田陽陽

(儀征市第二中學 江蘇 揚州 211400)

如圖1所示，一輛汽車通過一根繩SE跨過定滑輪O提升一重物.繩的S端拴在車后的掛鉤上，E端拴在重物上.設繩的總長不變，繩的質量、定滑輪的質量和尺寸、滑輪上的摩擦力都忽略不計．開始時，車在A處，滑輪左右兩側繩都已繃緊并且是豎直的.提升時車由靜止開始向左作加速度為a的勻加速直線運動，經過時間t后運動到B點，此時車速為v車，繩子SO段與水平方向上的夾角為θ.已知定滑輪O與水平地面之間的高度為h，圖中i、j、k分別為三個方向上的單位向量.現分別探究SO段繩上距S點為b的P點及EO段繩上距E點為c的Q點的速度與加速度.

圖1

1 繩上任一點的速度及討論

1.1 SO段繩上任一點的速度及討論

1.1.1SO段繩上任一點的速度

SO段繩上任一點P的速度等于隨繩收縮的i速度分量與繞繩轉動的j速度分量的矢量和.即

vP=vi|b=bi+vj|b=bj

(1)

對繩的S端點(即b=0)處，已知其速度為

v=vi|b=0i+vj|b=0j

(2)

其中

vi|b=0=v車cosθvj|b=0=v車sinθ

又vj|b=0=lω(l為SO段繩的長度)，所以SO段繩繞O轉動的角速度

對同一段繩上任一點P

vi|b=b=vi|b=0=v車cosθ

vj|b=b=(l-b)ω

所以

vP=vi|b=bi+vj|b=bj=

(3)

考查(3)式不難發(fā)現，當小車從A點開始運動時，θ、v車、l三個量都隨時間t變化，為了便于討論問題，這里把三個變量統(tǒng)一到同一個變量即時間t上.取小車的初始位置A為坐標原點，AB方向為x軸正方向，并設B點的位置坐標為x，則

將l、cosθ、sinθ代入(3)式得

(4)

因為小車由A點出發(fā)作初速度為零，加速度為a的勻加速直線運動，所以有

將v車、x代入(4)式得

(5)

(6)

(7)

1.1.2 討論

取h=2 m，a=1 m/s2，b=1 m代入(6)、(7)兩式得

(8)

(9)

取t∈[0,100],利用Mathematica軟件作出

vi|b=1-t及vj|b=1-t的圖像如圖2、圖3所示.

圖2

圖3

從圖像可以看出，vi|b=1隨著時間的增大而增大，vj|b=1隨著時間的增大而先增至最大后，緩慢遞減至零.從而SO段繩上距S點為b的P點，其速度的j分量vj|b=1最終趨于零，即SO段繩子最終不再繞O旋轉，繩子趨于水平.

1.2 EO段繩上任一點的速度及討論

1.2.1EO段繩上任一點的速度

EO段繩上任一點Q的速度等于隨繩收縮的速度分量，即

vQ=vi|c=ck=(v車cosθ)k

(10)

(11)

1.2.2 討論

由(11)式可知，vQ與Q點距E的距離c無關,且其量值與vP中的i分量完全相同，不再贅述.

2 繩上任一點的加速度及討論

2.1 SO段繩上任一點的加速度及討論

2.1.1SO段繩上任一點的加速度

SO段繩上任一點P的加速度等于i方向的加速度分量ai和j方向的加速度分量aj的矢量和，即

aP=ai|b=bi+aj|b=bj

其中i方向的加速度分量ai等于拉繩加速度分量a‖與繩繞定滑輪O轉動而產生的另一沿繩方向的加速度分量a‖′的矢量和[1～2]；j方向的加速度分量aj是由j方向的速度分量的量值改變及i方向的速度分量的方向改變所引起的[2]，即

(12)

對繩的S端點(即b=0)處，已知其加速度為

acosθi+acosθj

(13)

其中

aj|b=0=asinθ=lβ+2viω[2](β為角加速度，ω為角速度),所以有[3]

對同一段繩上任一點P，有

aj|b=b=(l-b)β+2viω

所以

ai|b=bi+aj|b=bj

(14)

其中

(15)

(16)

2.1.2 討論

取h=2 m，a=1 m/s2，b=1 m代入(15)、(16)兩式得

(17)

(18)

取t∈[0,15]，利用Mathematica軟件作出

ai|b=1-t及aj|b=1-t的圖像如圖4、圖5所示.

圖4

圖5

從圖像可以看出，ai|b=1隨著時間的增大而增大，最終趨于一定值，即趨于汽車的加速度a=1 m/s2；aj|b=1隨著時間的增大而先增大至最大后迅速減小，最終平緩地趨近于零.

以上分析結果與現實情景完全符合：現實中隨著時間的推移，汽車后面的SO段繩子將趨于水平，致使ai趨向于汽車勻加速運動的加速度a，aj趨向于零.

2.2 EO段繩上任一點的加速度及討論

2.2.1EO段繩上任一點的加速度

EO段繩上任一點Q的加速度等于拉繩加速度分量a‖，即

(19)

將各變量統(tǒng)一到時間t上后，(19)式變?yōu)?/p>

(20)

2.2.2 討論

取h=2 m，a=1 m/s2代入(20)式得：

(21)

由(21)式可知,aQ與Q點距E的距離c無關.

取t∈[0,15]，利用Mathematica軟件作出aQ-t的圖像如圖6所示.從圖像可以看出，aQ-t隨著時間的增大而先增至最大后，平緩地減小，最終趨于一定值，即趨于汽車的加速度a=1 m/s2；與圖4比較可以看出，SO段與EO段繩上任一點的加速度最終趨于相同.究其原因，SO段繩最終趨于水平，i方向速度分量的方向不再改變； 同時繩上任一點速度的j分量也趨于零.從而因j分量量值存在而產生的加速度分量a‖′及因i方向速度分量的方向改變和j方向速度分量的量值改變而產生的加速度分量aj不再存在.從而SO段與EO段繩上任一點的加速度不再有區(qū)別.

圖6

3 結束語

本文從分析繩上任一點速度的各分量及加速度的各分量的產生原因出發(fā)，明確指出了同一根繩上任一點速度的vi分量及加速度的a‖分量相同，并利用數形結合的方法將繩上各點的運動情況明顯地呈現出來.從速度及加速度的圖像及表達式可以明顯看出SO段繩上任一點(除端點S)在開始階段都在做變加速曲線運動.而EO段繩上任一點在開始階段都在做變加速直線運動.

參考文獻

1 錢樹高，夏英齊.用繩拉船和速度的合成與分解.物理與工程，2009，19(2)：55

2 周衍柏.理論力學教程.北京：高等教育出版社，2006：9～17

3 周侃，周軍.加速度分解不能類比速度分解.物理教學，2008，30(1):40