周 敏,向會立

(湖北民族學院 理學院,湖北 恩施 445000)

在薛定諤方程中特征值對應于系統(tǒng)的能量，薛定諤算子第二特征值與第一特征值的差對應于離子從第一能級躍遷到第二能級所需吸收的能量，因此在數(shù)學上求出薛定諤方程的特征值是十分有意義的事情，但一般來講，由于數(shù)學上的原因，特征值的確切解很難求出，因此只好退而求其次，給出特征值之間間距的估計.在勢函數(shù)為特殊函數(shù)情形行下對薛定諤算子前兩個特征值估計見文獻[1～5],對于Dirichlet邊條件下薛定諤算子第二特征值與第一特征值的差文獻[3]已給出了相應估計，本文討論了Neumann邊條件下薛定諤算子前兩個特征值間距的估計.

定義1 稱下有界函數(shù)v為區(qū)間[0,π]上的單阱函數(shù)，若v在[0,π/2]上單調遞減，在[π/2,π]上單調遞增.記所有單阱函數(shù)全體構成的集合為SW.

定義2 考慮S-L問題:

(1)

本文結論：S-L問題:

(2)

在SW中的最優(yōu)勢函數(shù)為常函數(shù)C,且有:

引理1[1]設λn(t)為S-L問題(1)的第n個特征值，un(x,t)為對應的第n個歸一化特征函數(shù)，則有:

定義3 由引理4可將勢函數(shù)v分成如下兩類：

引理5 設u1(x)，u2(x)為：S-L問題(2)的第一，第二歸一化特征函數(shù)，則:

(1)若v為第一類勢函數(shù)，則存在x+，x-滿足0≤x-

(2)若v為第二類勢函數(shù)，則只有以下兩類情況:

(i)?x*∈(0,π)使得:

(ii)?x*∈(0,π)使得:

引理6[1]設λ1(t)，λ2(t) 為S-L問題(2)的第一，第二特征值，則:

且:

引理7 定義AM={v:0≤v≤M,v∈SW}則AM?SW且AM為凸集.

證明由AM的定義AM?SW是顯然的.下證AM為凸集.

?v1,v2∈AM及?t∈[0,1]有0≤tv1+(1-t)v2≤M又tv1∈SW,(1-t)v2∈SW故tv1+(1-t)v2∈SW,故tv1+(1-t)v2∈AM即AM為凸集.

定理1 設λ1(v)，λ2(v)為S-L問題.

(其中v(x)∈AM)的第一，第二特征值，G(v)=λ2(v)-λ1(v)則S-L問題(2)在AM中的最優(yōu)勢函數(shù)為常函數(shù)C,且有:

證明由文獻[1]知，在AM中S-L問題(2)的最優(yōu)勢函數(shù)存在這里記為v0，下面分兩種情形來確定v0的具體形式：

(1)v0為第一類勢函數(shù)的情形：

由引理5知，存在x+，x-滿足0≤x-

(3)

①x-≤π/2

(4)

由式(3)，(4)知上述不等式成立當且僅當v1(x)=v0(x)，從而v0(x)必為如下形式的階梯函數(shù)：

②π/2

同情形①一樣可以證明：v1(x)=v0(x).

其中0≤m1≤M,0≤m2≤M.

(2)v0為第二類勢函數(shù)的情形：

此時同情形①一樣，可以證明當M≥1時v0(x)必為如下形式的階梯函數(shù)：

其中0≤n1≤M,0≤n2≤M.

綜合情形①和情形②可得只要v0(x)為最優(yōu)勢函數(shù)則其必為如下形式的階梯函數(shù)：

其中0≤m≤M,0≤n≤M.

(5)

下面進一步來確定v0(x)的形式，證明m=n，從而說明最優(yōu)勢函數(shù)v0(x)只肯能為常函數(shù).事實上，當v0(x)為式(5)的形式時，S-L問題(2)的特征函數(shù)可表示為：

(6)

因為y(x)為S-L問題(2)的特征函數(shù)，故必須適當選取c,d的值，使得y,y'∈AC[0,π]即:

(7)

此時一方面將方程組(7)看作關于λ的方程組則其非負實解對應于S-L問題(2)的所有特征值，另一方面方程組(7)與方程:

(8)

同解，對方程(8)作變換t=λ-m得到方程:

(9)

[1]Miklos Horvath.On the first two eigenvalues of Sturm-Liouville operators[J].proceedings,2003,131(4):1 215-1 224.

[2]向會立.Sturmm-Liouville問題前兩個特征值間距的估計[J].湖北民學院學學報:自然科學版,2007,25(2):148-150.

[3]Richard Lavine. The eigenvalue gap for one-dimensional convex potentials[J].Proceedings of the American mathematical Society,1994,121(3):895-902.

[4]Richard Lavine. The eigenvalues gap for one dimensional convex potentials Proceeding[J].2003,124(4):815-821.

[5]Kobayashi M. Eigenvalues of discontinuous Sturm-Liouville problems With symmetric potentials[J].Computers Math Applic,1989,18(4):357-364.

[6]周敏.一類與算子譜對應的方程解得性質研究[J].湖北民族學院學報:自然科學版,2009，27(4)：391-393.