王 暉

(萊蕪職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山東萊蕪 271100)

0 引 言

目前,時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于聯(lián)想記憶、最優(yōu)化計算及信息處理等領(lǐng)域中.在這些應(yīng)用中,平衡點的性質(zhì)發(fā)揮著重要作用.例如,在聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,平衡點代表儲存的模式,其穩(wěn)定性意味著儲存模式在有噪聲的情況下能夠被恢復(fù)[1].基于此,對平衡點性態(tài)的研究一直吸引著廣大學(xué)者的興趣.眾所周知,平衡點可看作是一種特殊的周期解(任意周期的)[2],對時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的研究比對其平衡點的研究更具一般性.然而,在時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的大規(guī)模集成電路實現(xiàn)過程中,參數(shù)的波動是不可避免的.這種情況下,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)該被描述為一個時滯區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3-6].因此,對時滯區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力行為的研究更具重要意義.本文在不要求激活函數(shù)有界、可微和單調(diào)的條件下,利用不等式分析技巧和Lyapunov泛函方法討論了一類時滯區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局魯棒指數(shù)穩(wěn)定性和周期性,給出了實用有效的判據(jù),推廣了有關(guān)文獻(xiàn)中的結(jié)果.

1 預(yù)備知識

本文考慮時滯區(qū)間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型,

式中,n是網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的個數(shù),xi(t)是第i個神經(jīng)元在 t時刻的狀態(tài),fj和gj是激活函數(shù),c=diag(ci＞0)、A=(aij)n×n及B=(bij)n×n分別是反饋矩陣和時滯反饋矩陣,τij是信號傳輸時滯,滿足0≤τij≤τ,Ii(t)∶R→R,i=1,2,…,n,都是連續(xù)ω周期函數(shù),即,Ii(t+ω)=Ii(t),?i(t),i=1,2,…,n,是[-τ,0]上的連續(xù)函數(shù).

顯然,系統(tǒng)(1)的特殊情形為,

式中,I=(I1,I2,…,In)T為外部常值輸入向量.

本文要用到如下假定:

式中,Kj,Lj＞0,?s,t∈R,j=1,2,…,n.

(H2)存在常數(shù)ζkj,ηkj∈R,qk＞0,γi＞0,i,j =1,2,…,n,k=1,2,…,m,使得,

(H3)存在常數(shù)γi＞0,i=1,2,…,n,使得,

式中,a＊ij=max(|a—ij|,|a—ij|),b＊ij=max(|b—ij|, |b—ij|),i,j=1,2,…,n.

定義1 滿足條件(2)的系統(tǒng)(3)稱為全局魯棒指數(shù)穩(wěn)定的,如果 ?c∈cI,A∈AI,B∈BI,系統(tǒng)(3)的唯一平衡點,x＊= (x＊1,x＊2,…,x＊n)T,是全局指數(shù)穩(wěn)定的,即對系統(tǒng)(3)的任意解x(t),存在常數(shù)α≥1,β≥0,使得,

定義2 滿足條件(2)的系統(tǒng)(1)稱為全局魯棒指數(shù)周期的,如果 ?c∈cI,A∈AI,B∈BI,系統(tǒng)(1)有唯一的周期解,且當(dāng)t→+∞時,系統(tǒng)(1)的其他所有解都指數(shù)地收斂于該周期解.

引理[7]?a≥0,bk≥0,k=1,2,…,m,有下面不等式成立,

式中,qk＞0(k=1,2,…,m)是常數(shù),且,

2 主要結(jié)果

定理 若條件(H1)和(H2)成立,則系統(tǒng)(1)是全局魯棒指數(shù)周期的.

證明 ??,φ∈C,令,x(t,?)=(x1(t,?),…,xn(t,?))T,x(t,φ) = (x1(t,φ),…,xn(t,φ))T分別表示系統(tǒng)(1)滿足初始條件(0,?)和(0,φ)的解.定義 xt(?)=x(t+θ,?),θ∈[-τ,0],t≥0,則,xt(?)∈C,t≥0.由式(1)可得,

由條件(H2),可選取充分小的ε＞0,使得,

由式(4)和引理有,

考慮Lyapunov泛函,

沿用系統(tǒng)(1)的解計算V(t)的變化率,并利用式(5)和式(6),有,

從而,

從式(7),可以得到,

由此容易得出,

式中,常數(shù)

由式(8)可知,

故可以選取正整數(shù)m,使得,

定義一個 Poincaré映射 P:C → C,P? = xω(?),則由式(9)得到,

這說明,Pm是一個壓縮映射,從而存在唯一的不動點 ?＊∈C,使得 Pm?＊= ?＊.又,Pm(P?＊) = P(Pm?＊) = P?＊,可知,P?＊= ?＊,即, xω(?＊)= ?＊.設(shè) x(t,?＊)為系統(tǒng)(1)通過(0, ?＊)的解,則由已知條件可知,x(t+ω,?＊),也是系統(tǒng)(1)的解,且對于 t≥0,有,xt+ω(?＊)= xt(xω(?＊))= xt(?＊).因此,對于 t≥0,有,

故,x(t,?＊)是系統(tǒng)(1)的唯一的ω周期解,且由式(9)可知,當(dāng)t→+∞時,系統(tǒng)(1)的其他所有解均指數(shù)地收斂于這個周期解.

推論1 若條件(H1)和(H2)成立,則系統(tǒng)(3)是全局魯棒指數(shù)穩(wěn)定的.

推論2 若條件(H1)和(H3)成立,則系統(tǒng)(1)是全局魯棒指數(shù)周期的.

證明 (H3)是(H2)當(dāng)取ζkj=ηkj=0,ζm+1,j= ηm+1,j=1,k=1,2,…,m,j=1,2,…,n時的特殊情況.

推論3 若條件(H1)和(H3)成立,則系統(tǒng)(3)是全局魯棒指數(shù)穩(wěn)定的.

注1 從定理的證明過程可以看出,定理對于r =1,時也成立.此時,條件(H2)和(H3)變?yōu)?

注2 顯然,本文結(jié)果也包含了文獻(xiàn)[6]的主要結(jié)論.

[1]張偉偉,王林山.一類變時滯靜態(tài)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局魯棒穩(wěn)定性[J].河北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,55 (3):256-259.

[2]王儉勤,宋乾坤.具有時滯的回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局指數(shù)魯棒穩(wěn)定性的一個新判據(jù)[J].西華師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2007,28(1):33-39.

[3]陶 霓,王林山.一類時滯靜態(tài)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局魯棒穩(wěn)定性[J].山東大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2008,58(3):40-42, 47.

[4]劉振偉,張化光,張慶靈.基于劃分時滯區(qū)間的一類Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒穩(wěn)定性[J].控制與決策, 2009,24(3):342-346.

[5]趙丹丹,王林山.變時滯區(qū)間細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局魯棒穩(wěn)定性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2006,21(4):557-563.

[6]那 靖,任雪梅,黃 鴻.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償?shù)姆蔷€性時滯系統(tǒng)時滯正反饋控制(英文)[J].自動化學(xué)報,2008,77 (9):1196-1202.

[7]Hardy G H,Littlewood J E,Polya G.Inequalities[M].London: Cambridge University Press,1952.

[8]廖曉昕.穩(wěn)定性的理論,方法和應(yīng)用[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1999.

[9]宋乾坤.具有時滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的全局指數(shù)穩(wěn)定性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2003,18(4):433-438.