朱孫科，馬大為，于存貴，樂(lè)貴高

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京210094)

多管火箭炮(MRLS)定向管的結(jié)構(gòu)性能對(duì)火箭彈的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)具有重要影響，進(jìn)而影響火箭彈的發(fā)射精度和射擊密集度等技術(shù)指標(biāo)。由于復(fù)合材料具有良好的可設(shè)計(jì)性，通過(guò)選擇不同的材料、結(jié)構(gòu)和工藝，可以得到不同性能的各種復(fù)合材料，使其在工程領(lǐng)域得到了迅速而廣泛的應(yīng)用［1-2］。相比于金屬材料，復(fù)合材料定向管大大減輕了定向管的質(zhì)量，提高了MRLS 的機(jī)動(dòng)性能。對(duì)復(fù)合材料定向管的鋪層角度和鋪層厚度等參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以充分發(fā)揮其潛能，設(shè)計(jì)出輕質(zhì)而高效的結(jié)構(gòu)。

近年來(lái)，多目標(biāo)優(yōu)化方法得到了極大的關(guān)注，并在很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［3-5］，但是MRLS 定向管在這方面的優(yōu)化研究甚少。本文建立了含螺旋導(dǎo)槽的復(fù)合材料定向管有限元模型，對(duì)其進(jìn)行了模態(tài)計(jì)算。并結(jié)合有限元模型和多目標(biāo)優(yōu)化方法，取復(fù)合材料定向管的鋪層角度、鋪層厚度和中定位部到后定位部的距離為設(shè)計(jì)變量，以定向管的一階固有頻率、前十階固有頻率組合和定向管質(zhì)量作為目標(biāo)函數(shù)。采用改進(jìn)非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)為優(yōu)化算法，對(duì)復(fù)合材料定向管進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了Pareto 最優(yōu)解。在此基礎(chǔ)上，由這些Pareto 最優(yōu)解構(gòu)成決策矩陣，并采用信息熵法求得各屬性權(quán)重，然后應(yīng)用逼近理想解的排序方法(TOPSIS)對(duì)該復(fù)合材料定向管的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了多屬性決策(MADM)研究。

1 復(fù)合材料定向管有限元建模

1.1 結(jié)構(gòu)和材料模型

某MRLS 的復(fù)合材料定向管結(jié)構(gòu)如圖1所示，其前、中、后3 個(gè)定位部分別與發(fā)射箱的3 道隔板相連。定向管內(nèi)壁帶有螺旋導(dǎo)槽，通過(guò)與火箭彈定向鈕的作用使火箭彈產(chǎn)生繞其軸線旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

圖1 復(fù)合材料定向管結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structure model of composite material direction pipe

該復(fù)合材料定向管以環(huán)氧樹脂作為基體和高強(qiáng)度玻璃纖維為增強(qiáng)材料，采用纏繞方法制成，部分材料參數(shù)如表1所示。采用環(huán)向鋪層、±α 交錯(cuò)鋪層和軸向鋪層的復(fù)合方式，鋪層順序?yàn)椋?90°/ ±α/0°)2］s，其中，α 初始設(shè)計(jì)值為45°，單層厚度初始設(shè)計(jì)值為0.25 mm.

表1 定向管材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of direction pipe

1.2 有限元模型

起始擾動(dòng)是影響火箭彈射擊精度的重要性能指標(biāo)，其值大小與定向管的剛度有關(guān)，因此，有必要對(duì)該復(fù)合材料定向管的剛度進(jìn)行研究。根據(jù)建立的復(fù)合材料定向管結(jié)構(gòu)模型和材料模型，并結(jié)合實(shí)際結(jié)構(gòu)，采用殼體單元建立有限元模型，在定向管的前、中、后3 個(gè)定位部施加固支邊界條件，如圖2所示，運(yùn)用Lanczos 迭代法對(duì)其進(jìn)行模態(tài)計(jì)算。

圖2 復(fù)合材料定向管有限元模型Fig.2 Finite element model of composite material direction pipe

2 多目標(biāo)優(yōu)化求解

2.1 優(yōu)化模型

分析復(fù)合材料定向管結(jié)構(gòu)以及有限元模型計(jì)算結(jié)果可知，改變定向管鋪層厚度，會(huì)使定向管質(zhì)量和剛度變化很大。另外，定向管鋪層角的角度變化和中定位部位置的變化也會(huì)對(duì)定向管的剛度產(chǎn)生影響。因此，可通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)合材料定向管的結(jié)構(gòu)參數(shù)，得到剛度大、質(zhì)量輕的復(fù)合材料定向管。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)允許范圍內(nèi)，定向管的質(zhì)量和剛度2 者分別達(dá)到最小和最大才是最優(yōu)設(shè)計(jì)，然而定向管的質(zhì)量和剛度是2 個(gè)相互制約量，不能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，只能在這2 者之間進(jìn)行折衷和協(xié)調(diào)，使2 者盡可能達(dá)到最優(yōu)。多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)是解決這一問(wèn)題的有效手段。

固有頻率是反應(yīng)系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)部件剛度的指標(biāo)之一，對(duì)一般結(jié)構(gòu)問(wèn)題，系統(tǒng)響應(yīng)主要受低階振型控制，高階振型的貢獻(xiàn)很小，因此，選取復(fù)合材料定向管前十階固有頻率的組合及第一階固有頻率來(lái)衡量定向管的剛度。該復(fù)合材料定向管的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可以表述為:在滿足定向管復(fù)合鋪層角度和鋪層厚度及中定位部距離的約束條件下，使復(fù)合材料定向管的結(jié)構(gòu)質(zhì)量達(dá)到最小并使剛度取得最大值。該優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)最小—最大問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型為

式中:M(X)為復(fù)合材料定向管質(zhì)量目標(biāo)函數(shù);mi(X)和fi(X)分別為對(duì)應(yīng)第i 階振型的廣義質(zhì)量和固有頻率，可以由復(fù)合材料定向管的有限元模態(tài)計(jì)算求得，N =10;t 和α 分別為鋪層厚度和角度;l 為定向管中定位部到后定位部的距離。

2.2 優(yōu)化方法

多目標(biāo)問(wèn)題通常需要對(duì)多目標(biāo)模型運(yùn)用，如交互規(guī)劃法、分層求解法、評(píng)價(jià)函數(shù)法等方法，進(jìn)行處理之后才能進(jìn)行優(yōu)化解的搜索。基于Pareto 解的多目標(biāo)遺傳算法，是在多目標(biāo)優(yōu)化的基礎(chǔ)上，得到均勻分布的Pareto 最優(yōu)解集，更能表現(xiàn)多目標(biāo)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。另外，相比于傳統(tǒng)優(yōu)化算法，遺傳算法直接以目標(biāo)函數(shù)作為搜索信息，是一種群體搜索方法，避免了復(fù)雜的梯度計(jì)算和陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)。

NSGA-Ⅱ算法是一種基于Pareto 最優(yōu)概念的多目標(biāo)遺傳算法［4］，它是在NSGA［3］的基礎(chǔ)上，采用快速非支配排序法，將計(jì)算復(fù)雜度由原來(lái)的O(MN3)降到O(MN2)，其中，M 為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)，N 為種群中個(gè)體的數(shù)目;運(yùn)用擁擠度比較法取代共享函數(shù)法，從而無(wú)需指定共享半徑;引入精英策略，克服了非精英問(wèn)題。其算法過(guò)程如圖3所示。

圖3 NSGA-Ⅱ算法過(guò)程Fig.3 Schematic of NSGA-Ⅱprocedure

首先，隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)父代種群P0，并對(duì)其進(jìn)行非支配排序，每個(gè)個(gè)體被指定一個(gè)等同于其非支配水平的適應(yīng)度。之后，進(jìn)行一般的競(jìng)爭(zhēng)選擇、交叉和變異等運(yùn)算生成大小為N 的子種群Q0.得到種群P0和Q0后，合并生成大小為2N 的種群Rt=Pt∪Qt(初始t=0)，由于所有上代和當(dāng)代種群的個(gè)體都包含在Rt中，因此精英個(gè)體得到保留。接著對(duì)Rt進(jìn)行非支配排序，得到m 個(gè)非支配集F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m(F1為最優(yōu)非支配集，F(xiàn)2為次優(yōu)非支配集，依次類推)。如果F1規(guī)模小于N，則把F1中的所有個(gè)體選定為種群Pt+1中的個(gè)體，種群Pt+1剩下的個(gè)體按照先后順序選擇隨后排在最前面的非支配集，因此，接著是集合F2，然后是集合F3等，直到個(gè)體總數(shù)超過(guò)N 個(gè)。假設(shè)Fl(圖中為F3)是最后一個(gè)可供選擇的非支配集，從F1到Fl所有集合的個(gè)體數(shù)量一般比種群規(guī)模大，為了準(zhǔn)確的選擇N 個(gè)種群個(gè)體，對(duì)非支配集Fl中的個(gè)體采用擁擠度比較算子?n按遞減排序，并選擇所需的最優(yōu)個(gè)體連同前面的(l-1)個(gè)非支配集中的個(gè)體組成規(guī)模為N 的新種群Pt+1.這樣，新種群Pt+1經(jīng)過(guò)選擇、交叉和變異生成同樣規(guī)模為N 的新種群Qt+1，如此反復(fù)循環(huán)直到完成指定的進(jìn)化代數(shù)。本文的NSGA-Ⅱ算法的參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 NSGA-Ⅱ算法參數(shù)Tab.2 Parameter setting of NSGA-Ⅱ

2.3 優(yōu)化求解及結(jié)果

根據(jù)2.2 節(jié)建立的優(yōu)化模型，結(jié)合有限元模型計(jì)算結(jié)果以及選取的優(yōu)化算法，搭建的復(fù)合材料定向管多目標(biāo)優(yōu)化求解框架，如圖4所示。據(jù)此進(jìn)行有限元集成優(yōu)化求解。

圖4 多目標(biāo)優(yōu)化求解框架Fig.4 Schematic of optimization solution

經(jīng)過(guò)100 代進(jìn)化運(yùn)算，得到復(fù)合材料定向管多目標(biāo)優(yōu)化的3 個(gè)目標(biāo)函數(shù)的Pareto 最優(yōu)集空間分布，如圖5所示，一共搜索到50 個(gè)Pareto 最優(yōu)解。

圖5 目標(biāo)函數(shù)的Pareto 最優(yōu)解分布圖Fig.5 Spatial distribution of Pareto-optimal solutions

3 多屬性決策

3.1 決策方法

Hwang 等根據(jù)所選擇的最優(yōu)方案應(yīng)該離理想解(也叫正的理想解)的距離最短并且離負(fù)的理想解距離最遠(yuǎn)的思想引入了TOPSIS 方法，該方法是一種廣泛使用的MADM 法［6-7］。

假設(shè)有含n 個(gè)方案A1，A2，…，An和m 個(gè)屬性的多屬性決策問(wèn)題，每個(gè)備選方案由m 個(gè)屬性進(jìn)行評(píng)估，所有賦予各方案相關(guān)的屬性值形成決策矩陣，記為Y =(yij)n×m，W =(w1，…，wm)為屬性的權(quán)重向量，滿足∑mj=1wj=1.這樣，TOPSIS 方法就可以簡(jiǎn)要的表述如下:

1)規(guī)范化決策矩陣

式中rij為規(guī)范化的屬性值。

2)計(jì)算加權(quán)的規(guī)范化決策矩陣

式中:wj為第j 個(gè)準(zhǔn)則或?qū)傩缘臋?quán)重，并且有1.

3)確定理想解和負(fù)理想解

式中Ωb和Ωc分別為效益屬性集和成本屬性集。

4)計(jì)算每個(gè)備選方案到理想解和負(fù)理想解的歐氏距離

5)計(jì)算每個(gè)備選方案到理想解的相對(duì)逼近度。方案Ai關(guān)于A*的相對(duì)逼近度可以表示為

6)根據(jù)備選方案到理想解的相對(duì)逼近度進(jìn)行排列。RCi值越大，說(shuō)明方案Ai越好。

3.2 權(quán)重的確定

常用的確定權(quán)重方法有:Delphi 法、AHP 法、信息熵法等，本文采用客觀賦權(quán)的信息熵法來(lái)確定各屬性的權(quán)重［8］。對(duì)于含n 個(gè)方案A1，A2，…，An和m個(gè)屬性的多屬性決策問(wèn)題，由信息熵法確定權(quán)重一般分如下幾個(gè)步驟:

1)決策矩陣Y 的規(guī)范化。通常采用列歸一化

2)計(jì)算熵值。屬性j 的輸出熵

式中k=1/lnn 為常量。

3)計(jì)算熵權(quán)。屬性j 的熵權(quán)

式中dj=1 -Ej為信息偏差度。

3.3 結(jié)果及分析

針對(duì)復(fù)合材料定向管的多目標(biāo)優(yōu)化模型，采用NSGA-Ⅱ算法，得到了50 個(gè)Pareto 最優(yōu)解，如圖5所示。由這些解構(gòu)造50 ×3 的決策矩陣Y，決策屬性為3 個(gè)目標(biāo)函數(shù)，含50 個(gè)決策方案。采用信息熵法計(jì)算得到的屬性熵權(quán)值如表3所示，由表3可知，組合固有頻率的屬性權(quán)重最大，其次是定向管質(zhì)量，一階固有頻率的屬性權(quán)重最小。

表3 屬性熵權(quán)值Tab.3 Weights of decision attributes

結(jié)合信息熵法得到的各屬性熵權(quán)值，采用TOPSIS方法對(duì)50 個(gè)Pareto 最優(yōu)解進(jìn)行排序，表4給出了按照相對(duì)逼近度從大到小的前3 個(gè)方案的設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)值，并選取相對(duì)逼近度最大的方案為最終優(yōu)化決策方案，如圖5所示的F*點(diǎn)。表5給出了優(yōu)化決策前后設(shè)計(jì)方案的對(duì)比結(jié)果，由表5可知，α 由初始設(shè)計(jì)值45°優(yōu)化為約30°，t 由初始設(shè)計(jì)值0.25 mm 優(yōu)化為0.316 mm，l 由初始值729.0 mm優(yōu)化為745.3 mm.另外，組合固有頻率及基頻均得到了提高，同時(shí)該復(fù)合材料定向管的質(zhì)量有所增加，但其值仍在該定向管的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)范圍內(nèi)。

表4 TOPSIS 計(jì)算結(jié)果Tab.4 Calculation results of TOPSIS

表5 優(yōu)化決策前后設(shè)計(jì)方案對(duì)比Tab.5 Comparison of two schemes

應(yīng)用文獻(xiàn)［9］提出的專門針對(duì)比剛度設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，即比剛度結(jié)構(gòu)效能，對(duì)優(yōu)化前后的復(fù)合材料定向管進(jìn)行了對(duì)比分析。比剛度結(jié)構(gòu)效能

式中:E 為材料彈性模量;D 為結(jié)構(gòu)變形;m 為結(jié)構(gòu)質(zhì)量。效能值越大，說(shuō)明結(jié)構(gòu)具有越高的單位質(zhì)量剛度。為了對(duì)比分析優(yōu)化前后定向管的比剛度結(jié)構(gòu)效能，對(duì)優(yōu)化前后的模型，在定向管管口處施加1 kN 的垂向載荷，以管口的位移量來(lái)衡量結(jié)構(gòu)變形，計(jì)算結(jié)果如表5所示。從表5可知，優(yōu)化后的定向管管口位移得到了降低，由初始設(shè)計(jì)值0.311 mm優(yōu)化為0.167 mm，說(shuō)明優(yōu)化后復(fù)合材料定向管的剛度獲得了提高，增加定向管的剛度，對(duì)提高火箭彈的射擊精度具有重要意義，達(dá)到了定向管優(yōu)化目的。在假設(shè)定向管彈性模量?jī)?yōu)化前后不變的前提下，對(duì)比優(yōu)化前后定向管的比剛度結(jié)構(gòu)效能可知，優(yōu)化后的復(fù)合定向管比剛度效能有所增加，說(shuō)明優(yōu)化后的定向管單位質(zhì)量的剛度裕度得到了提高。

4 結(jié)論

采用多目標(biāo)優(yōu)化方法和多屬性決策方法，對(duì)某型MRLS 復(fù)合材料定向管的結(jié)構(gòu)性能進(jìn)行了研究。研究分析表明，改進(jìn)的非支配排序遺傳算法能夠搜索到Pareto 最優(yōu)解。利用客觀賦權(quán)的信息熵法確定目標(biāo)屬性權(quán)重，可以充分利用客觀信息。通過(guò)運(yùn)用比剛度結(jié)構(gòu)效能對(duì)最終結(jié)果進(jìn)行分析，說(shuō)明應(yīng)用逼近理想解的排序方法獲得的多屬性決策結(jié)果是可行的。該方法為同類型的產(chǎn)品設(shè)計(jì)提供了借鑒，結(jié)果可以為工程實(shí)踐提供參考和依據(jù)。

References)

［1］Wang W，Yang W，Chang N.Integration shape and sizing optimization of composite wing structure based on response surface method［J］.Transaction of Nanjing University of Aeronauticsand Astronautics，2008，25(2):94 -100.

［2］Icten B M，Atas C，Aktas M，et al.Low temperature effect on impact response of quasi-isotropic glass/epoxy laminated plates［J］.Composite Structures，2009，91(3):318 -323.

［3］Srinivas N，Deb K.Multiobjective optimization using nondominated sorting in genetic algorithms［J］.Evolutionary Computation，1994，2(3):221 -248.

［4］Deb K，Pratap A，Agarwal S，et al.A fast and elitist multiobjective genetic algorithm:NSGA-Ⅱ［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6(2):182 -197.

［5］Martínez-Iranzo M，Herrero J M，Sanchis J，et al.Applied Pareto multi-objective optimization by stochastic solvers［J］.Engineering Applications of Artificial Intelligence，2009，22(3):455 -465.

［6］Hwang C L，Yoon K.Multiple attributes decision making:methods and applications［M］.Springer:Berlin Heidelberg，1981.

［7］Ashtiani B，Haghighirad F，Makui A，et al.Extension of fuzzy TOPSIS method based on interval-valued fuzzy sets［J］.Applied Soft Computing，2009，9(2):457 -461.

［8］Zou Z H，Yun Y，Sun J N.Entropy method for determination of weight of evaluating indicators in fuzzy synthetic evaluation for water quality assessment［J］.Journal of Environmental Science，2006，18(5):1020 -1023.

［9］岑海棠.結(jié)構(gòu)仿生理論、輕質(zhì)零件結(jié)構(gòu)仿生設(shè)計(jì)及RP 工藝驗(yàn)證［D］.北京:北京航空航天大學(xué)，2004.CEN Hai-tang.Study on structural bionics theory，light weight structure bionics design and rapid prototyping testing［D］.Beijing:Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2004.(in Chinese)