陳衍峰,劉維玲

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,吉林 通化134002)

1 問題描述

考慮下面的不確定離散系統(tǒng)

x(k+1)=[A+△A(k)]x(k)+

[B+△B(k)]u(k)

(1)

性能指標(biāo)

(2)

其中，xk=x(k)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，uk=u(k)∈Rm是控制變量，A∈Rn×nB∈Rn×m是系統(tǒng)的給定矩陣，R和Q是給定的適當(dāng)維數(shù)的正定矩陣、B是已知適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，系統(tǒng)的不確定性△A、△B滿足如下約束條件：

[△A,△B]=DF(t)[E1，E2],FT(t)F(t)≤I

(3)

系統(tǒng)的控制u(k)滿足如下約束條件：

(4)

定義1 對系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(2)，若存在一個(gè)矩陣K∈Rm×n和一個(gè)對稱正定矩陣P∈Rn×n，使得對所有允許的不確定性[A+BK+DF(E1+E2K)]TP[A+BK+DF(E1+E2K)]-p+Q+KTRK<0.則狀態(tài)反饋控制律u(k)=Kx(k)稱為是系統(tǒng)(1)的一個(gè)具有性能矩陣P的保性能控制律.

Y>0，當(dāng)且僅當(dāng)D>0，且A-BC-1C>0或A>0，且D-CA-1B>0.

2 最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

定理1 對于系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(2)，若存在α>0，矩陣K∈Rm×n，對稱正定矩陣P∈Rn×n和對稱矩陣Z∈Rn×n，使得對所有允許的不確定性不等式

[A+BK+DF(E1+E2K)]TP[A+BK+

DF(E1+E2K)]-p+Q+KTRK<0

(5)

(6)

(7)

(8)

都成立，u(k)=Kx(k)則滿足約束條件(4)式，同時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)

x(k+1)=[A+BK+DF(E1+E2K)]x(k)

(9)

則由(8)式得到u(k)=Kx(k)滿足約束條件(4)式.

由該定理可知

其中，不等式(5)式等價(jià)于

等價(jià)于

此式又等價(jià)于存在ε>0，使得

應(yīng)用引理2，則上式又等價(jià)于

(10)

同樣對不等式(6)式和(7)式應(yīng)用Schur引理，并令αP-1=X,αKP-1=Y，可得(6)式和(7)式分別等價(jià)于

(11)

(12)

通過上面的分析，因此本文要解決的問題可由下面的廣義特征值最小化問題解決

3 數(shù)值算例

針對本文提出的問題，設(shè)

對沒有不確定性的系統(tǒng)可求出其最優(yōu)解為

ε=0.0013×107，α=9.6287×107，

Y=107[-0.0052 0.0004]，Z=9.6287×107，

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