康 達(dá)，鄭海鷹

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

可修系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)

康 達(dá)，鄭海鷹?

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

構(gòu)建了一個(gè)可修系統(tǒng)的修理工修理時(shí)間的試驗(yàn)方法，從而得到修理工修理時(shí)間的似然函數(shù)，因此求得修理時(shí)間服從指數(shù)分布參數(shù)μ的Bayes估計(jì)，并對(duì)具有優(yōu)先權(quán)的兩部件溫貯備系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)例分析.

可靠性；可修系統(tǒng)；Bayes估計(jì)

1 Bayes估計(jì)

假設(shè)修理工的修理時(shí)間服從指數(shù)分布，其參數(shù)μ服從的伽瑪先驗(yàn)分布[5]，令

以下根據(jù)三種不同的損失方法對(duì)μ進(jìn)行Bayes估計(jì).

1.1 平方損失函數(shù)下參數(shù)的Bayes估計(jì)

平方損失函數(shù)L(λ,δ(x)) = (δ(x) ?λ)2[1]是一種對(duì)稱的損失函數(shù)，它的參數(shù)的估計(jì)就是其后驗(yàn)期望，由此可直接對(duì)μ求Bayes估計(jì).

1.2 LINEX損失函數(shù)下參數(shù)的Bayes估計(jì)

LINEX損失函數(shù)是非對(duì)稱損失函數(shù).在日常生活中，我們都知道高估計(jì)對(duì)低估計(jì)來講，高估計(jì)帶來的損失要大些，因此，非對(duì)稱的損失函數(shù)越來越受到人們的重視.

在LINEX損失函數(shù)為L(λ,δ(x) ) ∝exp(a(δ(x) ?λ) ) ?a(δ(x) ?λ)? 1,a≠ 0下，λ的Bayes估計(jì)為λBL=?a?1ln{Eλ[exp(?aλ)]}[1].因此μ的Bayes估計(jì)如下：

1.3 熵?fù)p失函數(shù)下參數(shù)的Bayes估計(jì)

2 實(shí)例分析

為了能更好地理解可修系統(tǒng)，以具有優(yōu)先權(quán)的兩部件溫貯備系統(tǒng)為例，作以下分析.

溫貯備系統(tǒng)是可靠性理論中的一個(gè)重要模型，它主要考慮了貯備部件也存在壽命，也可能失效的情況，這和現(xiàn)實(shí)貯備部件的情況是非常接近的.本文根據(jù)實(shí)際情況，對(duì)具有優(yōu)先權(quán)的兩部件溫貯備系統(tǒng)作以下假設(shè)：

1）系統(tǒng)由兩個(gè)不同型部件和一個(gè)修理設(shè)備組成，轉(zhuǎn)換開關(guān)是瞬時(shí)的，并且是完全可靠的.

2）兩個(gè)部件分別為部件I和部件Ⅱ，其中部件I具有優(yōu)先權(quán).當(dāng)出故障的部件I被修好時(shí)，部件Ⅱ正在工作的話，則部件I立即進(jìn)入工作狀態(tài)，部件Ⅱ開始貯備；當(dāng)部件I發(fā)生故障時(shí)，部件Ⅱ也在修理的話，則部件Ⅱ待修，修理設(shè)備立即修理部件I.

3）兩部件的工作壽命服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，分布函數(shù)為F(x) = 1 ?e?λit，i=1,2；修理時(shí)間服從參數(shù)為μi的指數(shù)分布，分布函數(shù)為G(x) = 1 ?e?μit，i=1,2.由于系統(tǒng)部件I有優(yōu)先權(quán)，具有工作優(yōu)先的特點(diǎn)，所以部件I不存在貯備的情況，只有部件Ⅱ?yàn)橘A備部件，貯備壽命服從參數(shù)為γ的指數(shù)分布，分布函數(shù)為W(x) =1 ?e?γt.

4）在t=0時(shí)，兩部件均完好.部件I先開始工作，且故障修復(fù)后像新的一樣.

2.1 狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)分布

以上系統(tǒng)中，可以看作有4種不同的狀態(tài)存在.

1）狀態(tài)0：部件I在工作，部件II在貯備.

2）狀態(tài)1：部件I在工作，部件II在修理.

3）狀態(tài)2：部件II在工作，部件I在修理.

4）狀態(tài)3：部件I在修理，部件II在待修.

因此，有優(yōu)先權(quán)的兩部件溫貯備系統(tǒng)的E= {0,1,2,3}，W= {0,1,2}，F(xiàn)={3}，其中E為狀態(tài)集，W為工作狀態(tài)集，F(xiàn)為故障狀態(tài)集.由馬爾可夫定義，根據(jù)系統(tǒng)的4種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，繪出轉(zhuǎn)移概率圖（見圖1）.從圖1可以清晰地看到狀態(tài)轉(zhuǎn)移的過程.

對(duì)于壽命時(shí)間服從指數(shù)分布的參數(shù)的Bayes估計(jì)有許多，在這里就不再給出了.根據(jù)圖1，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣N可表示為：

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率圖Fig 1 Transition Probability Graph of System State

具體原理可參考文獻(xiàn)[6].通過Maple[7]求解該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布為：

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)指標(biāo)

根據(jù)上面求出的穩(wěn)態(tài)分布，下面來討論該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo).

2.2.1 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度

可用度A(t)即時(shí)刻t產(chǎn)品處于正常狀態(tài)的概率.穩(wěn)態(tài)可用度應(yīng)等于每個(gè)正常工作狀態(tài)穩(wěn)態(tài)分布的和，即：

系統(tǒng)共有3種狀態(tài)是正常的工作狀態(tài)，分別為狀態(tài)0、狀態(tài)1、狀態(tài)2.因此，該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為：

2.2.2 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障頻度

系統(tǒng)故障頻度是在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)，即:

系統(tǒng)的正常狀態(tài)i=0,1,2，故障狀態(tài)j=3.因此，該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障頻度為：

2.2.3 系統(tǒng)平均開工時(shí)間、平均停工時(shí)間和平均周期

系統(tǒng)平均開工時(shí)間、平均停工時(shí)間和平均周期3個(gè)指標(biāo)的大小，能體現(xiàn)出該系統(tǒng)的性能好壞.

由（8）式（10）式可知：

2.2.4 修理設(shè)備忙的穩(wěn)態(tài)概率

修理設(shè)備忙的穩(wěn)態(tài)概率為：

其中U是修理狀態(tài)的集合.

以上4種狀態(tài)，除了狀態(tài)1不需要修理，其它3種狀態(tài)都需要修理.因此，修理設(shè)備忙的穩(wěn)態(tài)概率為：

[1]李凌, 師義民. 逐步增加的II型截尾下冷貯備串聯(lián)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 24(5): 895-901.

[2]李秀春, 師義民, 魏杰瓊, 等. 冷貯備串聯(lián)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)Bayes近似置信限[J]. 系統(tǒng)工程, 2005, 23(3): 101-104.

[3]師義民. 雙邊截?cái)嘈头植甲鍏?shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯: 中文版, 2000, 15(4): 475-483.

[4]馮艷, 師義民, 嚴(yán)惠云, 等. 定數(shù)截尾兩參數(shù)指數(shù)-威布爾分布形狀參數(shù)的 Bayes估計(jì)[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2007, 37(5): 37-45.

[5]茆詩松. 貝葉斯統(tǒng)計(jì)[M]. 北京: 中國統(tǒng)計(jì)出版社, 1999: 36-63.

[6]曹晉華, 程侃. 可靠性數(shù)學(xué)引論[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 101-157.

[8]王瑋明. 計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)與符號(hào)計(jì)算[M]. 蘭州: 甘肅科學(xué)技術(shù)出版社, 2006: 25-50.

Bayes Estimation of Reliability Index of Repairable System

KANG Da, ZHENG Haiying
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

A test method of a repairable system for repairman’s repair time was established to find out the likelihood function of the repair time. Based on it, Bayes estimation of the repair time satisfying exponential distribution parameterμwas obtained. Finally, an empirical analysis was carried out to study a kind of warm nonmaintained system with priority and two components.

Reliability; Repairable System; Bayes Estimation

(編輯：王一芳)

O213

A

1674-3563(2010)06-0001-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2010.06.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2009-11-09

2009年浙江省大學(xué)生科技創(chuàng)新活動(dòng)計(jì)劃(新苗人才計(jì)劃)項(xiàng)目

康達(dá)(1982- )，男，吉林長春人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì).? 通訊作者，wzzhying@163.com