謹(jǐn)亞輝,軋 剛

(太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,山西太原 030024)

超聲加工裝置一般由超聲發(fā)生器、換能器、變幅桿和工具頭組成。在超聲振動系統(tǒng)工作過程中,由超聲換能器輻射面所產(chǎn)生的振幅較小,只有幾微米,而超聲加工所需要的振幅大約為幾十至幾百微米,這就需要通過變幅桿的放大與聚能作用將機(jī)械振動質(zhì)點(diǎn)的位移量和運(yùn)動速度放大,并將超聲能量集中在較小的面積上。超聲變幅桿的性能主要是由變幅桿的共振長度 L、放大系數(shù) M P、形狀因數(shù) φ、位移節(jié)點(diǎn) x、輸入力阻抗Z等參數(shù)加以描述的[1]。變幅桿的合理設(shè)計(jì)必須既能滿足以上各性能要求,保證超聲波加工,又能滿足變幅桿材料的強(qiáng)度要求。傳統(tǒng)的超聲振動系統(tǒng)的設(shè)計(jì)主要依據(jù)解析法,從經(jīng)典理論出發(fā),建立其動力學(xué)微分方程,根據(jù)邊界條件確定其解。隨著有限元理論的完善和相關(guān)應(yīng)用軟件的發(fā)展,根據(jù)ANSYS有限元分析軟件可對變幅桿進(jìn)行模態(tài)振動分析及諧響應(yīng)分析,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化,設(shè)計(jì)出一種優(yōu)于傳統(tǒng)形狀的新型變幅桿。

1 變幅桿的動力學(xué)分析

變幅桿的優(yōu)化分析過程是建立在動力學(xué)分析基礎(chǔ)上的。通過對變幅桿進(jìn)行模態(tài)分析,找到在系統(tǒng)激振頻率范圍內(nèi)的固有頻率,然后,在該頻率下對變幅桿進(jìn)行諧響應(yīng)分析,得出變幅桿自由端面的振幅、位移節(jié)點(diǎn)和最大等效應(yīng)力,從而計(jì)算出放大系數(shù)M P、形狀因數(shù)等性能參數(shù)。其中放大系數(shù)是指變幅桿工作在共振頻率時(shí),輸入端與輸出端的質(zhì)點(diǎn)位移或速度的比值;形狀因數(shù)φ是衡量變幅桿所能達(dá)到的最大振動速度的指標(biāo)之一,它僅與變幅桿的幾何形狀有關(guān),φ值越大,通過變幅桿所能達(dá)到的最大振動速度也越大。輸入力阻抗Z定義為輸入端策動力與質(zhì)點(diǎn)振動速度的復(fù)數(shù)比值。然后再根據(jù)各性能參數(shù)不同特點(diǎn)來作為優(yōu)化設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)變量,狀態(tài)變量或目標(biāo)函數(shù)。

1.1 變幅桿的建模過程

變幅桿為半波長圓截面桿,工作頻率為 15 kHz,大端直徑D1=70 mm,小端直徑D2=25 mm,材料為45鋼,表1是45鋼的材料參數(shù)。

表1 45鋼的材料參數(shù)

變幅桿是軸對稱的回轉(zhuǎn)體,所以可用二維軸對稱模型來求解,建模采取由點(diǎn)到線再到面,橫截面母線由6點(diǎn)插值3次樣條曲線構(gòu)成,插值點(diǎn)按順序隨機(jī)選取,其他點(diǎn)用直線連接。點(diǎn)的坐標(biāo)初值要以變量的形式定義,以便于分析時(shí)軸向橫截面母線形狀的變化,達(dá)到對變幅桿形狀的優(yōu)化。各點(diǎn)初始坐標(biāo)定義見表2。

表2 模型初始點(diǎn)的坐標(biāo)

在表 2中,點(diǎn)1、點(diǎn) 2為變幅桿大端兩端點(diǎn),是固定值;點(diǎn)7、點(diǎn)8為變幅桿小端兩端點(diǎn),縱坐標(biāo)是固定值;L為變幅桿諧振長度,為設(shè)計(jì)變量,同時(shí)定義為變幅桿小端處兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo),點(diǎn)2～點(diǎn)7為變幅桿母線上的6個插值點(diǎn)[2]。

模型采用Plane82單元,此單元是Plane42單元的高階單元,采用3次插值函數(shù),無附加位移函數(shù)項(xiàng),可用于平面應(yīng)力,平面應(yīng)變和軸對稱問題的分析,位于XY平面內(nèi),且軸對稱分析時(shí) Y軸為對稱軸[3]。網(wǎng)格采用自由式方法劃分,便于模型改變后網(wǎng)格的自動延伸。初始模型如圖1所示。

1.2 變幅桿的模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析

模型建好后先對其進(jìn)行模態(tài)分析,設(shè)置模態(tài)提取方法為Block lanczos法,指定模態(tài)提取的頻率范圍為10～20 kHz,待提取的模態(tài)個數(shù)為5,邊界條件為模型兩端自由,進(jìn)行模態(tài)分析。

圖1 6點(diǎn)插值樣條變幅桿有限元初始模型

模態(tài)分析求解后,參數(shù)化提取初始模型的諧振頻率f=14 697Hz。然后進(jìn)行諧響應(yīng)分析[4],采用Full法,在變幅桿大端所有節(jié)點(diǎn)上施加 Y方向頻率為f=14 697 Hz,激振位移幅值為0.005 mm的按正弦變化的周期載荷,求解后參數(shù)化提取模型各端面產(chǎn)生的周期位移響應(yīng)與應(yīng)力分布。可獲得模型大端輸入振幅為 δ1=0.5×10-5m,小端輸出振幅為δ2=-0.16×10-4m,從而可得到振幅放大比的倒數(shù) F(X)=｜δ1｜/｜δ2｜,這里之所以得到放大比的倒數(shù),是因?yàn)樵谙旅娴膬?yōu)化設(shè)計(jì)中要將它作為目標(biāo)函數(shù),而目標(biāo)函數(shù)是要盡量小的數(shù)值。此外,還可得到模型的最大工作應(yīng)力為 σ=54.7 MPa,并得如下公式[5]:

式中:ρc是變幅桿的特性力阻抗;ζ是變幅桿中的最大質(zhì)點(diǎn)振動速度,σ是桿中的最大應(yīng)力。

變幅桿中各質(zhì)點(diǎn)振動是按正弦規(guī)律變化的簡諧振動,其位移函數(shù)表達(dá)式為:

式中:A、φ、ω分別稱為振幅、初相位、圓頻率。

簡諧振動的速度函數(shù)就是位移函數(shù)關(guān)于時(shí)間 t的一階導(dǎo),對上式求導(dǎo)數(shù)得:

2 變幅桿的優(yōu)化過程和結(jié)果分析

2.1 變幅桿的優(yōu)化過程

(5)指定零階優(yōu)化方法,零階方法在ANSYS的優(yōu)化設(shè)計(jì)模塊中是最基本和常用的方法,可有效處理絕大多數(shù)工程問題。

(6)進(jìn)行優(yōu)化分析[6]。

2.2 變幅桿的優(yōu)化結(jié)果分析

優(yōu)化分析后可獲得設(shè)計(jì)序列結(jié)果和后處理(圖2),從而得到變幅桿最優(yōu)形狀與諧振長度(圖3)。

圖2 優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)

圖3 優(yōu)化設(shè)計(jì)圖

由圖2和圖3可得到變幅桿的各性能參數(shù):諧振長度為L=198.26mm;位移節(jié)點(diǎn)y位于離大端距離79.5 mm處;固有頻率為14 937 Hz;形狀因數(shù)φ=1.002 5;最大應(yīng)力 σ=386.1 MPa;放大系數(shù)為MP=1/f=17。

然后將二維軸對稱模型擴(kuò)展成完整的三維模型,再對其進(jìn)行模態(tài)分析得到固有頻率為14 956 Hz,與二維軸對稱模型結(jié)果基本相同;諧響應(yīng)分析得到模型在頻率14 956 Hz下的位移響應(yīng)云圖4和應(yīng)力響應(yīng)云圖5。

圖4 位移響應(yīng)云圖

圖5 應(yīng)力響應(yīng)云圖

由圖4和5可看出,振幅放大系數(shù)、最大應(yīng)力及形狀因數(shù)等性能參數(shù)與二位模型優(yōu)化分析結(jié)果基本相同,這也驗(yàn)證了用二維軸對稱模型來代替軸對稱實(shí)體模型進(jìn)行有限元分析的正確性。

3 多點(diǎn)優(yōu)化進(jìn)行驗(yàn)證

以上是通過對變幅桿母線進(jìn)行6點(diǎn)插值樣條曲線進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計(jì),為了驗(yàn)證其正確性,下面分別對9點(diǎn)插值和11點(diǎn)插值樣條曲線進(jìn)行優(yōu)化。初始模型分別如圖6、圖7所示。

按之前的建模加載優(yōu)化步驟進(jìn)行優(yōu)化后,得到的圖形都與圖2結(jié)果基本相同。由此可得到:當(dāng)樣條插值點(diǎn)逐漸增多時(shí),優(yōu)化后的變幅桿都將收斂于同一形狀與諧振長度。

圖6 9點(diǎn)插值樣條變幅桿有限元初始模型

圖7 11點(diǎn)插值樣條變幅桿有限元初始模型

4 結(jié)論

基于傳統(tǒng)形狀變幅桿中階梯型變幅桿放大系數(shù)較大但形狀因數(shù)很小(一般都小于1),而圓錐形變幅桿形狀因數(shù)較大放大系數(shù)卻很小的原因,本文通過以3次樣條曲線作為變幅桿軸截面的母線形狀,采用二維軸對稱建模的方式,在有限元動力學(xué)分析基礎(chǔ)上利用優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法,優(yōu)化出了一種既有較好形狀因數(shù)又有很大放大系數(shù)的新型變幅桿,并通過9點(diǎn)插值、11點(diǎn)插值的形式對6點(diǎn)插值進(jìn)行了驗(yàn)證,證明了此方法的正確性,為提高超聲加工效率提供了一種新的思路與方法。

[1] 曹鳳國.超聲加工技術(shù)[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2005.

[2] 楊志斌.旋轉(zhuǎn)超聲加工裝置的設(shè)計(jì)與新型變幅桿的研究[D].山西:太原理工大學(xué),2008.

[3] 王新敏.ANSYS工程結(jié)構(gòu)數(shù)值分析[M].北京:人民交通出版社,2007.

[4] 趙莉,王時(shí)英,軋剛.超聲加工中變幅桿的動力學(xué)分析[J].電加工與模具,2005(2):35-38.

[5] 林仲茂.超聲變幅桿的原理和設(shè)計(jì)[M].北京:科學(xué)出版社,1987.

[6] 原豐霞,張慧君,朱國良.基于 ANSYS的超聲變幅桿的優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械工程師,2004(11):24-26.