劉 冰

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平136000)

Burr分布是由BurrI.W.在1942年首先引入的，如今在社會科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)、環(huán)境科學(xué)、保險(xiǎn)精算學(xué)等諸多領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用.特別地該分布還被列入了精算師常用八大分布之一，可見其在應(yīng)用中的重要性.張彩平[1]在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的前提下研究了三參數(shù)Burr分布的估計(jì)和檢驗(yàn)問題.陳志強(qiáng)等[2]研究了熵?fù)p失函數(shù)下Burr分布參數(shù)的Bayes估計(jì)，本文將討論在一種對稱損失下，當(dāng)參數(shù)α已知時，Burr分布參數(shù)θ的Bayes估計(jì).

雙參數(shù)Burr分布的隨機(jī)變量，其密度函數(shù)是

f(x|θ，α)=θ·α·xα-1·(1+xα)-(1+θ),

x>0,θ>0,α>0

(1)

我們在對稱損失函數(shù)[3]

(2)

意義下考慮參數(shù)θ的估計(jì)，其中δ是θ的判決空間的一個估計(jì)，可知這個損失函數(shù)關(guān)于δ是嚴(yán)凸的，且在δ=θ處取得唯一的最小值.

1 參數(shù)θ的Bayes估計(jì)

我們討論參數(shù)θ的Bayes估計(jì)，記X=(X1,X2,…,Xn)，對任意先驗(yàn)分布π(θ)，θ的Bayes估計(jì)均為

取先驗(yàn)分布為Burr分布參數(shù)θ的共軛先驗(yàn)分布Gamma分布Γ(α,λ)，其密度函數(shù)為

(3)

其中m，λ，θ為未知參數(shù).下面以定理形式給出給定先驗(yàn)分布后參數(shù)θ的Bayes估計(jì)的精確形式.

2 參數(shù)的多層Bayes估計(jì)

在共軛分布(3)中m,λ是未知參數(shù)，那么δB(X)中仍然含有超參數(shù)m,λ，因而需要進(jìn)一步討論θ的多層Bayes估計(jì).文獻(xiàn)[4]介紹了選擇多層先驗(yàn)分布的原則和方法，由Burr分布的特征，采用減函數(shù)法來確定超參數(shù)m,λ的先驗(yàn)分布.

π2(m)=U(0,1),π2(λ)=U(0,c)，c為常數(shù).

(4)

定理3 對于Burr分布取(3)和(4)為θ的先驗(yàn)分布,在損失(2)下，θ的多層Bayes估計(jì)為

證明 由(3)和(4)可知，θ的先驗(yàn)分布為

從而θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

則在損失(2)下，θ的多層Bayes估計(jì)為

3 Bayes估計(jì)的容許性

定理4[5]在給定的Bayes決策問題中，假如對給定的先驗(yàn)分布π(θ)的Bayes估計(jì)δB(x)是唯一的，則它是容許的.

證明 假設(shè)δB(X)是非容許的，則存在另一個估計(jì)δ(X)≠δB(X)，使得R(θ,δ)≤R(θ,δB)，?θ∈Θ且至少對某一個θ有嚴(yán)格不等式成立，上式兩邊對先驗(yàn)分布積分，可知δ(X)是θ的Bayes估計(jì)，這與唯一性矛盾，故δB(X)是可容許的.

從這個定理可以看出，當(dāng)損失函數(shù)是嚴(yán)格凸函數(shù)時其Bayes估計(jì)必是唯一的，從而也是可容許的.由對稱損失函數(shù)(2)是關(guān)于δ的嚴(yán)格凸函數(shù)，則其Bayes估計(jì)必是唯一的，由定理4可知，δB(X)是可容許的.

參考文獻(xiàn):

[1]張彩平.三參Burr分布的估計(jì)和檢驗(yàn)問題[D].上海:華東師范大學(xué),2006.

[2]陳志強(qiáng),韋程東,程艷琴.熵函數(shù)Burr分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,24(3):30-34.

[3]徐寶.一種對稱損失下Poisson分布參數(shù)倒數(shù)的Bayes估計(jì)[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào),2006(3):53-54.

[4]韓明.多層先驗(yàn)分布的構(gòu)造及其應(yīng)用[J].運(yùn)籌學(xué)與管理,1997,6(3):31-40.

[5]茆詩松,王靜龍,濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2006.363-368.