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        線性流形上矩陣方程(AX,XB)=(C,D)最小二乘自反解及其最佳逼近

        2010-01-18 06:46:39林衛(wèi)國
        關(guān)鍵詞:科學(xué)計算興平流形

        張 敏,林衛(wèi)國

        (1.武漢軍械士官學(xué)校 基礎(chǔ)部,湖北 武漢 430075;2.武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,湖北 武漢 430070)

        本文用Cm×n表示m×n復(fù)矩陣集,OCn×n為n階酉矩陣集,0為零矩陣,AH與rank(A)分別表示復(fù)矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置與秩,‖·‖表示矩陣的Frobenius范數(shù),A+表示矩陣的Moore-penrose廣義逆,A*B表示A與B的Hadamard乘積,即當(dāng)A=(aij),B=(bij)∈Cn×m時有A*B=(aijbij)∈Cn×m.

        定義1[1]如果P∈Cn×n滿足:(i)P=PH,(ii)P2=In,則稱P為廣義反射陣.

        定義2[1]設(shè)P∈Cn×n為廣義反射陣,稱A∈Cn×n為關(guān)于P的自反陣(反自反陣),若A=PAP(A=-PAP).

        對于生產(chǎn)實(shí)踐中的這樣一類線性系統(tǒng):AX=B,XD=E,其中A∈Cm×n,B∈Cm×p,D∈Cp×q,E∈Cn×q是給定的矩陣.1910年Cecioni[2]給出了該線性系統(tǒng)有公共解的充分必要條件,1984年Mitra[3]討論了最小可能秩解,2006年盛興平和陳果良[4]對此矩陣方程有公共解和無公共解時的情況做了詳細(xì)的討論.鑒于自反矩陣[5~7]具有很好的性質(zhì),且在工程和科學(xué)計算中有很廣泛的應(yīng)用,因此研究線性流形上該線性矩陣方程組的自反解對豐富矩陣?yán)碚?、工程?yīng)用和科學(xué)計算都有重要意義.本文討論如下兩個問題:

        (1)

        問題1 求X∈S,使得‖AX-C‖2+‖XB-D‖2=min.

        1 幾個引理

        引理1[1]設(shè)P∈Cn×n為廣義反射陣,則存在U∈OCn×n,使得:

        (2)

        證明過程類似于文獻(xiàn)[5]中定理1,顯然S為線性流形.

        2 主要結(jié)果

        定理1 給定A,C∈Cm×n;B,D∈Cn×k,令:

        (3)

        其中:

        M1=(M11,M12)∈OCm×m,N1=(N11,N12)∈OCr×r,M2=(M21,M22)∈OCm×m,

        N2=(N21,N22)∈OC(n-r)×(n-r),P1=(P11,P12)∈OC(r-t1)×(r-t1),R1=(R11,R12)∈OCk×k,

        Γ1=diag(δ1,δ2,…,δr1),δi>0(i=1,2,…,r1),Γ2=diag(γ1,γ2,…,γr2),γi>0(i=1,2,…,r2),

        ∑1=diag(ξ1,ξ2,…,ξs1),ξi>0(i=1,2,…,s1),Σ2=diag(α1,α2,…,αs2),αi>0(i=1,2,…,s2),

        M11∈Rm×r1,M21∈Rm×r2,N11∈Rr×r1,N21∈R(n-r)×r2,P11∈R(r-t1)×s1,P21∈R(n-r-t2)×s2,R11∈Rk×s1,R21∈Rk×s2,

        則問題1的解的表達(dá)式為:

        (4)

        其中:

        并且G1∈C(r-r1)×(r-t1-s1),G2∈C(n-r-r2)×(n-r-t2-s2)為任意矩陣.

        證明由引理4以及U,Q1,Q2的酉不變性知:

        ‖AX-C‖2+‖XB-D‖2=

        故‖AX-C‖2+‖XB-D‖2=min等價于:

        (5)

        (6)

        (7)

        由式(3),(7)知:

        故式(5)等價于:

        故問題1的解的表達(dá)式為(4)式.

        (8)

        其中:

        證明由于:

        故‖X-X*‖=min等價于:

        (9)

        (10)

        由式(4)中Z1表達(dá)式知:

        [1]陳景良,陳向暉.特殊矩陣[M].北京:清華大學(xué)出版社,2001.

        [2]Cecioni F.Sopra operazioni algebriche[J].Ann Scuola Norm Sup Piss Sci Fis MAT,1910,11:17-20.

        [3]Mitra S K.The matrix equationsAX=B,XD=E[J].Linear Algebra and Its Applications,1984,59:171-181.

        [4]盛興平,陳果良.矩陣方程AX=B,XD=E解的研究[J].蘭州大學(xué)學(xué)報,2006,42(3):101-104.

        [5]Peng Z Y,Hu X Y.The reflexive and anti-reflexive solutions of the matrix equation AX=B [J].Linear Algebra and its Applications,2003,375:148-155.

        [6]張磊,謝冬秀.一類逆特征值問題[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,1993,13(1):94-99.

        [7]Chen H C.Generalized reflexive matrices special prosperities and applications [J].SIAM J Matrix Anal Appl,1998,19:140-153.

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