齒輪箱體的各階模態(tài)，對于軸承座等重要部位以及能夠引發(fā)噪聲比較大的部位采取多布點。所以理論上在上箱體初選10 個測點，并在箱體上標出各測點位置，并逐一對其進行編號。測點布置位置及編號和對應的有限元節(jié)點，如圖4所示。初選10 測點前8 階總模態(tài)位移由2.2 節(jié)有限元建模和模態(tài)計算結果得出，如表2所示。對初選的10個測點進行分析。

表1 齒輪箱體的計算模態(tài)固有頻率及振型Tab.1 Inherent frequency and vibration type of gearbox case

圖3 齒輪箱體一階模態(tài)振型Fig.3 First modal vibration type of gearbox case

圖4 齒輪箱蓋測點初始化布置圖Fig.4 Initial layout of test points in gearbox cover

2.4 CPSO 的實現過程

1)將測點數作為粒子，通過(5)式、(6)式構造函數f，并將其作為粒子群優(yōu)化的適應度函數。

2)給定粒子的取值范圍［1，10］，設定CPSO 的種群粒子數m、最大進化代數tmax，實現加速常數自適應變化的常數R1，R2，R3，R4，慣性權重的最大值、最小值ωmax，ωmin，粒子飛行的最大限制速度vmax.具體取值如表3所示。

表2 測點各階總模態(tài)位移Tab.2 Total modal displacement of different orders in test points

3)隨機產生粒子初始群體，且隨機初始化種群中每個粒子的位置和速度，計算個體的適應度fp和種群的整體適應度fg.

4)比較粒子的當前適應度fp和自身最優(yōu)值fpbest.如果當前值fp比fpbest更優(yōu)，則置fpbest=fp，并設fpbest位置為D 維空間中的當前位置。

5)比較粒子適應度與種群適應度最優(yōu)值fgbest.如果當前值fpbest比種群fgbest更優(yōu)，則置fgbest為當前粒子的矩陣下標和適應度。

6)判斷迭代次數t 是否達到終止條件。如果t＜tmax，重復步驟3)～5);否則將當前解作為最優(yōu)解輸出，算法終止。

2.5 優(yōu)化結果及分析

以齒輪箱模態(tài)分析的8 階振形的10 個測點進行研究，初選10 個測點的不同階模態(tài)總位移作為輸入數據，如表2所示，以適應度即MAC 矩陣非對角元素最大值MACmax作為優(yōu)化對象，以測點數為粒子，應用CPSO 算法進行傳感器位置尋優(yōu)，CPSO 算法的參數設置如表3所示，適應度隨不同傳感器數量變化曲線，如圖5所示，不同測點數對應的最小適應度和相應的傳感器的布置位置，如表4所示。

圖5 適應度隨傳感器數量變化曲線Fig.5 Fitness varying with number of sensors

1)從表4可以看出:MAC 矩陣的非對角元的值隨著測點數的增加而減少，當測點數為6、7、8 時，MACmax的值小于0.25，也即此時，選擇的測點數使量測的模態(tài)向量保持較大的空間交角，盡可能地把原來模型的特性保留下來。且從圖5適應度(MACmax)隨傳感器數量變化曲線來看，當測點數為7 時，MACmax的值最小為0.213 86，當測點增加到9時，MACmax值反而增大到1，說明在這種情況下，模態(tài)向量間的空間交角很小而丟失重要的模態(tài)。因此，在選擇6～8 個測點時達到MAC 模態(tài)置信準則的理論的要求。

2)從傳感器位置優(yōu)化結果可以看出，測點1～6，9，10 出現次數較多，其中測點1，6 在輸入軸側，說明輸入軸所含信息較多可為首選的測試點，但測點6 由于處于連接裝置的輸入端，信號包含數據量大。在中間軸測點2，5 的信息量與典型故障設置的位置有關，因此這2 測點可作為浮動測點。測點4，3 因為位于輸出軸側，處于傳動的末端，故障信息衰減多，測點9，10 位于輸出軸側箱蓋邊緣處，對箱體的變形信息敏感，可將其作為備選測點因此，綜合考慮MAC 非對角元素值和各測點位置對信號的敏感程度，最優(yōu)測點數為6、7、8，考慮到對稱性和經濟性，選擇6 個傳感器的優(yōu)化位置為［1 2 3 4 5 6］.

表4 CPSO 算法傳感器測點布置Tab.4 Test points'layout based on CPSO

PSO 算法和齒輪箱有限元計算相結合，既具有PSO 算法的自適應、全局搜索能力，對目標函數沒有特別要求，無需梯度信息等優(yōu)良特性，還具有有限元軟件參數化建模、模態(tài)分析容易實現等優(yōu)點。理論優(yōu)化結果表明:基于CPSO 的測試點優(yōu)化布置可以減少無效測試點的數量。

3 齒輪箱箱體試驗模態(tài)分析

3.1 試驗模態(tài)分析

試驗模態(tài)分析是對2.2 節(jié)所述的有限元理論建模和模態(tài)計算的驗證。試驗模態(tài)分析過程中，對上箱體的一個固定點施加激振力，同時測出其響應，對拾振點所測的響應信號分別作模態(tài)分析，得出箱體試驗模態(tài)的各階模態(tài)參數。表5為10 階試驗模態(tài)的固有頻率和振型。圖6為其中第1 階振型圖，第1 階頻率為42.403 Hz，大體沿軸向(y 方向)擺動，通過對比有限元理論模態(tài)的計算結果和振型可知，理論分析結果與模態(tài)試驗結果振型基本一致，振動頻率接近，證明了本文研究中齒輪箱體理論振動模態(tài)方法和數據的有效性。

3.2 測點頻響特性分析

用信號分析設備求出激振點與響應點之間的傳遞函數，選取上箱體的10 個主要測點進行分析，為了與2.5 節(jié)粒子群優(yōu)化的理論分析結果進行比較，10 個測點位置如圖4所示。測點的x，y，z 三個方向的傳遞函數出現峰值處的頻率和最大幅值，如表6所示。根據振動分析的理論，傳感器布置的測點位置應盡量在頻響函數峰值響應大，且頻率遠離齒輪和軸承的特征頻率之處，且避開齒輪箱的固有頻率。以頻響函數分析表6為依據，在正常工況下，對上箱體10 個典型布點為對象進行分析。

表5 齒輪箱試驗模態(tài)參數及振型Tab.5 Test modal parameters and modal vibration type of gearbox

圖6 齒輪箱試驗模態(tài)的第1 階振型Fig.6 First vibration type in test modal of gearbox

當對箱體施加激勵時，測點1、6 在x 向和z 向的頻率響應的振幅的最大峰值總體上都較其它點高。測點2、3 在3 個方向的頻率響應的振幅峰值不突出，大小與激勵點位置有關。測點4 在y 向，測點5 在y 向和z 向頻率響應的振幅的最大峰值總體上都較其它點都高。總體上，這6 個測點的峰值響應頻率良好，遠離齒輪和軸承特征頻率。

測點7、8、9、10 均處與上箱體邊緣處，峰值響應頻率在中頻段較多，幅值大小與激勵點位置有關，但頻率響應的的最大幅值總體上看，測點7、8 在x 向、z 向響應較y 向強烈，測點9，10 在y 向、z 向較x 向強烈。因此從10 個測點的頻響特性分析，測點在x、y、z 三個方向選擇排序大體為:x［1 6 7 8 2 3］，y［4 5 2 3 9 10］，z［1 6 5 2 3 7］.綜合3 個方向的響應效果，響應強烈前6 位排序為［1 6 5 2 3 7］，其中前5 個測點的位置與粒子群優(yōu)化結果一致。

表6 齒輪箱正常工況下頻響函數特性分析Tab.6 Frequency response of gearbox in normal condition

在進行齒輪箱模擬故障診斷實驗中，利用優(yōu)化結果的6 個測點［1 2 3 4 5 6］布設加速度傳感器，以齒輪箱故障敏感特征為輸入，以正常工況和典型故障為輸出，建立了拓撲結構為7-12-6 的3 層BP 神經網絡故障診斷系統(tǒng)，進行了齒輪箱故障診斷，使故障診斷的精度提高26.1%［8］.

4 結論

提出了基于粒子群優(yōu)化的齒輪箱傳感器優(yōu)化布置方法，解決多測點傳感器的布置和定位問題。根據齒輪箱有限元的模態(tài)計算結果，建立了基于模態(tài)置信準則的適應度，用粒子群優(yōu)化算法尋求滿足適應度需求的傳感器布置方案，包括傳感器的數量和測點位置。并進行了齒輪箱模態(tài)試驗，從試驗模態(tài)的分析和頻響特性分析的結果看，基于粒子群優(yōu)化方法得到的齒輪箱測點優(yōu)化的理論結果和試驗模態(tài)結果基本一致。該方法在復雜結構狀態(tài)檢測和故障診斷中起到理論上指導測試點優(yōu)化布置的作用。

References)

［1］Cherng An-pan.Optimal sensor placement for modal parameter identification using signal subspace correlation techniques［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2003，17(2):36 -378.

［2］Papadimitriou C.Optimal sensor placement methodology for parametric identification of structural systems［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，278:923 -947.

［3］許強.模態(tài)測試中傳感器優(yōu)化布設的初步研究［D］.重慶:重慶交通大學，2007.XU Qiang.Preliminary research of optimal sensor placement algorithms for model measurement［D］.Chongqing: Journal of Chongqing Jiaotong University，2007.(in Chinese)

［4］Mani Bhushan，Raghunathan Rengaswamy.Design of sensor location based on various fault diagnostic observability and reliability criteria［J］.Computers and Chemical Engineering，2000，24:735-741.

［5］Burrows K，Burrows A P.Optimal sensor placement for fault detection［J］.Engineering Structures，2001，23:885 -901.

［6］Wang H Q，Song Z H，Wang H.Statistical process monitoring using improved PCA with optimized sensor locations［J］.Journal of Process Control，2002，12:735 -744.

［7］Liu W，Gao W C，Sun Y，et al.Optimal sensor placement for spatial lattice structure based on genetic algorithms［J］.Joural of Sound and Viberation，2008，317(5):175 -189.

［8］魏秀業(yè).基于粒子群優(yōu)化的齒輪箱智能故障診斷研究［D］.太原:中北大學，2009.WEI Xiu-ye.Study on intelligent fault diagnosis of gearbox based on particle swarm optimization［D］.Taiyuan:North University of China，2009.(in Chinese)

［9］Thomas G C，Clark R D.A modal test design strategy for modal correlation［C］∥Proceedings of the 13th International Modal Analysis Conference1，New York:Union College，Schenectady，1995:927 -933.