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        內(nèi)積H-Z-空間中的一·五線性泛函及其性質(zhì)

        2010-01-18 06:46:57楊萬必秦宣華
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)定義

        楊萬必,秦宣華

        (湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

        文獻[1]引入了Z-空間(X,+,θ,‖·‖)的概念,文獻[2~5]引出了B-Z-空間,文獻[6]引入了共軛Z-空間與共軛Z-算子,文獻[7]引入了內(nèi)積Z-空間,文獻[8] 引入了內(nèi)積H-Z-空間;在此基礎(chǔ)上,本文提出了內(nèi)積H-Z-空間中一·五線性泛函的概念,并將泛函分析學(xué)中希爾伯特空間中一·五線性泛函的性質(zhì)移植到內(nèi)積H-Z-空間之中.本文首先介紹了共軛Z-空間與共軛Z-算子、內(nèi)積Z-空間和內(nèi)積H-Z-空間的概念;然后討論了內(nèi)積H-Z-空間中的一·五線性泛函的性質(zhì).

        定義1[4]Z-空間X上的連續(xù)線性泛函的全體記為X*稱X*是X的共軛Z-空間.

        定義2[4]若X是Z-空間,X*的共軛Z-空間稱為X的二次共軛Z-空間,記作X**.

        定義3[4]若X是Z-空間,稱算子J:X→X**,Jx=x**,x**(f)=f(x),?f∈X*為從X到X**的自然嵌入Z-算子.

        定義4[4,5]設(shè)X為Z-空間,J∶X→X**為自然嵌入映射.若J(X)=X**,稱X為自反Z-空間.

        定義5[4,5]設(shè)X是Z-空間,若?x,y∈x,當(dāng)x≠y,‖x‖=‖y‖=1時,

        (1)

        則稱X為嚴(yán)格凸Z-空間.

        命題1[4,5]一致凸B-Z-空間是自反Z-空間.

        命題2[4,5]B-Z-空間X是自反Z-空間當(dāng)且僅當(dāng)X*是自反Z-空間.

        定義7[6]設(shè)X、Y為Z-空間,X*、Y*分別是X、Y的共軛Z-空間,T∈RZ(X,Y).若線性算子T*∶Y*→X*滿足:

        (T*y*)(x)=y*(Tx),?x∈X,y*∈Y*.

        (2)

        則稱T*是T的共軛Z-算子.

        記f(x)=(f,x),則式(3)可以寫成:

        (T*y*,x)=(y*,Tx)

        (3)

        定義8[7]設(shè)(X,+,θ)是Abel群,Z是整數(shù)加群. 如果:

        1)?(m,x)∈Z×X,X中有唯一的元mx與之對應(yīng),且滿足:

        m(x+y)=mx+my;(m+n)x=mx+nx; (mn)x=m(nx);1·x=x;

        其中m,n∈Z;x,y∈X.

        則稱(x,y)是x,y的次內(nèi)積,稱X為內(nèi)積z-空間.

        命題3[7]Z-空間(X,‖·‖)是內(nèi)積Z-空間當(dāng)且僅當(dāng)?x,y∈X,滿足條件:

        ‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2).

        (4)

        定義9[8]完備的內(nèi)積Z-空間稱為Hilbert Z-空間,簡稱內(nèi)積H-Z-空間.

        命題4[9]若X是內(nèi)積H-Z-空間,則X是一致凸Z-空間.

        定義10[9]設(shè)H為內(nèi)積Z-空間,E?H為線性子空間,x∈H.若存在分解x=x1+x2,其中x1∈E,x2⊥E,則稱x1為x在E上的正交投影(簡稱投影),記為PEx=x1.

        命題5[9]設(shè)H為內(nèi)積Z-空間,E?H為線性子空間,y∈H,x1∈E,則以下諸條件等價:

        1)PEy=x1;

        (5)

        3)對于任何z∈E實變量函數(shù)f(λ)=‖y-x1+λz‖2在λ=0有最小值.

        命題6[9](投影定理)設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間,E?H為閉線性子空間,則?y∈H,PEy存在且唯一.

        命題7[9]設(shè)H是內(nèi)積H-Z-空間,E?H是線性子空間,記E⊥={x∈H:x⊥E},則 :

        1)E⊥是H的閉線性子空間;

        2)若E是閉的,則E⊥⊥=E;

        3)若E是閉的,則(Ei?Ei+1,i≥1),即H=E+E⊥,E∩E⊥={0};

        4)若E是閉的,P∶H→E是投影算子,則E⊥=N(P).

        定義11[10]1)設(shè)X為線性空間,T∶X→X為線性算子,若T2=T,則T稱為冪等的.

        2)設(shè)H為內(nèi)積Z-空間,T∈R(H),若(Tx,y)=(x,Ty),?x,y∈H,則T稱為自共軛算子.

        命題8[10]設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間,P∈R(H),則下列諸條件等價:

        1)P是投影算子;

        2)P2=P并且P是自共軛的;

        3)P2=P并且N(P)⊥R(P).

        定理1 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間.

        1)每個y∈H,f(x)=(x,y)是H上的連續(xù)線性泛函,并且‖f‖=‖y‖;

        2)是H上的連續(xù)線性泛函,則存在y∈H,使得:

        f(x)=(x,y) (?x∈H),‖f‖=‖y‖.

        (6)

        注1:1)稱定理1中的y為內(nèi)積H-Z-空間中線性泛函f的表現(xiàn);

        2)記H上連續(xù)線性泛函的全體為H*,定理1表明從集合論的觀點來看,H與H*是相同的.

        定理2 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間,H*是H的共軛Z-空間.

        1)若映射T∶H*→H,Tf=y,其中y是f的表現(xiàn),則:

        (7)

        (稱T為共軛線性的)T是到上的并且對于每個T∈H*,‖Tf‖=‖f‖.

        2)(Tf,Tg)=(f,g),?f,g∈H*.

        (8)

        3) 若J是從H到H*的自然嵌入算子,J是到上的線性映射,并且‖Jx‖=‖x‖(?x∈H).

        2°由‖T(f+g)‖=‖f+g‖‖T(f-g)‖=‖f-g‖,則:

        3°設(shè)J∶H→H**為自然嵌入算子,則?x∈H,Jx(y)=y(x),(?y∈H*).若x1,x2∈H,α,β∈ΦJ(αx1+βx2)(y)=y(αx1+βx2)=αy(x1)+β(x2)=αJx1(y)+βJx2(y)=(αJx1+βJx2)y,y是任意的.故J(αx1+βx2)=αJx1+βJx2.對于每個x**∈H**,由定理1,存在y*∈H*,使得x**(f)∈(f,y*)(?f∈H*)并且‖x**‖=‖y*‖.若T是1°中的映射,不妨設(shè)Ty*=x,由2°知,x**(f)=(f,y*)=(Ty*,Tf)=f(x).故Jx=x**.J是到上的并且‖Jx‖=‖x**‖=‖y*‖=‖Ty*‖=‖x‖.所以結(jié)論成立.

        注2:1)T∶H*→H是共軛線性的但不是線性的.因此按照線性同構(gòu)的觀念來看,當(dāng)φ為復(fù)空間時,H*≠H,盡管H*與H之間存在一一的到上的映射,有時又特別地稱H*與H是共軛線性同構(gòu)的.

        2)定理2(3)與一致凸Z-空間的結(jié)論是一致的,即內(nèi)積H-Z-空間是自反Z-空間.

        定義12 設(shè)H為內(nèi)積Z-空間,映射φ∶H×H→φ.

        1)若?x,y,z∈H,α,β∈φ,φ(αx+βy,z)=αφ(x,z)+βφ(y,z),φ(αx+βy,z)=αφ(x,z)+βφ(y,z)

        (9)

        則稱φ是一·五線性泛函;

        3)若存在C>0,|φ(x,y)|≤C‖x‖·‖y‖,?x,y∈H,則稱φ是有界的.并且記:

        ‖φ‖=sup{|φ(x,y)|,‖x‖≤1,‖y‖≤1}.

        (10)

        定理3 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間,φ∶H×H→φ是有界一·五線性泛函當(dāng)且僅當(dāng)存在T∈RZ(H),使得:

        φ(x,y)=(Tx,y)?x,y∈H.

        (11)

        此時有‖φ‖=‖T‖.

        故‖T‖≤‖φ‖.

        下面證明T是由φ唯一決定的.事實上,若另有T1使得(T1x,y)=φ(x,y)=(Tx,y),?x,y∈H.則由y是任意的,必有T1x=Tx,再由x的任意性得到T1=T.總之由上述證明可知‖T‖=‖φ‖.

        定理4 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間,則對于每個A∈RZ(H),存在唯一的B∈RZ(H),使得:

        (Ax,y)=(x,By),?x,y∈H.

        (12)

        證明令φ(x,y)=(x,Ay),則φ是一·五線性泛函,并且:

        |φ(x,y)|=|(x,Ay)|≤‖x‖·‖Ay‖≤‖A‖·‖x‖·‖y‖.

        φ是有界的.由定理3,存在B∈R(H)使得:

        φ(x,y)=(Bx,y),

        于是(Ax,y)=(x,By),交換x與y的符號即得(Ax,y)=(x,By).

        [1]王國俊,白永成.平移空間的線性結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2005,48(1):1-10.

        [2]楊萬必,秦宣華.Z-空間上的線性算子的性質(zhì)[J].中南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,25(1):97-99.

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        [6]楊萬必.共軛Z-空間與共軛Z-算子的性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,26(1):012-014.060.

        [7]楊萬必.內(nèi)積Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,26(3):330-331.

        [8]楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,27(2):187-189.

        [9]秦宣華.楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的正交投影及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2009,26(4):383-385.

        [10]秦宣華.楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的投影算子及其性質(zhì)[J] 吉首大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2009,30(5):21-25.

        [11]劉培德.泛函分析基礎(chǔ)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2001:69-76,151-160,194-205.

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