包文清

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

設(shè)有獨(dú)立變量x1,x2,…,xm構(gòu)成的自變量x,應(yīng)變量y，則非線性回歸的一般形式為

y=f(x1,x2,…,xm)+ε,E(ε)=0,Var(ε)=g(x1,x2,…,xm)≥0.

然而，如果考慮到描述現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型中各因數(shù)的隨機(jī)性，則上述模型可表述成

E[Y|X1,X2,…,Xm]=f(X1,X2,…,Xm),Var[Y|X1,X2,…,Xm]=g(X1,X2,…,Xm)≥0.

(1)

式(1)中:Y是隨機(jī)變量;X1,X2,…,Xm是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量元.

對于高維回歸問題，人們主要關(guān)心的是模型中變量的選擇和模型的有效表示，常用方法可歸納為：從局部到全部的綜合法或從全部到局部的分析法.局部到全部的綜合法由Whitney[1-2]等開創(chuàng)，主要借助可微結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合;后經(jīng)Allen等努力得到了長足的發(fā)展[3];21世紀(jì)初，Sobol等[4-5]在該方面取得了一大批新成果.全部到局部多指標(biāo)分析法以集合論、群論、矩陣?yán)碚摓楣ぞ?，?0世紀(jì)末由張應(yīng)山[6]提出，且廣泛應(yīng)用于正交設(shè)計、工業(yè)質(zhì)量管理等方面[7-11].筆者以多邊矩陣?yán)碚摓榛A(chǔ)，以集合論為工具(主要用集合表示多指標(biāo)組),研究了全局方差分析的問題.研究發(fā)現(xiàn),源于物理問題的全局分析法在變量選擇和模型的有效表示方面有很大的優(yōu)勢.

假設(shè)模型(1)中的f(x1,x2,…,xm)平方可積.

1 主要結(jié)果

首先,根據(jù)文獻(xiàn)[6]定義一些概念和記號.

設(shè)Ω={1,2,…,m}.對?M?Ω,令XM={Xi:i∈M},HM=E[Y|XM]，特別地,Hφ=E[Y],HΩ=f(XΩ),其中E[Y|XM]是Y關(guān)于XM的期望.

定義EXM(*)=E[*|XMc]，其中Mc=Ω-M.根據(jù)條件期望的性質(zhì)和X1,X2,…,Xm的獨(dú)立性假設(shè)，有

(2)

對于?M?Ω,M≠φ,?Xj,Yj∈R，易得:

(3)

(4)

其中|*| 表示集合的基數(shù).

定義δM,N=δM-NδN-M，則當(dāng)M=N時δM,N=1,否則δM,N=0.換言之,δM,N是Kronecker記號，且有δM=δM,φ.

另外,還有:

(5)

(6)

證明 由式(4) 可得

證明 由式(5)和式(2)可得

證明 由式(2)可得

證明 由式(4)，式(5)，式(2)及引理1可得

2 全局ANOVA

由SM=0可知P(JM=0)=1.借助于敏感性指標(biāo)可以對JM進(jìn)行排序，并根據(jù)要求刪除一些不重要的JM.

下面通過一個典型實例說明全局敏感性分析的有效性.

(7)

因此，對?M?Ω,M≠φ,

由定義2及定義3可得

不妨設(shè)m=6,(p1,p2,…,p6)=(0,1,4.5,9,99,99),可得(STot{1},STot{2},…,STot{6})=(0.787,0.242,0.010 5,1.05E-04,1.05E-04).這一結(jié)果與X1,X2,…,X6中的pi(i=1,2,…,6)指標(biāo)說明一致，這說明可以通過計算每個變量的全局敏感性總指標(biāo)來確定這些變量對模型的影響，從而可根據(jù)具體要求剔除一些不顯著指標(biāo)，達(dá)到降維簡化模型的目的.

另外，表1按降序列出了部分JM的全局敏感性指標(biāo).從表1看出：雖然定理1中的正交分解式有2|Ω|項，但對于實際問題而言，模型的近似表示式往往只需其中一小部分而已.

表1 降序列出部分

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