項(xiàng)林川

(華中科技大學(xué)物理學(xué)院 湖北 武漢 430074)

有多篇文獻(xiàn)討論過(guò)有趣的“甲蟲(chóng)和橡膠帶”問(wèn)題[1～4].該問(wèn)題可表述如下[4].

【題目】一條水平的橡膠帶長(zhǎng)為L(zhǎng), 一端固定在墻上，另一端是自由端.今自由端以速度v0運(yùn)動(dòng)而將橡膠帶不斷地均勻拉長(zhǎng).同時(shí)，橡膠帶上的一只甲蟲(chóng)從墻開(kāi)始沿橡膠帶向自由端運(yùn)動(dòng)，甲蟲(chóng)在橡膠帶上的速度始終為u，且u

文獻(xiàn)[2]通過(guò)解微分方程進(jìn)行了求解，其中要用到甲蟲(chóng)相對(duì)地面的速度，這里的關(guān)鍵是確定橡膠帶在被均勻拉伸的過(guò)程中其上任意一點(diǎn)的對(duì)地速度.那么，這個(gè)速度是如何得到的呢？文獻(xiàn)[2]并未給出具體過(guò)程.本文對(duì)此進(jìn)行了討論.

需要指出的是，甲蟲(chóng)在橡膠帶上的速度u實(shí)際上是相對(duì)于t時(shí)刻甲蟲(chóng)所在點(diǎn)而言的，而同一時(shí)刻甲蟲(chóng)相對(duì)于橡膠帶上其他點(diǎn)的速度并不是u[4].顯然，由于橡膠帶被均勻拉伸，橡膠帶上各個(gè)點(diǎn)的速度是不相等的;若是相等的話，橡膠帶不是被均勻拉伸，而是作整體平移.實(shí)際上，橡膠帶上任意兩點(diǎn)的速度都不相等，否則，這兩點(diǎn)之間的這段橡膠帶就不會(huì)被拉長(zhǎng).比如，橡膠帶的自由端和墻上的固定端的速度分別是v0和零.

為方便計(jì)，設(shè)t時(shí)刻橡膠帶上x(chóng)處的質(zhì)點(diǎn)相對(duì)地面的速度為v, 而x+dx處的質(zhì)點(diǎn)相對(duì)地面的速度為v+dv, 并建立如圖1所示的坐標(biāo)系.

圖1

考慮在t到t+dt的時(shí)間間隔內(nèi)x到x+dx之間的這一小段橡膠帶的伸長(zhǎng)量Δl，則Δl應(yīng)正比于dx，即

Δl=αdx

(1)

并且，Δl還正比于x處和x+dx處的速度差dv，即

Δl=βdv

(2)

由(1)式和(2)式得

dv=γdx

(3)

對(duì)(3)式兩邊積分

(4)

可得t時(shí)刻橡膠帶上x(chóng)處的對(duì)地速度為

v(x)=v(0)+γx

(5)

固定端的速度始終為零，即

v(0)=0

(6)

自由端的速度始終為v0，且在t時(shí)刻的坐標(biāo)為L(zhǎng)+v0t, 則由(5)式和(6)式可得

v0=γ(L+v0t)

(7)

因此，(5)式可寫(xiě)為

(8)

至此，我們就得到了均勻拉伸時(shí),任意t時(shí)刻橡膠帶上x(chóng)處的對(duì)地速度.

另外，參照?qǐng)D1，由于是均勻拉伸，長(zhǎng)度相等的小段橡膠帶兩端處質(zhì)點(diǎn)的速度差均應(yīng)相等才行，即要求

(9)

其中C為常數(shù).這相當(dāng)于(3)式.所以，由(9)式可以得到與上面相同的結(jié)果.

其實(shí)，只要橡膠帶是均勻拉伸的，上述方法還可以推廣到自由端的速度隨時(shí)間變化的情形，即推廣到

v0=v0(t)

的情況.只需將(7)式改寫(xiě)成

就可以把(8)式的結(jié)果推廣為

參考文獻(xiàn)

1 (俄)Alexander A. Pukhov著. 羅琬華譯.甲蟲(chóng)和橡膠帶 —— 一個(gè)有意外解的問(wèn)題(上). 大學(xué)物理，1995, 14(8):46

2 (俄)Alexander A. Pukhov著. 羅琬華譯，甲蟲(chóng)和橡膠帶 ——一個(gè)有意外解的問(wèn)題(下). 大學(xué)物理，1995, 14(9):42

3 朱洪玉.關(guān)于“甲蟲(chóng)和橡膠帶“問(wèn)題的最簡(jiǎn)便解法 . 大學(xué)物理，1996, 15(7):44

4 項(xiàng)林川.“甲蟲(chóng)和橡膠帶”問(wèn)題新解 . 大學(xué)物理，2007, 26(6):24～25