賈光一 費(fèi)英瓊

(廊坊師范學(xué)院 河北 廊坊 065000)

同軸電纜應(yīng)用廣泛，但實(shí)際中的電纜并非是理想的.現(xiàn)考慮并計(jì)算如下所述的非理想同軸電纜的漏電電阻.

【例】如圖1所示，中心導(dǎo)線的半徑為a，它位于半徑為b的接地外導(dǎo)電圓筒的軸線上.內(nèi)外導(dǎo)線之間的空間充滿了一種電導(dǎo)率為σ的非理想絕緣材料，求此電纜長度為L的一段中心導(dǎo)線和外導(dǎo)線之間的漏電電阻是多少？

圖1 由同軸圓柱導(dǎo)線構(gòu)成的電纜.內(nèi)外導(dǎo)

分析：這個(gè)電阻有實(shí)際意義，因?yàn)橥S電纜的外導(dǎo)體通?？偸墙拥兀蟮乇３值入妱?shì).當(dāng)這種電纜被用于沿中心線傳輸電壓時(shí)，正是這個(gè)電阻確定了對(duì)地的漏電流.為了求出這個(gè)電阻，下面我們通過三種方法來進(jìn)行計(jì)算，最后進(jìn)行比較.

1 電阻公式法

則長度為L的一段電纜內(nèi)的漏電電阻為[1]

(1)

2 穩(wěn)恒電流法

先計(jì)算當(dāng)中心導(dǎo)線維持一個(gè)電勢(shì)U時(shí)，長度為L的一段電纜上從中心導(dǎo)線流到外導(dǎo)電圓筒的電流I，有

(2)

式中j是長度為L的中心導(dǎo)線表面S1附近絕緣體中的電流密度.(這個(gè)電流可以在內(nèi)外導(dǎo)體之間包圍中心導(dǎo)線的一個(gè)任意曲面上取電流密度的面積分而得到.我們選擇面S1，只是為了方便)對(duì)于許多材料，在穩(wěn)態(tài)情況下，電流密度與電場(chǎng)成正比，即

j=σE

(3)

對(duì)于此問題，式中E是在面S1附近的電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)與金屬表面垂直，而且根據(jù)對(duì)稱性，它具有常數(shù)值E(a).式(2)于是可以改寫為

I=2πaLσE(a)

(4)

于是，問題便簡化為利用量U、a和b來確定電場(chǎng)E.

當(dāng)一個(gè)電動(dòng)勢(shì)的源產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)恒電流時(shí)，在這個(gè)源外部的電場(chǎng)處處都是靜電場(chǎng).因此，電場(chǎng)E可以根據(jù)下式用靜電勢(shì)φ來表示

E=-▽?duì)?/p>

(5)

這樣，我們需要一個(gè)方程，以便從這個(gè)方程求出在這種材料內(nèi)各處的電勢(shì).結(jié)合式(3)和式(5)，得到

j=-σ▽?duì)?/p>

(6)

或

▽·j=-σ▽2φ

(7)

在任意一點(diǎn)上的電流密度的散度，是從包圍該點(diǎn)的一個(gè)很小體積的表面流出的矢量j的通量的量度.如果電流是穩(wěn)恒的，那么進(jìn)入材料任一小體積內(nèi)的電荷與離開該小體積的電荷數(shù)量相同，因而j的散度處處為零.于是

▽2φ=0

(8)

在導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)處處都得到滿足.式(8)是一個(gè)拉普拉斯方程，它與對(duì)沒有電流和沒有自由電荷的體密度區(qū)域?qū)С龅撵o電勢(shì)方程相同.在目前的問題中，需要找到式(8)滿足下列邊界條件的一個(gè)解：

1) 電勢(shì)在面S1上所有各點(diǎn)都具有常數(shù)值U；

2) 在面S2上所有各點(diǎn)則具有常數(shù)零(外導(dǎo)體接地).

圖2 柱極坐標(biāo)

對(duì)于同軸電纜，采用柱極坐標(biāo)(r，θ，z)比較合適.在柱極坐標(biāo)系中，r是從(r，θ，z)到z軸的垂直距離，如圖2所示.角度θ是由原點(diǎn)引出的位置矢量相對(duì)于x軸的方位角.在柱極坐標(biāo)系中，拉普拉斯算符的形式為

由于同軸電纜具有圓柱對(duì)稱性，所以討論的電勢(shì)與θ無關(guān)；此外，對(duì)于長電纜可以略去邊緣效應(yīng)，即電勢(shì)與z無關(guān)，于是拉普拉斯方程簡化為

由此可得

其中A為常量.因而

φ(r)=Alnr+C

(9)

其中C是另一積分常數(shù)；A和C由邊界條件決定.其中

根據(jù)式(4)和式(5)，我們求得[2]

因而

(10)

3 靜電場(chǎng)法

運(yùn)用這種方法需要考慮到，當(dāng)存在著電介質(zhì)和導(dǎo)電材料時(shí)，將出現(xiàn)感應(yīng)電荷和極化電荷，而它們的數(shù)值又只有當(dāng)電場(chǎng)或電勢(shì)為已知時(shí)才有可能求出.因此在事先不知道極化電荷分布的情況下，需要引入電位移矢量D來計(jì)算有電介質(zhì)時(shí)的電場(chǎng).

設(shè)在中心線和外導(dǎo)體之間的均勻非理想絕緣材料的相對(duì)介電常數(shù)為ε，這兩個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成了一個(gè)電容器.當(dāng)它們之間維持一個(gè)電勢(shì)差U時(shí)，內(nèi)外導(dǎo)體的表面上都會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷.對(duì)于非理想絕緣材料，上面已經(jīng)提到，由于進(jìn)入材料任一小體積內(nèi)的電荷與離開該小體積的電荷數(shù)量相同，因而絕緣材料內(nèi)的自由電荷總量為零.假設(shè)中心線表面上的電荷密度為α，那么在1 m長的導(dǎo)線上的總電荷就是Q=2πaα.電位移矢量顯然具有柱對(duì)稱性，它的大小僅取決于離軸線的距離r.從一個(gè)半徑為r、單位長度的圓柱面S穿出的D通量為

因此

又

D=εε0E

故有[2]

由此可算得絕緣材料內(nèi)r處與外導(dǎo)體之間的電勢(shì)差為

(11)

當(dāng)r=a時(shí)，

(12)

所以得到

代入(11)式，得到

(13)

式(13)與式(9)是一致的.然后，根據(jù)式(4)和式(5)，仍可以得到

常用絕緣材料的電導(dǎo)率的量級(jí)為10-12(Ω·m)-1.如果電纜中心導(dǎo)線的半徑為1.5 mm，外導(dǎo)線的半徑為10 mm，而內(nèi)外導(dǎo)線之間充滿上述絕緣材料，則對(duì)于長100 m的這種電纜，其泄露電阻約為3×109Ω.

必須強(qiáng)調(diào)指出，上述的電阻計(jì)算只有在材料服從歐姆定律時(shí)才是正確的，但實(shí)際并非總是如此，例如許多材料在高電場(chǎng)中便不遵從歐姆定律；對(duì)于半導(dǎo)體二極管、真空二極管以及許多氣體導(dǎo)電管等元器件[3]，歐姆定律也不再成立[注]注：在參考文獻(xiàn)【2】中，該處的C值并沒有負(fù)號(hào)，經(jīng)過計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)此處是文獻(xiàn)【2】中的一個(gè)疏忽..

參考文獻(xiàn)

1 史祥蓉，韓仙華.電磁學(xué).同步學(xué)習(xí)指導(dǎo).北京：國防工業(yè)出版社，2007，52

2 I.S.Grant WR.Phillips著.劉岐元，王鳴陽譯.電磁學(xué).北京：人民教育出版社，1983.128～131，78～79

3 梁燦彬，等.電磁學(xué).北京：高等教育出版社，2004，125