陳菊芳,田小建,單江東

(1.吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,吉林長春130012;2.東北師范大學(xué)物理學(xué)院,吉林長春130024)

1 引 言

近年來,隨著混沌現(xiàn)象及理論被引入到大學(xué)物理教學(xué)中,有的院校增設(shè)了非線性電路實驗課[1-5].延遲混沌系統(tǒng)因其具有無窮維數(shù)且能產(chǎn)生混沌和超混沌信號而受到廣泛關(guān)注.有關(guān)延遲混沌系統(tǒng)的理論分析和數(shù)值計算方面的研究較多[6-9],但實驗方面的報道很少.由于混沌信號具有偽隨機噪聲的特性,如何對混沌信號進行有效延遲是設(shè)計延遲混沌電路的難點和關(guān)鍵.

本文采用基本的電子元器件來實現(xiàn)延遲混沌電路.利用L C低通濾波器在通帶內(nèi)具有良好群時延特性來實現(xiàn)對混沌信號的有效延時,并在Logistic延遲混沌系統(tǒng)中加以實現(xiàn),同時利用簡單的二極管限幅電路實現(xiàn)混沌控制.該延遲混沌及控制電路使用的元件方便易得,成本低,演示現(xiàn)象豐富,宜于引入實驗教學(xué)中.

2 混沌電路設(shè)計

典型的Logistic延遲方程為[10]

當(dāng)a=2.6,r=10.4,τ=5時,該系統(tǒng)是混沌的.

實現(xiàn)系統(tǒng)(1)的電路見圖1.設(shè)延時時間為τd,運放A1構(gòu)成積分器,其輸出電壓為u(t),A3構(gòu)成反向加法器,A2構(gòu)成同相放大器,放大由延時電路輸出的延時信號,以保證A2的輸出電壓滿足u2(t)=u(t-τd)的要求.

電路的狀態(tài)方程為作如下標(biāo)量變換:

圖1 Logistic延遲混沌電路

則方程(2)變?yōu)榉匠?1).

延時電路如圖2所示.由普通的電感和電容構(gòu)成,取標(biāo)稱的電感和電容,L=4.7 mH,2C=0.1μF,Ri=30Ω,Ro=300Ω,電感的直流損耗電阻RL=19.8Ω.為減少電路的損耗,采用電感元件相對較少的π型濾波器,取級數(shù)N=28.由于這種濾波器在通帶內(nèi)具有良好的群時延特性,且在通帶內(nèi)幅頻特性平坦,只要混沌信號的頻譜在濾波器的通頻帶內(nèi),即可實現(xiàn)良好的延時效果.由實驗測得其截止頻率fc=6.12 kHz,通帶內(nèi)傳遞函數(shù)值為|H(ω)|=-9.548 dB,延時時間τd=0.63 ms.通過對系統(tǒng)(1)的動力學(xué)特性分析可知,混沌信號的頻譜基本在濾波器的截止頻率內(nèi).

圖2 延時電路

為滿足系統(tǒng)(1)對各參量的要求,現(xiàn)選取R0=12.6 kΩ,C0=0.01μF,R1=4.85 kΩ,R2=2.13 kΩ,R3=1 kΩ,R4=10 kΩ,R5=0.96 kΩ,R6=0.48 kΩ.由示波器觀測到的實驗結(jié)果如圖3所示.其中圖3(a)為u(t)與u2(t)的時域圖,u2(t)與u(t)的波形形狀和大小基本相同,只是向后延遲了0.63 ms,即滿足u2(t)=u(t-τd).圖3(b)為u(t)與u(t-τd)的相圖,顯然是混沌吸引子,表明所設(shè)計的延時電路對混沌信號取得了很好的延時效果.

實驗中,改變電阻R0,電容C0或延時電路中的電感和電容,都可以改變系統(tǒng)(1)中的延時時間τ,本文采用改變電阻R0來獲得倍周期信號輸出.圖4(a)～(c)所示的是當(dāng)R0取值分別為80 kΩ,57 kΩ,50.5 kΩ(同時R1應(yīng)調(diào)整以保證a=2.6),即相當(dāng)于系統(tǒng)(1)中的τ分別為0.79,1.10,1.25時,由電路觀測到的1周期(1P)、3周期(3P)、6周期(6P)相圖.

圖3 電路的混沌時域波形和吸引子的實驗結(jié)果

圖4 電路的倍周期分岔的實驗結(jié)果

3 實現(xiàn)控制的電路

利用二極管的單向?qū)щ娦詠韺ρ訒r信號進行限幅,最終實現(xiàn)穩(wěn)定住失穩(wěn)周期軌道的目的.控制量的具體表達式為

將u′(t-τd)代替方程(2)的u(t-τd),即可實現(xiàn)混沌的控制.

實現(xiàn)控制的電路如圖5所示,將圖1電路中的A和B兩點斷開,分別與圖5電路中的對應(yīng)點相連接,即可構(gòu)成控制電路.顯然,Um=UD+U0為閾值電壓,UD=0.6 V為二極管的正向?qū)妷?通過調(diào)節(jié)電源電壓U0可改變Um的大小,即可觀測到電路的運動狀態(tài)隨Um的改變出現(xiàn)的各種變化,電阻R7=2 kΩ.

圖5 控制電路

圖6所示為當(dāng)U0=3.47,3.54,3.59 V,即相當(dāng)Um=4.07,4.14,4.19 V時被控電路的u(tτd)與u(t)的相圖,電路分別呈現(xiàn)出1周期(1P)、4周期(4P)、8周期(8P)態(tài),繼續(xù)增大U0值,還觀測到了6周期甚至更高周期的實驗結(jié)果.

圖6 電路被控制到周期的實驗結(jié)果

4 結(jié)束語

以一階Logistic延遲系統(tǒng)為例介紹了延遲混沌電路的設(shè)計方法,將L C低通濾波器用于混沌電路中來實現(xiàn)對混沌信號的延遲,克服了電路中延時電路難以實現(xiàn)的缺點,同時利用二極管的限幅作用來實現(xiàn)混沌控制,得到了多個穩(wěn)定的周期軌道,說明限幅法不僅適用于控制一般的混沌系統(tǒng),也適用于控制延遲混沌系統(tǒng).該電路結(jié)構(gòu)簡單,實驗現(xiàn)象豐富,便于在教學(xué)中演示及學(xué)生自行制作.

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