張 萌,焦文苑,於菪珉,潘永華,高惠濱,丁劍平

(南京大學(xué) 物理系,江蘇南京 210093)

1 引 言

激光雙光柵法測(cè)微小位移實(shí)驗(yàn)是面向本科生開(kāi)設(shè)的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[1],該實(shí)驗(yàn)利用運(yùn)動(dòng)光柵的多普勒效應(yīng)產(chǎn)生頻移光,與經(jīng)過(guò)另一片靜止光柵的非頻移光平行疊加,形成光拍來(lái)精確測(cè)定微弱振動(dòng)的位移[2-3].運(yùn)動(dòng)光柵沿著圖1中 y方向運(yùn)動(dòng)(沿垂直光路方向運(yùn)動(dòng),簡(jiǎn)稱垂直運(yùn)動(dòng)).

圖1 光柵運(yùn)動(dòng)示意圖

如果運(yùn)動(dòng)光柵沿圖1中 x方向,即沿平行光路的方向運(yùn)動(dòng)(以下簡(jiǎn)稱平行運(yùn)動(dòng)),激光束經(jīng)過(guò)后會(huì)產(chǎn)生一種新的多普勒頻移現(xiàn)象.本文推導(dǎo)了該現(xiàn)象的產(chǎn)生原理和此情況下測(cè)量微弱振動(dòng)位移的計(jì)算公式,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)其正確性進(jìn)行了驗(yàn)證.

2 原 理

2.1 平行運(yùn)動(dòng)光柵的光多普勒效應(yīng)

下面利用波陣面分析平行運(yùn)動(dòng)光柵產(chǎn)生光的多普勒頻移的原理.如圖2所示,考慮一正弦相位光柵,光柵在y方向折射率不同導(dǎo)致光波經(jīng)過(guò)后沿y方向有不同的相位落后[4].對(duì)應(yīng)于光柵的同一位置,其相位落后是相同的.不失一般性,設(shè)t=0時(shí)刻有一頻率為ω0,相位φ=0的平面波從光柵左側(cè)正入射,經(jīng)調(diào)制后變?yōu)檎倚偷某錾洳嚸?.A點(diǎn)處光波的相位調(diào)制為φ0.由于光柵并不改變?nèi)肷涔獾臅r(shí)間頻率,t=0時(shí)刻從A點(diǎn)沿與波陣面垂直方向發(fā)出一頻率為ω0的光波.經(jīng)過(guò)時(shí)間 t,光柵向前移動(dòng)了 l=vt的距離,此時(shí)垂直入射光柵的平面波相位為經(jīng)過(guò)光柵調(diào)制變?yōu)槌錾洳嚸?,并在B處發(fā)出一相位為的光波.此時(shí)從A點(diǎn)發(fā)出的光波已向前傳播了時(shí)間t,即此時(shí)A點(diǎn)的相位落后初始相位ω0t,則 A點(diǎn)相位變?yōu)棣誂=ω0t+φ0.考慮到 C與B同時(shí)到達(dá)屏,故有 A和B發(fā)出的衍射光波相位差為:Δφ=φC-φB.另有

圖2 光波相位變化

所以

其中

則衍射光波可表示為

即水平運(yùn)動(dòng)的相位光柵產(chǎn)生的衍射光相對(duì)原來(lái)靜止的相位光柵有ωd的頻移.

當(dāng)(1)式中θ滿足光柵方程 d sinθ=nλ時(shí),衍射極大.其中 d為光柵常量,θ為衍射角,n為衍射級(jí)次,λ為光波波長(zhǎng).即在特定的θ角方向上可以得到頻移后的光波信號(hào),頻移量由(1)式和光柵方程決定.

再進(jìn)一步分析,當(dāng) v沿 x軸正向時(shí),+n和-n級(jí)的衍射光的頻移均相同,為cosθ)v≥0,這是因?yàn)樗屑?jí)次的衍射光的方向均順著運(yùn)動(dòng)方向,造成光頻增加.顯然,當(dāng) v沿 x軸負(fù)向時(shí),由于所有級(jí)次的衍射光的方向均逆著運(yùn)動(dòng)方向,所以所有級(jí)次的衍射光光頻均減小.因此從本質(zhì)上講,這屬于光的多普勒效應(yīng)[4].

2.2 光拍的獲得及微弱振動(dòng)位移量的檢測(cè)

本實(shí)驗(yàn)中,為了在光頻中檢測(cè)出多普勒頻移量,使經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)光柵的有頻移的光再經(jīng)過(guò)一靜止的光柵,如圖3所示.由于通過(guò)雙光柵后出射的衍射光包含了不同頻率而又平行的光束,它們平行疊加就形成拍,如圖4所示.此時(shí)光電檢測(cè)器檢測(cè)到光拍信號(hào),其頻率為[1]

圖3 雙光柵形成光拍

圖4 實(shí)驗(yàn)所得光拍信號(hào)波形圖

其中λ為He-Ne激光波長(zhǎng),v為光柵振動(dòng)的瞬時(shí)速度,θ為衍射角.

由于 f拍與光頻率無(wú)關(guān),當(dāng)光柵密度為常數(shù)時(shí),某一確定級(jí)次的光的拍頻 f拍只正比于光柵運(yùn)動(dòng)速度v.若把光柵粘在周期運(yùn)動(dòng)的音叉上,則v是周期性變化的,所以 f拍也隨時(shí)間周期性變化,微弱振動(dòng)的位移振幅為

3 實(shí)驗(yàn)裝置及實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

運(yùn)動(dòng)光柵平行運(yùn)動(dòng)測(cè)量微小位移的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖5所示,將運(yùn)動(dòng)光柵貼在音叉的一條臂上,音頻信號(hào)發(fā)生器通過(guò)一耳機(jī)驅(qū)動(dòng)音叉產(chǎn)生微小振動(dòng),從而帶動(dòng)運(yùn)動(dòng)光柵平行振動(dòng).將靜止光柵固定在運(yùn)動(dòng)光柵前.激光分別通過(guò)兩光柵后形成光拍,用硅光電池接收,并在示波器上顯示光拍信號(hào)的波形.同時(shí),另一耳機(jī)貼近音叉放置,作為接收耳機(jī),直接接收音叉振動(dòng)信號(hào),并轉(zhuǎn)換成電信號(hào),輸入示波器顯示波形用于比較,示波器中顯示的電壓信號(hào)的振幅正比于音叉振動(dòng)的振幅.

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

3.2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

實(shí)驗(yàn)中采用光柵常量為200 mm-1的光柵,測(cè)得音叉的共振頻率為346.76 Hz.在音叉共振頻率附近改變驅(qū)動(dòng)音叉振動(dòng)的頻率,測(cè)得音叉在不同振動(dòng)頻率下,運(yùn)動(dòng)光柵運(yùn)動(dòng)時(shí)的半個(gè)周期內(nèi)的波形數(shù)N和接收音叉振動(dòng)信號(hào)的耳機(jī)輸出的電壓信號(hào)的振幅U.

由半個(gè)周期內(nèi)的波形數(shù) N,根據(jù)(3)式可計(jì)算出音叉振動(dòng)的位移,即需要測(cè)量的微小位移量.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及原理驗(yàn)證

4.1 定性驗(yàn)證

利用音叉振動(dòng)的諧振曲線定性地驗(yàn)證光柵平行運(yùn)動(dòng)時(shí)的光的頻移公式.

圖6(a)為利用雙光柵(平行運(yùn)動(dòng))原理測(cè)量得到的音叉諧振曲線.圖6(b)為直接利用接收耳機(jī)輸出的電壓信號(hào)(正比于音叉振動(dòng)的振幅)繪制的音叉諧振曲線.

由圖6可知,利用雙光柵(平行運(yùn)動(dòng))原理測(cè)得的音叉諧振曲線與用耳機(jī)接收到的振動(dòng)信號(hào)描繪的音叉諧振曲線一致.這說(shuō)明音叉振動(dòng)的振幅正比于半個(gè)周期內(nèi)的波形數(shù),驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)光柵平行運(yùn)動(dòng)時(shí)衍射光的頻移正比于光柵運(yùn)動(dòng)速度.

圖6 音叉的諧振曲線

4.2 定量驗(yàn)證

進(jìn)一步通過(guò)與光柵垂直運(yùn)動(dòng)時(shí)數(shù)據(jù)比較定量地驗(yàn)證光柵平行運(yùn)動(dòng)時(shí)的光頻移(1)式.

已知當(dāng)粘在音叉上的運(yùn)動(dòng)光柵垂直運(yùn)動(dòng)時(shí),音叉振幅的計(jì)算公式[1]為

而由(3)式可知運(yùn)動(dòng)光柵平行運(yùn)動(dòng)時(shí)音叉振幅為

可見(jiàn),這2種情況下音叉振幅與半個(gè)周期內(nèi)的波形數(shù)均呈線性關(guān)系,線性系數(shù)分別為 k1,k2.理論上兩者比值為

在運(yùn)動(dòng)光柵垂直和水平運(yùn)動(dòng)測(cè)量微小位移過(guò)程中,使用的均為光柵常量為200 mm-1的光柵,均為一級(jí)衍射角,He-Ne激光的波長(zhǎng)為λ=6.328×10-7m.

在實(shí)驗(yàn)中,測(cè)量不同頻率下接收耳機(jī)輸出的電壓信號(hào)(正比于音叉的振幅)及半個(gè)周期內(nèi)的波形數(shù),進(jìn)行線性擬合,得到斜率,即為比例系數(shù).在運(yùn)動(dòng)光柵垂直運(yùn)動(dòng)和水平運(yùn)動(dòng)時(shí)分別進(jìn)行上述測(cè)量得到2條直線,如圖7所示.由實(shí)驗(yàn)測(cè)得它們的斜率的比值為0.060.實(shí)驗(yàn)值與理論值的偏差為4.8%,驗(yàn)證了(1)式.

圖7 音叉輸出電壓的振幅和 T/2內(nèi)的波形數(shù)的關(guān)系

5 原理的拓展

其實(shí)不僅僅當(dāng)激光經(jīng)過(guò)垂直或水平運(yùn)動(dòng)的光柵上會(huì)產(chǎn)生頻移,當(dāng)光柵的運(yùn)動(dòng)速度與光柵平面法向有任意夾角α?xí)r,衍射光相對(duì)于入射光均會(huì)產(chǎn)生頻移現(xiàn)象.

如圖8所示,當(dāng)光柵的速度和光柵平面的法向有α的夾角時(shí),對(duì)應(yīng)于同一級(jí)次的衍射光,在波陣面上發(fā)出的點(diǎn)有v t的位移,造成的相位差為將α=90°代入(6)式,得 :

即運(yùn)動(dòng)光柵沿垂直方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的相位差公式.將α=0°代入(6)式 ,得 :

圖8 原理的拓展

即運(yùn)動(dòng)光柵沿平行方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的相位差公式.

可見(jiàn),激光垂直入射到運(yùn)動(dòng)光柵上,當(dāng)運(yùn)動(dòng)光柵的速度和光柵平面的法向有任意夾角時(shí),均會(huì)產(chǎn)生頻移現(xiàn)象,進(jìn)而可以用來(lái)測(cè)量微小位移量.

6 結(jié)束語(yǔ)

本文驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)光柵平行光路運(yùn)動(dòng)時(shí),衍射光相對(duì)于入射光可以產(chǎn)生頻率的變化.從理論上推導(dǎo)了頻移公式,利用這個(gè)原理測(cè)量了微小位移.通過(guò)與運(yùn)動(dòng)光柵垂直方向運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)相比較,驗(yàn)證了理論的正確性.對(duì)此理論還做了進(jìn)一步的拓展,激光垂直入射到運(yùn)動(dòng)光柵上,當(dāng)運(yùn)動(dòng)光柵的速度和光柵平面的法向有任意夾角時(shí),均會(huì)產(chǎn)生頻移現(xiàn)象,從原理上講是光的多普勒效應(yīng).

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