薛 薇，郭彥嶺，沐晶晶

(天津科技大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300222)

基于改進(jìn)Lorenz系統(tǒng)的多翼混沌吸引子及其電路設(shè)計(jì)

薛 薇，郭彥嶺，沐晶晶

(天津科技大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300222)

在以 Lorenz系統(tǒng)為基礎(chǔ)的一個(gè)新混沌系統(tǒng)上添加驅(qū)動(dòng)信號(hào)，提出一個(gè)新的多翼對(duì)稱非自治混沌系統(tǒng).在某一固定頻率下，該系統(tǒng)出現(xiàn)了 20翼的混沌吸引子.從仿真結(jié)果可以看出，此種改造方法不僅保留了原系統(tǒng)的混沌特性，而且增加了吸引子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜性.最后，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的模擬電路，從物理上驗(yàn)證新系統(tǒng)的混沌特性和數(shù)值仿真的一致性.

混沌；吸引子；電路設(shè)計(jì)；Lorenz系統(tǒng)

Lorenz在1963年發(fā)現(xiàn)第一個(gè)經(jīng)典混沌系統(tǒng)——Lorenz系統(tǒng)[1].混沌系統(tǒng)具有豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性，混沌的研究已廣泛滲透于數(shù)學(xué)、科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域.隨著社會(huì)的進(jìn)步、科技的發(fā)展，混沌動(dòng)力學(xué)的研究也越來越深入，并且取得了重大發(fā)展，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)混沌特性做了大量的分析和研究[2–14].1984年，Chua提出第一個(gè)混沌電路，Chua電路為混沌理論的研究提供了一個(gè)新的方法，建立了混沌和實(shí)際模擬電路的聯(lián)系[2].1999年 Chen等在 Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上利用混沌反控制方法成功構(gòu)造了一個(gè)新的系統(tǒng)——Chen系統(tǒng)[3].2002年 Lü等提出了新的系統(tǒng)——Lü系統(tǒng)[4].2005年Qi等提出了新的4翼自治混沌系統(tǒng)——Qi系統(tǒng)[5–7].

同時(shí)，隨著混沌研究的逐步深入和越來越多的科研工作加入混沌研究領(lǐng)域，出現(xiàn)了多翼混沌系統(tǒng).1993年Miranda和Stone提出了一個(gè)可以產(chǎn)生n渦卷吸引子的混沌系統(tǒng)[8].2006年Yu等通過n階多項(xiàng)式參數(shù)轉(zhuǎn)換提出了一個(gè)基于 Lorenz系統(tǒng)族的多翼混沌吸引子[9]，在 Chua電路的基礎(chǔ)上添加非光滑的線性函數(shù)如分段函數(shù)[10]、階梯函數(shù)[11]及飽和函數(shù)[12]等來實(shí)現(xiàn)多種廣義的 Chua電路.但上述混沌系統(tǒng)模型復(fù)雜，用模擬電路實(shí)現(xiàn)比較困難.

為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型，使其容易用模擬電路實(shí)現(xiàn)，文獻(xiàn)[13]在 Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個(gè)新的 10翼多吸引子混沌系統(tǒng).此混沌系統(tǒng)增強(qiáng)了混沌吸引子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜性，首次提出了如此多的混沌吸引子，同時(shí)系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易用電路實(shí)現(xiàn).為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，在此系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，本文提出了一種增加混沌多翼特性的方法.在系統(tǒng)中加入某一固定頻率的驅(qū)動(dòng)信號(hào)，使系統(tǒng)的翼數(shù)成倍增長(zhǎng)，由 10翼提高到 20翼；實(shí)驗(yàn)中驅(qū)動(dòng)信號(hào)由信號(hào)發(fā)生器直接給出，容易操作而且精度高.

1 多翼混沌系統(tǒng)及其混沌分析

文獻(xiàn)[13]提出了一種新多翼混沌吸引子的改進(jìn)Lorenz系統(tǒng)：

式中：a＝0.9；b＝0.1；c＝2；鋸齒波函數(shù) f(x)為

式中：1≤n≤N.當(dāng) A＝0.43，k＝2.5，A1＝A2＝A3＝A4＝2.06，F(xiàn)1＝F2＝F3＝F4＝0.208 7，E1＝0.172 0，E2＝0.344 0，E3＝0.516 0，E4＝0.688 0 時(shí)，系統(tǒng)(1)可以產(chǎn)生10翼混沌吸引子，如圖1(a)所示.

為了能夠產(chǎn)生更復(fù)雜的混沌吸引子，對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行改進(jìn)，使其關(guān)于x–y平面對(duì)稱.從而產(chǎn)生20翼混沌吸引子，考慮到系統(tǒng)(1)的相圖都在 x–y平面的上方，即系統(tǒng)(1)中z不存在負(fù)值.因此當(dāng)令z＝－z時(shí)，帶入系統(tǒng)(1)，可以得到新系統(tǒng)(2)，系統(tǒng)(2)的參數(shù)和其他條件同系統(tǒng)(1)，其混沌吸引子如圖 1(b)所示.比較圖 1(a)和圖 1(b)可以看出，系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)是大致關(guān)于x–y平面的對(duì)稱系統(tǒng).

圖1 不同系統(tǒng)的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractors of different system

顯然，系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(1)有相同的混沌特性.本文對(duì)這兩種系統(tǒng)外加一驅(qū)動(dòng)信號(hào)，使其以固定的頻率在這兩個(gè)系統(tǒng)間切換，可以得到 20翼混沌吸引子的新系統(tǒng)(3).由于每次切換并不改變系統(tǒng)參數(shù)，對(duì)系統(tǒng)(1)或系統(tǒng)(2)來說，只是改變初始值.因此，系統(tǒng)(3)也是一個(gè)混沌系統(tǒng).

式中：a＝0.3；b＝0.7；c＝2；g(ωt)為方波函數(shù)，

系統(tǒng)(3)是以系統(tǒng)(1)為基礎(chǔ)，在第二和第三個(gè)方程里加上驅(qū)動(dòng)信號(hào) g(ωt).ω為輸入方波的角頻率，它與頻率f的關(guān)系為ω＝2πf，輸入信號(hào)的幅值為1.

系統(tǒng)(3)是一非自治系統(tǒng)，由于時(shí)間 t的存在，在分析和計(jì)算時(shí)遠(yuǎn)不如自治系統(tǒng)方便，因此將系統(tǒng)(3)等價(jià)轉(zhuǎn)換為一個(gè)四維自治系統(tǒng)，即

系統(tǒng)(4)的參數(shù)和系統(tǒng)(3)相同.當(dāng)ω＝0.05，A＝0.43，k＝2.5，A1＝A2＝A3＝A4＝2.06，F(xiàn)1＝F2＝F3＝F4＝0.908 7，E1＝0.875 0，E2＝1.750 0，E3＝2.625 0，E4＝3.500 0時(shí)，系統(tǒng)(4)的多翼混沌吸引子如圖 2(a)所示.

圖 2(b)是系統(tǒng)(4)關(guān)于參數(shù)ω的 Lyapunov指數(shù)譜，顯然系統(tǒng)(4)是一混沌系統(tǒng)，從圖中可以看出ω在[－1，0.1]范圍內(nèi)最大 Lyapunov指數(shù)始終是正的，此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，ω在(0.1，1]范圍內(nèi)最大Lyapunov指數(shù)為 0，其他指數(shù)為負(fù)，此時(shí)系統(tǒng)處于周期狀態(tài).

圖2 系統(tǒng)(4)的x-z 相圖和Lyapunov指數(shù)譜Fig.2 Phase portrait of system (4) on the x-z plane and its Lyapunov exponents

2 模擬電路設(shè)計(jì)和multism電路仿真

混沌系統(tǒng)最直接和簡(jiǎn)單的物理實(shí)現(xiàn)是通過電路完成的[12].基于此目的對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行 multism 電路仿真.首先，為了能夠搭建電路模型要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將系統(tǒng)(3)的微分電路模型轉(zhuǎn)換為積分電路模型(5).考慮到電路主要靠運(yùn)算放大器來實(shí)現(xiàn)，運(yùn)算放大器本身的比例環(huán)節(jié)有一個(gè)負(fù)號(hào)，積分電路本身也有一個(gè)負(fù)號(hào)，應(yīng)對(duì)系統(tǒng)(5)進(jìn)行變換.同時(shí)，由于示波器本身有一個(gè)掃描頻率，為了讓示波器能夠顯示混沌信號(hào)，需要對(duì)電路信號(hào)的頻率進(jìn)行調(diào)整：

圖3 系統(tǒng)(6)的電路實(shí)現(xiàn)Fig.3 Circuit implementation of system(6)

考慮到實(shí)際模擬乘法器 AD633的輸出有一個(gè)0.1倍的縮小，因此對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行了 10倍的放大，取方波信號(hào)的輸出為10,V，得到的multism仿真結(jié)果如圖5所示.

圖4 非線性函數(shù)f(x)的電路實(shí)現(xiàn)Fig.4 Circuit implementation of nonlinear function f(x)

圖5 系統(tǒng)(6)的multism電路仿真結(jié)果Fig.5 Multism circuit simulation of system(6)

比較圖 2(a)和圖 5可以看出電路結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果基本一致.從物理層面證實(shí)了此系統(tǒng)的混沌吸引子的存在性和其吸引子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的復(fù)雜性.同時(shí)，此系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)電路簡(jiǎn)單，更易于應(yīng)用實(shí)際，特別是應(yīng)用于通信加密系統(tǒng).

3 結(jié) 語

本文通過對(duì)文獻(xiàn)[13]提出的一種基于 Lorenz系統(tǒng)的多翼混沌吸引子的分析和改進(jìn)，得出更加復(fù)雜的多翼混沌吸引子.分析表明，改進(jìn)后的系統(tǒng)不僅保存了原系統(tǒng)的混沌特性，并且增加了吸引子的個(gè)數(shù)，使得改進(jìn)后的系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更具有復(fù)雜性.同時(shí)，改進(jìn)后的多翼混沌吸引子系統(tǒng)容易通過模擬電路進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，為保密通信和利用混沌加密的領(lǐng)域提供了一種更好的混沌信號(hào)發(fā)生器的選擇方案，增加了信號(hào)的安全度，使其更難破譯.

［1］Lorenz E N. Deterministic non-periodic flow[J]. Journal of Atmosphere Science，1963，20：130–141.

［2］Matsumoto T. Chaotic attractor from Chua's circuit[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems，1984，CAS-31(12)：1055–1058.

［3］Chen G R，Ueta T. Yet another chaotic attractor[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9(7)：1465–1466.

［4］Lü J H，Chen G R. A new chaotic attractor coined[J].International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering，2002，12(3)：659–661.

［5］Qi G Y，Du S Z，Chen G R，et al. On a four-dimensional chaotic system[J]. Chaos，Solitons & Fractals，2005，23(5)：1671–1682.

［6］Qi G Y，Chen G R，Zhang Y. Analysis and circuit implementation of a new 4-D chaotic system[J]. Physics Letters A，2006，352：386–397.

［7］Qi G Y，Chen G R，Li S，et al. Four-wing attractors：from pseudo to real[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos，2006，16：859–885.

［8］Miranda R，Stone E. The proto-Lorenz system[J].Physics Letters A，1993，178(1/2)：105–113.

［9］Yu S M，Lu J H，Tang W K S，et al. A general multiscroll Lorenz system family and its realization via digital signal processors[J]. Chaos，2006，16(3)：033126.

［10］Chua L O，Roska T. The CNN paradigm[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems I：Fundamental Theory and Applications，1993，40(3)：147–156.

［11］Yalcin M E，Suykens J A K，Vandewalle J，et al. Families of scroll grid attractors[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12(1)：23–41

［12］Lü J H，Chen G R，Yu X H，et al. Design and analysis of multi-scroll chaotic attractors from saturated function series[J]. IEEE transactions on circuits and systems I，2004，51(12)：2476–2490.

［13］Yu S M，Tang W K S，Lü J H，et al. Multi-wing butterfly attractors from the modified Lorenz systems[C]//Proceedings of IEEE International Symposium on Circuits and Systems，Piscataway：IEEE，2008：768–771.

［14］倉詩建，陳增強(qiáng)，袁著祉. 一個(gè)新四維非自治超混沌系統(tǒng)的分析與電路實(shí)現(xiàn)[J]. 物理學(xué)報(bào)，2008，57(3)：1493–1501.

A Multi-Wing Chaotic Attractors of the Modified Lorenz System and Its Circuit Design

XUE Wei，GUO Yan-ling，MU Jing-jing
(College of Electronic Information and Automation，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China)

A novel non-autonomous chaotic system with multi-wing and symmetry was proposed by adding a driving signal to a chaotic system based on Lorenz system. The system may have twenty-wing chaotic attractors at a fixed frequencyof the input signal. Simulation results show that the chaotic property is preserved in the novel system，and moreover，the complexity of topological structure of attractors is enhanced. Finally，an analog electronic circuit was designed to implement the novel system physically. Experimental results of the novel chaotic circuit well agree with the simulation results.

chaos；attractor；circuit design；Lorenz system

TM132； O415.5

A

1672-6510(2010)05-0045-04

2010-06-02；

2010-07-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10772135；60784028）

薛 薇（1963—），女，河北河澗人，副教授，xuewei@tust.edu.cn.