吳慶華

(孝感學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖北孝感 432000)

金融危機中企業(yè)受波及的數(shù)學模型的定性分析

吳慶華

(孝感學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖北孝感 432000)

根據金融危機中企業(yè)受波及的無免疫型傳染病模型,利用常微分方程的動力系統(tǒng)理論,對該模型進行了定性分析。得出了正平衡點的縱坐標是金融危機發(fā)生與否的臨界值。

金融危機;波及;常微分方程;奇點;臨界值

金融危機的發(fā)生和傳播過程與傳染病的發(fā)生和傳播過程極其相似。謝德政[1]等首次利用傳染病模型建立了金融危機中企業(yè)受到波及后及時調整,恢復常態(tài)后不再受波及的數(shù)學模型,即免疫型的數(shù)學模型。曹桃云[2]在前文的基礎上,考慮了企業(yè)受到波及恢復常態(tài)后可能還會受到波及的情況,建立了無免疫型的數(shù)學模型。本文根據文獻[2]提出的數(shù)學模型進行了修改,考慮了該系統(tǒng)的動力學行為。文獻[2]建立了金融危機中受波及企業(yè)的無免疫型數(shù)學模型:

其中 x(t)表示t時刻正受到金融危機波及的企業(yè)數(shù),y(t)表示t時刻易受到金融危機波及的企業(yè)數(shù);α表示金融危機的波及率,β表示受到波及后的恢復率,γ表示受到波及后的倒閉率,b表示新批準企業(yè)率。自金融危機爆發(fā)以來,各國政府紛紛采取措施進行干預。但是干預的效果卻不近人意,所以社會上對政府是否應該出手干預眾說紛紜。下面在系統(tǒng)(1)的基礎上加入政府干預項。

δ稱政府干預系數(shù),當金融危機發(fā)生時,政府會采取一定的宏觀調控手段,使得易受波及的企業(yè)數(shù)隨時間變化而減少。α,β,δ,γ,b皆為正常數(shù)。

1 模型分析

定理1系統(tǒng)(2)在第一象限內無閉軌。

證明取Dulac函數(shù)B(x,y)=xkym,k與m待定。則

取 k=m=-1,則 D=-(β+b)y-2。因為β＞0,b＞0,在第一象限內 y＞0,故 D ＜0。由Dulac準則,系統(tǒng)(2)在第一象限內無閉軌。

定理1說明金融危機不會周期性地發(fā)生。下面將分析系統(tǒng)(2)的平衡點的穩(wěn)定性及平衡點附近的相圖。

系統(tǒng)(2)有平衡點(0,0)和(x0,y0)=y0)是唯一的正平衡點。系統(tǒng)(2)在(0,0)點的線性近似為:

它的系數(shù)矩陣的特征根分別為λ1=-(β+γ),λ1=b所以(0,0)是不穩(wěn)定的鞍點。

系統(tǒng)(2)在(x0,y0)點的線性化近似為

令方程(4)的系數(shù)矩陣 A的特征根為λ1,λ2,不難得出由(4) 式中的第一式可以得出,在上半平面 x(t)單調增加,下半平面x(t)單調減少,所以(x0,y0)不可能是雙切結點。即只能是Δ≤0,所以得到下面的定理。

定理21)當Δ=0時,(x0,y0)是穩(wěn)定的單向結點,軌線的相圖如圖1。

圖 1 (Δ =0)

2)當Δ＜0時,是穩(wěn)定的焦點,軌線的相圖如圖2。

圖2 (Δ ＜ 0)

相圖1、2中的(1)區(qū)是金融危機爆發(fā)區(qū),(2)區(qū)是危機緩解區(qū),(3)區(qū)是危機解除區(qū)。

2 結論

1)金融危機不會周期性爆發(fā),y0是臨界值。當y(t)＞ y0時,即使 x(t)很小,隨著時間推移,金融危機也會爆發(fā);當y(t)＜y0時,即使x(t)很大,金融危機也很快會消失。

2)如果金融危機已經爆發(fā),即初始時刻y(t0)＞y0,x(t)會先增大后減小。當y(t)=y0時,正受波及的企業(yè)數(shù) x(t)最多,而是金融危機最終產生的破壞性影響的極限值。

3)減小b的值或者增加δ的值,會使x0減小。也就是說在金融危機已經發(fā)生時,減少新批準企業(yè)數(shù),加大政府對企業(yè)的宏觀調控可提高企業(yè)抗危機的能力,是控制金融危機的好辦法。

[1] 謝政德,楊萬年.金融危機中企業(yè)受波及的數(shù)學模型[J].數(shù)學的實踐與認識,2007,3(37):1-3.

[2] 曹桃云.金融危機中企業(yè)受波及的數(shù)學模型[J].廣州大學學報,2008,4(4):28-31.

[3] 王樹禾.微分方程模型與混沌[M].合肥:中國科技大學出版社,1999.

Analysis of Mathematical Model of Enterprises Affected in Financial Crisis

WuQinghua
(School of Mathem atics and Statistics,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432000,China)

In this paper,using the dynamical system s theory in the ordinary differential equation,we analyze the mathematical model of enterprises affected in financial crisis just as no-immune of infectious diseases.We conclude that the financial crisis will tend to some positive equilibrium and the ordinate of the positive equilibrium is the critical value of that financial crisis is broken out or not.

financial crisis;affect;ordinary differential equation;singular point;critical value

O175.1

A

1671-2544(2010)06-0021-02

2010-09-02

吳慶華(1977— ),女,湖北天門人,孝感學院數(shù)學與統(tǒng)計學院講師,碩士。

(責任編輯:陳 鑫)