鄭永紅

(北京信息科技大學(xué)理學(xué)院 北京 100085)

電容器是現(xiàn)代電工技術(shù)和電子技術(shù)中的重要元件，在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用[1]．電容是電容器的重要參數(shù)，根據(jù)不同需要，電容器的形狀以及電容器內(nèi)所填充的電介質(zhì)也不同．平板電容器是最常見的一種電容器，大學(xué)物理教學(xué)中，討論過真空平板電容器、各向同性平板電容器電容的計(jì)算．本文根據(jù)平板電容器的串并聯(lián)公式，介紹求解各向異性平板電容器電容的疊加法．利用此方法，進(jìn)一步討論當(dāng)電容器中充有線性和指數(shù)各向異性電介質(zhì)時(shí)，電容器電容的計(jì)算． 為大學(xué)生提供了一種求解各向異性電介質(zhì)平板電容器電容的方法．

1 各向同性平板電容器電容

真空中平板電容器，平板的面積為S,兩平板相距為d(S?d2)，如圖1所示．設(shè)兩極板的面電荷密度為±σ，則極板間的電場強(qiáng)度為[2]

圖1

(1)

由(1)式，兩極板間的電勢差為

(2)

再根據(jù)電容的定義

(3)

可見，平板電容器的電容，與極板的面積S成正比，與極板間距d成反比．那么，當(dāng)極板間充滿各向同性的電介質(zhì)時(shí)，電介質(zhì)的介電常量為ε，如圖2所示，則電容器的電容為[3]

(4)

圖2

2 平板電容器電容疊加法

多個(gè)平板電容器并聯(lián)，如圖3所示.此時(shí)電容器總電容為

C=C1+C2+C3

(5)

圖3

圖4

設(shè)電介質(zhì)的介電常量為ε(x)，即ε是x的函數(shù)，可以把電介質(zhì)取成如圖4所示許許多多的窄條，每一窄條相當(dāng)于各向同性的電介質(zhì).設(shè)此窄條電容為dC，則根據(jù)電容器的并聯(lián)原理，此時(shí)電容器的電容為dC的疊加，圖中a為極板的長度．

(6)

多個(gè)平板電容器串聯(lián)，如圖5所示.此時(shí)總電容為

(7)

圖5

(8)

圖6

3 各向異性電介質(zhì)平板電容器電容的計(jì)算

3.1 線性各向異性電介質(zhì)

利用上述電容的疊加原理，可以計(jì)算線性各向異性電介質(zhì)分布的平板電容器的電容．

(9)

由平板電容的疊加法，根據(jù)(6)式，有

(10)

電容器中充有此種電介質(zhì)時(shí)，電容器電容是真空電容器電容的1.5倍．

(11)

由平板電容的疊加法，根據(jù)(8)式，有

(12)

所以，總電容C最后由(12)式得

(13)

電容器中充有此種電介質(zhì)時(shí)，電容器的電容是真空的1.44倍．可見，隨x分布線性電介質(zhì)比填充隨y分布線性電介質(zhì)，對電容器電容的影響較大些．

3.2 指數(shù)各向異性電介質(zhì)

(14)

由平板電容的疊加法，根據(jù)(6)式，有

(15)

通過計(jì)算電容器中充有此種電介質(zhì)時(shí)，電容器的電容是真空的1.7倍．

(16)

由平板電容的疊加法，根據(jù)(8)式，有

(17)

所以，總電容C最后由(17)式得

(18)

電容器中充有此種電介質(zhì)時(shí)，電容器的電容是真空的1.59倍．可見，隨x分布指數(shù)電介質(zhì)比填充隨y分布指數(shù)電介質(zhì)，對電容器電容的影響較大些．指數(shù)電介質(zhì)比線性電介質(zhì)對電容的影響更大些．

4 結(jié)論

根據(jù)各向同性電介質(zhì)平板電容器電容的公式，利用平板電容器電容的疊加原理，計(jì)算了各向異性線性電介質(zhì)、指數(shù)電介質(zhì)電容器的電容．從計(jì)算的結(jié)果可以看出，當(dāng)平板電容器中充有線性各向異性電介質(zhì)時(shí)，隨x分布線性電介質(zhì)比填充隨y分布線性電介質(zhì)，對電容器電容的影響較大些；當(dāng)平板電容器中充有指數(shù)各向異性電介質(zhì)時(shí)，隨x分布指數(shù)電介質(zhì)比填充隨y分布指數(shù)電介質(zhì)，對電容器電容的影響較大些．總體來說，如本文中所給出的電價(jià)常量ε的函數(shù)關(guān)系，指數(shù)電介質(zhì)比線性電介質(zhì)對電容的影響更大些．

參考文獻(xiàn)

1 趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)(上冊).北京：高等教育出版社，2008.156

2 程守洙，江之永.普通物理學(xué)(2).北京：高等教育出版社，2008.98

3 馬文尉，周雨青,等.物理學(xué)教程(上冊).北京：高等教育出版社，2006.56