麻幼學(xué)

（肇慶學(xué)院 電子信息與機電工程學(xué)院,廣東 肇慶 526061）

有人在進行近似計算時,將整流濾波電路的輸出電壓波形以鋸齒波表示.采用這種計算方法,鋸齒波違反了電路元件特性的約束(VCR)和拓撲約束(由KCL和KVL體現(xiàn)),還違背了基本物理定律,而且所得結(jié)論并不能覆蓋RLC的全部變化范圍.另外,作為教學(xué)基礎(chǔ)的教材,其一切論斷和方法都應(yīng)成為遵守基本定律的典范,而不是違背基本定律的向?qū)?因此,這種近似計算方法值得商榷.本文中,筆者以文獻［1］510－512為例進行討論,指出其錯誤所在,并給出正確的近似分析計算方法.

1 整流濾波輸出直流電壓計算方法存在的問題

文獻［1］510的單相橋式整流電容濾波電路如圖1所示.其認為可將電容濾波的電壓波形（如圖2實線所示）近似為鋸齒波,如圖3所示.圖中T為電網(wǎng)電壓的周期.設(shè)整流電路內(nèi)阻較小而RLC較大,電容每次充電均可達到電源電壓u2的峰值(即UOmax＝U2),然后按RLC放電的起始斜率直線下降,經(jīng)RLC交于橫軸,且在T/2處的數(shù)值為最小值UOmin,則輸出電壓的平均值為

圖1 單相橋式整流電容濾波電路

圖2 電容濾波的電壓波形

圖3 鋸齒波電壓波形

同時,按相似三角形的關(guān)系可得

因而

仔細研究上述內(nèi)容,可發(fā)現(xiàn)如下2個問題：

1)電壓“按RLC放電的起始斜率直線下降”及“電容濾波的電壓波形近似為鋸齒波”,違反電路基本定理和能量守恒定律.

2)輸出電壓平均值的計算公式(4)不能覆蓋RLC的全部變化范圍.比如：當RLC≤T/4時,式(4)的計算結(jié)果竟然為小于零的負數(shù).

2 問題分析

首先,根據(jù)圖1電路的拓撲結(jié)構(gòu),電容放電電壓不會“按RLC放電的起始斜率直線下降”.因為當二極管截止、電容放電時,電容上的電壓也是電阻RL上的電壓.若按直線規(guī)律下降,則電容放電電流的大小不變,但是流過電阻RL上的電流卻像電壓一樣“直線下降”,這種現(xiàn)象違反了克?；舴螂娏鞫?KCL).其次,輸出電壓uO的波形不會形成鋸齒波,因為違反電路中二極管的伏安特性.電路中的二極管已被文獻［1］510設(shè)定為與圖2波形相吻合的伏安特性——二極管正偏電壓小于零時截止,等于零時導(dǎo)通且導(dǎo)通電阻為零（伏安特性一旦確定就不可隨意改變.因為電路只受拓撲約束(由KCL和KVL體現(xiàn))及元件特性約束(VCR),任何一種約束的改變,等同于電路被改變）.這樣的伏安特性是不可能產(chǎn)生圖3所示的鋸齒波電壓的.實際上不存在實現(xiàn)鋸齒波的二極管,因為與實現(xiàn)鋸齒波相匹配的二極管的伏安特性必須如圖4所示.當正偏電壓uD從零開始增大直至uON的過程中,電流iD為零（如圖4與橫軸重合的線段①所示）.當uD＝uON時,二極管導(dǎo)通.此后正偏電壓uD從uON開始減小直至為零的過程中,任何電壓所對應(yīng)的導(dǎo)通電流iD均保持無窮大（對應(yīng)的伏安特性曲線在坐標平面上是連續(xù)分布的,圖4②組線段所示意的只是無限曲線中的幾條而已）,這樣才能符合鋸齒波電壓的垂直上升部分對二極管電流與電壓變化的要求.如此伏安特性的二極管是根本不存在的.第三,與圖3所示鋸齒波電壓對應(yīng)的電容C的電流波形,只能是電容C放電時電流不變,而充電時電流無窮大,這是嚴重違反能量守恒定律的.因為交流電源不可能為電容C提供無窮大的充電能量.在電容放電期間,鋸齒波電壓同樣違反能量守恒定律.因為電容C的放電電流與流過電阻RL上的電流不相等,因此電荷守恒定律被破壞,所以能量守恒定律也遭到破壞.第四,由公式(4)即可發(fā)現(xiàn):當RLC≤T/4時,輸出電壓的平均值UO(AV)≤0,這是與電路實際輸出電壓平均值不符且無法解釋的數(shù)值.由此進一步證明了鋸齒波根本不是電容濾波電路正確的近似波形.

圖4 產(chǎn)生鋸齒波電壓的二極管伏安特性

3 輸出電壓平均值計算

圖2實線所示的電壓波形難以用解析式來描述,分析計算也難以實現(xiàn)；但是,借助圖5所示的輸出電壓波形對其進行分析計算,不僅可以有理有據(jù)地顯示教學(xué)內(nèi)容,而且其結(jié)論對工程設(shè)計也具有指導(dǎo)意義.

由圖5可知t2之前為電容C充電的過程,二極管導(dǎo)通電流iD為

圖5 電容濾波的電壓波形

式中：

分別為電阻RL和電容C上的電流.到t2時刻二極管截止,此時iD＝0,即

由此可得

即

由圖5的波形可知,t4時刻有如下表達式：

式（11）也可改寫為如下形式：

通常為了取得更好的濾波效果,RLC選取得比較大,常取RLC≥(3～5)T/2,使得電容C的放電時間遠大于其充電時間.(t5－t4)?T/2,則(t5－t4)/RLC≈0,即(t4－t2)≈(t5－t2).故上式可近似為

求得

式中,t5是圖5所示波形中電容C再次放電的時刻.由波形可知

代入式(14),即得

由圖5所示波形可寫出輸出電壓uO的函數(shù)表達式為

將輸出電壓uO按傅里葉級數(shù)展開得

直流分量

因為

式中

為輸出電壓uO的變化周期.綜合(19)～(21)且考慮到ωT＝2π,經(jīng)整理后可得輸出電壓uO的直流分量

如果取RLC等于5倍的T/2,則由式(10)得

查數(shù)表[2]324可得

由式(16)和(24)得到

由數(shù)表[2]318查得＝0.8187.代入式(25)并由數(shù)表[2]321查得

將(15),(24),(26)代入(22),即得

經(jīng)查表[2]318－329并整理后得

該結(jié)果與經(jīng)典的實驗曲線[3]數(shù)據(jù)一致.

當RLC→0時,由式（10）和（16）知,ωt2→π,ωt4→π,ωt5→2π.通過式（22）算得輸出直流電壓為

由公式(8)可知RL≠0；否則,有限的電容放電電流不能滿足無限大的電阻電流,此式不成立.這樣,電容放電開始于ωt2→π,結(jié)束于ωt4→π,為同一時刻.由圖5的波形知電容放電的持續(xù)時間為零,電壓也為零.該現(xiàn)象意味著電容充、放電活動已經(jīng)停止,濾波作用已經(jīng)消失,輸出電壓波形與整流輸出波形相同,輸出直流電壓與整流輸出直流電壓相同.

當RLC→∞時,由式（10）和（16）知,ωt2→π/2,ωt4→3π/2,ωt5→3π/2,說明此時電容充電后已無放電路徑,輸出電壓uO始終維持在最大值.根據(jù)洛比達法則[4],由式（22）算得輸出直流電壓為

由此證明電路輸出電壓穩(wěn)定在電源電壓u2的峰值.

計算數(shù)據(jù)證明,公式(22)能夠很好地吻合整流濾波電路的實際情況,可以覆蓋RLC從0到∞的全部變化范圍.說明該近似分析計算方法不僅遵守基本定律,而且數(shù)據(jù)精確、易于計算.

[1] 童詩白,華成英.模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2] 中國礦業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室.數(shù)學(xué)手冊[M].北京:科學(xué)出版社,1980.

[3] 南京工學(xué)院無線電工程系《電子線路》編寫組.電子線路:第5冊[M].北京:高等教育出版社,1979:19.

[4] 宋開泰,黃象鼎.高等數(shù)學(xué)教程:上冊［M].武漢:武漢大學(xué)出版社,1998:365-372.