孫玉嬌， 劉鋒， 梅生偉

（清華大學(xué)電機(jī)系電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084）

0 引言

電力系統(tǒng)是典型的包含有周期性函數(shù)的高維非線性系統(tǒng)，其平衡點(diǎn)的求解在電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析中占有重要地位。雖然目前已有多種方法［1－9］可以有效求解出一些具有特殊形式的（如電力系統(tǒng)的經(jīng)典模型等）系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)（UEP）或主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)（CUEP），但一般性的平衡點(diǎn)求解問題在電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析中還是一個(gè)開放性問題。根據(jù)暫態(tài)穩(wěn)定域邊界理論［10］，暫態(tài)穩(wěn)定域邊界由穩(wěn)定域邊界上UEP（一定條件下為1型UEP）的穩(wěn)定流形的并集組成。通常，電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析中主要關(guān)注穩(wěn)定域邊界上UEP的求解。目前已有的UEP求解方法還難以獲知穩(wěn)定域邊界上的UEP個(gè)數(shù)及分布情況。這對(duì)于獲取給定系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界的整體結(jié)構(gòu)及穩(wěn)定域邊界求解造成了困難。

本文提出利用多項(xiàng)式近似系統(tǒng)研究電力系統(tǒng)平衡點(diǎn)求取及穩(wěn)定域邊界近似的方法。這一方法的出發(fā)點(diǎn)源于多項(xiàng)式系統(tǒng)相對(duì)于一般非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)求解上具有的優(yōu)勢(shì)，它包括:1）基于代數(shù)幾何理論可對(duì)多項(xiàng)式系統(tǒng)的實(shí)根個(gè)數(shù)進(jìn)行估計(jì)［11－12］;2）采用適當(dāng)?shù)耐瑐惙椒汕蟮枚囗?xiàng)式系統(tǒng)的全部實(shí)根［13－16］。

采用本文所提方法首先要面臨的問題是對(duì)一個(gè)高維非線性系統(tǒng)如何計(jì)算它的多項(xiàng)式近似表達(dá)。半張量積方法為我國著名控制學(xué)家程代展教授提出［17］，其本質(zhì)是多線性映射的矩陣表達(dá)，它對(duì)多項(xiàng)式系統(tǒng)的表達(dá)與操作非常方便且易于計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)，因此，我們采用半張量積方法實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)多項(xiàng)式近似的自動(dòng)求取。

其次采用本文所提方法需要面臨的問題是能否用多項(xiàng)式近似系統(tǒng)來研究原系統(tǒng)的平衡點(diǎn)并進(jìn)行穩(wěn)定性分析。對(duì)此，本文從理論上證明，當(dāng)近似精度足夠時(shí)近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)可以任意接近且其相對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)類型可以保持不變，這就為利用多項(xiàng)式近似系統(tǒng)研究原系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定域邊界近似奠定了理論基礎(chǔ)。

本文在所給的理論基礎(chǔ)上，將半張量積方法用于電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性分析，有可能實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性分析的“機(jī)械化”。這正是本文工作的最終目標(biāo)所在，盡管目前的工作仍很初步，但它卻為電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析方法提供了一個(gè)可能的方向。

1 半張量積方法簡(jiǎn)介

半張量積方法［17］的本質(zhì)是多線性映射的矩陣表達(dá)，它能夠?qū)崿F(xiàn)維數(shù)不匹配矩陣的乘法運(yùn)算，并且該矩陣乘法在一定條件下具有交換性，這兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)對(duì)于高維矩陣的運(yùn)算是非常好的性質(zhì)，它大大簡(jiǎn)化了高維系統(tǒng)的近似表達(dá)式的計(jì)算復(fù)雜性，使得一般高維系統(tǒng)的多項(xiàng)式近似計(jì)算成為可能。以下簡(jiǎn)要介紹左半張量積方法（右半張量積類似）。

1.1 左半張量積

1.2 多元多項(xiàng)式的半張量積表示

1.3 函數(shù)矩陣的微分

1.4 Taylor級(jí)數(shù)的半張量積表示

2 非線性系統(tǒng)及其多項(xiàng)式近似系統(tǒng)

2.1 非線性系統(tǒng)的多項(xiàng)式近似表示

考慮如下一般非線性系統(tǒng)

若f:Rm→Rm是一個(gè)解析映射，則根據(jù)半張量積方法，可對(duì)該非線性系統(tǒng)模型作n階Taylor展開，得到多項(xiàng)式近似系統(tǒng)如下

式中:x0表示展開點(diǎn);Dkf（x）表示f（x）在x0處的k階偏微分;S0表示系統(tǒng)（3）Taylor級(jí)數(shù)的收斂域。

2.2 基本假設(shè)

設(shè)非線性系統(tǒng)（3）中f:Rm→Rm為解析函數(shù)，首先給出如下兩個(gè)假設(shè)

假設(shè)1 設(shè)閉集S是f（x）的Taylor級(jí)數(shù)的收斂域的閉子集，即S?S0;再令Ωz為系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)的集合，即 Ωz:={x|f（x）=0，x∈Rm}，則 Ωz∈S。

滿足假設(shè)1的條件下，f（x）在平衡點(diǎn)x*∈Ωz處的Taylor展開在S中是收斂的。此時(shí)，f（x）在穩(wěn)定平衡點(diǎn)xsep處的n階Taylor展開為

此外，滿足假設(shè)1時(shí)，Taylor展開式（5）的各階系數(shù)均一致有界。在高維條件下，即存在M＞0，對(duì)任意k=1，2，…，有‖Dkf（x）‖∞≤M，其中‖·‖∞表示無窮范數(shù)，以下簡(jiǎn)寫為‖·‖。

對(duì)式（5），分別令

稱pn（x，xsep）為f（x）在 xsep處的n階 Taylor展開近似，稱 rn+1（x，xsep）為 f（x）在 xsep處的n階 Taylor展開近似的Lagrangian余項(xiàng)。則f（x）可表示為

假設(shè)2 對(duì)?x∈S，有det（Df（x））≠0。

假設(shè)2的條件要求，對(duì)?x∈S，系統(tǒng)（3）的雅克比矩陣保持非奇異。通常情況下，由于系統(tǒng)（3）的雅克比矩陣的奇異點(diǎn)構(gòu)成的集合在定義域內(nèi)測(cè)度為零，因此該條件一般可以滿足。

2.3 基本引理

3 多項(xiàng)式近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)的距離

利用多項(xiàng)式近似系統(tǒng)研究原系統(tǒng)，首先要研究二者之間平衡點(diǎn)的關(guān)系。下面從理論上證明近似系統(tǒng)平衡點(diǎn)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)可以任意接近，對(duì)此，我們給出如下定理。

定理1 考慮系統(tǒng)（3）滿足假設(shè)1、2，x*為系統(tǒng)的一個(gè)孤立平衡點(diǎn)，是系統(tǒng)（3）在穩(wěn)定平衡點(diǎn)xsep處的多項(xiàng)式近似系統(tǒng)˙x=pn（x，xsep）的孤立平衡點(diǎn)，xsep，x*，xsep∈int（S）。則對(duì)?ε＞0，?N∈Z+以及，使得n＞N時(shí)，有‖xn*－x*‖＜ ε。

定理1表明，在滿足假設(shè)1、2的條件下，只要多項(xiàng)式近似的階數(shù)足夠高，在原系統(tǒng)孤立平衡點(diǎn)附近必然會(huì)出現(xiàn)一個(gè)近似系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，進(jìn)一步，隨著近似階數(shù)的增高，該平衡點(diǎn)會(huì)越來越趨近于原系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，因此可以用近似系統(tǒng)˙x=pn（x，xsep）的平衡點(diǎn)來逼近原系統(tǒng)˙x=f（x）的孤立平衡點(diǎn)x*。

此外，從定理的證明過程可以看出，假設(shè)2僅僅是定理1成立的一個(gè)充分條件，事實(shí)上并不需要S上所有的點(diǎn)都滿足雅克比矩陣非奇異的要求，而只需要其中相關(guān)的某些點(diǎn)處滿足，定理1即可成立。

4 多項(xiàng)式近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)的類型

為了利用近似系統(tǒng)研究原系統(tǒng)，除了要保證近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)任意接近外，還要保證二者之間性質(zhì)一致。下面從理論上證明當(dāng)近似階數(shù)足夠時(shí)，近似系統(tǒng)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)與原系統(tǒng)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)類型可保持一致，即不穩(wěn)定平衡點(diǎn)拓?fù)湫再|(zhì)不變。

首先給出如下一些引理。

引理3［16］對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式系統(tǒng)，可通過同倫路徑法確定其全部實(shí)根。

引理 4［16］令 u=（x，λ），設(shè)構(gòu)造的同倫路徑為H（u），則該同倫軌跡由如下的初值問題確定，即

引理5［18］若兩平衡點(diǎn)在相同的λ面，則兩平衡點(diǎn)類型相差奇數(shù);若兩平衡點(diǎn)在不同的λ面，則兩平衡點(diǎn)類型相差偶數(shù)。

引理6［16］若同倫路徑中存在拐點(diǎn)，則該同倫路徑兩端的平衡點(diǎn)類型改變，且類型的改變值等于拐點(diǎn)個(gè)數(shù)。

引理7［11］若H'（x）在連接兩個(gè)平衡點(diǎn)的整個(gè)同倫路徑中非奇異，則該同倫路徑中不存在拐點(diǎn)及分叉點(diǎn)，因而該同倫路徑兩端的平衡點(diǎn)類型一致。

根據(jù)引理3－引理7，我們有如下定理

定理2 對(duì)非線性系統(tǒng)（3），若假設(shè)1、2滿足，設(shè)xuep為˙x=f（x）的一個(gè)孤立的雙曲k型不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，其近似系統(tǒng)˙x=pn（x，xsep）相應(yīng)的平衡點(diǎn)為xn-uep，則存在N∈Z+，當(dāng)n＞N時(shí)，xn-uep也為雙曲k型不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

證明 構(gòu)造同倫方程

可知，若從˙x=f（x）的某一不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xuep出發(fā)，跟蹤同倫路徑，當(dāng) λ從0變化至1時(shí)，H（x，λ）從=f（x）的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xuep運(yùn)動(dòng)至=pn（x，xsep）的平衡點(diǎn)xn-uep，其中 xn-uep=xuep+Δx，Δx為近似系統(tǒng)平衡點(diǎn)xn-uep與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)xuep之間的誤差。

根據(jù)引理7可知，若整個(gè)同倫路徑中，H'（x）=DH（x）保持非奇異，則該同倫路徑中不存在拐點(diǎn)及分叉點(diǎn)，因此同倫路徑兩端的平衡點(diǎn)類型一致，即xn-uep與xuep類型一致。

由假設(shè)1知，對(duì)?x∈S，Df（x）非奇異（即 det（Df（x））≠0），由Df（x）的連續(xù)性可知，若在Df（x）上施以足夠小的擾動(dòng)時(shí)，Df（x）仍保持非奇異，即

因此只需證明，當(dāng)近似階數(shù)足夠高時(shí)，D（Δf）可以足夠小即可。

由式（12）可知

即是要證明當(dāng)近似階數(shù)足夠高時(shí)，‖Drn+1（x，xsep）‖可以足夠小。根據(jù)引理2的證明過程可知，這一結(jié)論成立。當(dāng)選取充分大的n時(shí)，我們總可以使得‖Drn+1（x，xsep）‖足夠小，從而使得DH（x）=Df（x）－λDrn+1（x，xsep）在整個(gè)同倫路徑中保持非奇異;因此，從xuep到xn-uep的整個(gè)同倫路徑中不存在拐點(diǎn)及分叉點(diǎn)，從而保證同倫路徑兩端的平衡點(diǎn)類型一致，即xn-uep與xuep類型一致。證畢。

定理2從理論上保證了在一定條件下，當(dāng)近似階數(shù)足夠高時(shí)，近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的拓?fù)湫再|(zhì)可以保持一致。

通過以上定理，我們可以得出結(jié)論:當(dāng)近似階數(shù)足夠高時(shí)，近似系統(tǒng)平衡點(diǎn)可以與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)任意接近且類型保持一致，因此我們可以用多項(xiàng)式近似系統(tǒng)來研究原系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定域邊界。

5 結(jié)論

利用半張量積方法求得一般非線性系統(tǒng)的多項(xiàng)式近似表達(dá)，并在理論上證明:當(dāng)近似階數(shù)足夠高時(shí)，多項(xiàng)式近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)可任意接近且類型保持一致，從而為利用多項(xiàng)式近似系統(tǒng)來研究原系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性提供了理論基礎(chǔ)。本文提出的理論結(jié)果在電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的一些初步應(yīng)用工作將在下一篇論文中介紹。

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（編輯:張 靜）