王潁水

(河南省鄭州市第一高級(jí)中學(xué),河南鄭州 450000)

對(duì)一道涉及復(fù)合場(chǎng)競(jìng)賽題的思考與討論

王潁水

(河南省鄭州市第一高級(jí)中學(xué),河南鄭州 450000)

圖1

分析:本題是一道求解帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.現(xiàn)在有不少競(jìng)賽輔導(dǎo)資料選用此題做為能力訓(xùn)練題.但學(xué)生普遍感到這類問(wèn)題比較難,往往不知如何下手,并會(huì)產(chǎn)生一些疑惑,概括起來(lái)共有以下3點(diǎn):①帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中的軌跡方程怎樣建立?②質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)不會(huì)出現(xiàn)勻速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程?③如果質(zhì)點(diǎn)能運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn),那么在最低點(diǎn)的曲率半徑與該點(diǎn)到x軸的距離有什么關(guān)系?

下面首先運(yùn)用牛頓第二定律這一最基本的解題方法求出軌跡方程,然后對(duì)軌跡方程進(jìn)行分析,從而找出更巧妙的解題方法,并進(jìn)行討論,回答學(xué)生的有關(guān)疑問(wèn).

解法1:利用牛頓定律求解

令t=0時(shí),質(zhì)點(diǎn)在O點(diǎn)的速度為v0,方向沿y軸正方向,t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)到達(dá)p點(diǎn),受有重力mg和洛倫茲力qvB,如圖 2所示,將速度v分解為沿x軸和y軸的兩個(gè)分量vx和vy.則洛倫茲力在x方向和y方向的分量分別為

圖2

思考:全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽明文規(guī)定,在處理競(jìng)賽問(wèn)題時(shí),要求學(xué)完中學(xué)階段的全部初等數(shù)學(xué)知識(shí).不要求用微積分進(jìn)行推導(dǎo)和運(yùn)算.那么本題能否用初等數(shù)學(xué)知識(shí)求解呢?答案是肯定的.因?yàn)楦鶕?jù)(14)和(15)兩式可知,帶電質(zhì)點(diǎn)的軌跡形狀是一根擺線(又稱旋輪線).在數(shù)學(xué)上,一個(gè)動(dòng)圓沿著一條直線作純滾動(dòng)時(shí),動(dòng)圓圓周上一點(diǎn)所畫出的平面曲線就是擺線.因此在物理上,從運(yùn)動(dòng)的合成和分解的角度來(lái)看,本題中帶電質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)可視為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng):①沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),②相對(duì)于動(dòng)圓圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng).下面從這一觀點(diǎn)推導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程.

解法2:利用運(yùn)動(dòng)合成和分解的方法求解

如圖3所示,在t=0時(shí),將v0分解為沿正x軸方向的速度v1和傾斜向下的速度v2且使v1滿足

圖3

可見(jiàn):質(zhì)點(diǎn)m在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是這樣的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng),①?gòu)淖鴺?biāo)原點(diǎn)開(kāi)始沿正x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),其速度大小為v1=2m/s,②繞動(dòng)圓圓心O′逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng).其速度大小為v2=22 m/s.而動(dòng)圓圓心的速度為v1=2 m/s,方向沿x軸正方向.

因?yàn)槁鍌惼澚Τ洚?dāng)向心力,即

設(shè)t時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)位于動(dòng)圓上的P點(diǎn),如圖4所示.

圖4

討論:①由(18)和(19)兩式可知,帶電質(zhì)點(diǎn)的ax和ay不可能同時(shí)為零,即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其加速度不可能為零,因此質(zhì)點(diǎn)不可能從某一時(shí)刻開(kāi)始做勻速直線運(yùn)動(dòng).

②設(shè)磁場(chǎng)上、下邊界之間的距離L足夠大,則質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與x軸的最大距離H和此時(shí)軌跡的曲率半徑r的關(guān)系是

證明如下:

據(jù)圖5知,質(zhì)點(diǎn)在第一次下降的最大距離為

如圖6,設(shè)質(zhì)點(diǎn)在最低點(diǎn)D處的速度為v,據(jù)速度合成定理知

又在最低點(diǎn),據(jù)牛頓第二定律

③一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)可以分解為幾個(gè)較簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)來(lái)處理,這種化難為易,化繁為簡(jiǎn)的解題思想方法在高中物理競(jìng)賽中經(jīng)常應(yīng)用,較簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)主要是指勻速直線運(yùn)動(dòng),勻加速直線運(yùn)動(dòng),勻速圓周運(yùn)動(dòng)等.我們只有在平時(shí)的教學(xué)中,將基礎(chǔ)知識(shí)活化,對(duì)習(xí)題進(jìn)行拓展和挖掘,才能使學(xué)生會(huì)用最基本的知識(shí)去解決較繁,較難的問(wèn)題,這就是能力的培養(yǎng)過(guò)程.

④在教學(xué)中,我們要正確處理高考與競(jìng)賽,學(xué)科內(nèi)與學(xué)科間,中學(xué)與大學(xué)中某些知識(shí)點(diǎn)的交匯關(guān)系,(如本題中的擺線就是一個(gè)常見(jiàn)的曲線,涉及知識(shí)點(diǎn)比較多,但中學(xué)數(shù)學(xué)沒(méi)有涉及這一內(nèi)容.)我們要將這些內(nèi)容有機(jī)的銜接,因?yàn)樵谶@些銜接中教師的解題思想和解題方法會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生潛移默化的影響.長(zhǎng)此以往,會(huì)使學(xué)生的學(xué)科思想和解題能力得到大幅度的提高,終身受益.

2010-07-21)