張立振,劉利貞

(中國海洋大學數(shù)學科學學院,山東青島266100)

增長曲線模型誤差方差的二次型可容許估計*

張立振,劉利貞

(中國海洋大學數(shù)學科學學院,山東青島266100)

對于增長曲線模型,在二次損失函數(shù)下,研究了當C為列滿秩,而A為行秩虧矩陣時誤差方差的二次型估計的容許性,用矩陣形式給出了二次型估計可容許的充要條件。

增長曲線模型;誤差方差;二次型估計;容許性

1 問題與結果

關于線性模型誤差方差的二次型容許估計問題已經(jīng)由吳啟光、成平、李國英[1-2]、徐興忠[3]得出完整的結論。本文研究具有多方面應用的增長曲線模型中誤差方差σ2的二次型容許估計問題。增長曲線模型是由Potthoff和Roy[4]提出的多元方差分析模型。后被許多學者如:Rao、Khatri、Von Rosen等加以研究。增長曲線模型在經(jīng)濟、生物、醫(yī)藥等領域都有重要地應用。近來,國內也對這一模型進行了廣泛的研究,如覃紅、陳崢、張東華、王欣等研究了回歸系數(shù)的容許估計問題。尤進紅、王志忠、劉鋒、張尚立和桂文豪等研究了協(xié)方差估計在不同條件下的容許性問題。增長曲線模型如下:

對于此模型,張立振、徐興忠[5]在二次損失函數(shù)(d-σ2)2/σ4下,對于行滿秩和A=1n,C′=1p2種特殊情況,研究了σ2的二次型估計tr(Y′MY)在={tr(Y′MY):Mn×n≥0}(下文中皆表示此估計類)中的容許性。張立振[6]在假定H:G=In,rank(A)=r

結論1 對于模型(1),在H條件下,tr(Y′MY)是σ2在中容許估計的必要條件是Y′MY必須具有形式:Y′[a(I-P)+PNP]Y。并且a≥0,Nn×n≥0還要滿足其中:P=A(A′A)-A′,是PNP的非零特征根,b=max(a,λ1),rank(A)=r

結論2 對于模型(1),在假定H下

(Ⅰ)tr{Y′(I-P)/[(n-r)p+2]Y}是σ2在中的容許估計。

(Ⅱ)設M≥0,MA=0但M≠(I-P)/[(n-r)p+2],則tr(Y′MY)非容許。(P的意義同結論1)

本文在假設H1:G=In,rank(A)=r0始終表示PNP的非零特征根,文中還用到了P的對稱性、冪等性及PA=A,A′P=A′等性質,得到了如下結果:

定理 設a>0,rank(PNP)=s≥1,對于模型(1),G=In,在假設H1下,tr{Y′[a(I-P)+PNP]Y}是σ2在中容許估計的充要條件為:不存在d>0使

對α∈(R*)ps皆成立。

注1 當C=(1),p=1時,增長曲線模型(1)變?yōu)榫€性模型。在此種情況下

(Ⅰ)由本文定理可得出文獻[3]中引理1的結論。

(Ⅱ)由本文推論1可得出文獻[2]中引理2.5的結論。

(Ⅲ)由本文推論2可得出文獻[2]中定理2.1的結論。

2 定理的證明

2.1 引理及其證明

文獻[6]中(3)式得出tr{Y′[a(I-P)+PNP]Y}在損失函數(shù)(d-σ2)2/σ4下的風險函數(shù)為:

其中:θ=vec(B)/σ∈Rm·q是未知參數(shù)向量。

引理1 設B,A分別為p×q,n×m矩陣,則B“A行滿秩ΖB,A皆行滿秩。

證明 (證明略)

引理2 當a=0,N≥0且N≠0時,tr{Y′[a(I-P)+PNP]Y}非容許。

R[θ,a1(I-P)+PN1P]≤R(θ,PNP)成立,從而tr{Y′[a(I-P)+PNP]Y}非容許。(證畢)

構造n階正交矩陣Γ=(Γ1Γ2),其中Γ1是n×r階矩陣塊,且L(Γ1)=L(A)。(L(A)表示A的列向量構成的線性空間,下文的Γ1皆與此處含義相同)則?！?A=0。于是

對一切θ∈Rm·q皆成立,并且對某個θ0∈Rm·q嚴格不等號成立。引進記號:

由于tr{Y′[a1(I-P)+PN?1P]Y}一致優(yōu)于tr{Y′[a(IP)+PNP]Y},所以Ip“diag(λ1,…,λs,0,…,0)≥Ip“D,故diag(λ1,…,λs,0,…,0)≥D,而D≥0所以D=,其中D1為s階方陣。(Ⅰ)當D為對角形矩陣時,顯然有T′diag(d1,…,ds,0,…,0)T=Γ′1N?1Γ1=?！?N1Γ,從而有(5)式成立。(Ⅱ)當D不為對角形矩陣時,其證明過程與文獻[7]中引理4.20的證明過程完全類似。故從略。引入記號:

2.2 定理的證明

證明 (充分性)若tr{Y′[a(I-P)+PNP]Y}不是σ2在中容許估計,由引理3知,一定存在a1>0,N1≥0使

對一切α∈(R*)p·s皆成立,且對某個α0∈(R*)p·s嚴格不等號成立。其中τ為由PN1P的特征根構成且與λ有相同維數(shù)的列向量。從而有

對α∈(R*)p·s皆成立。從而(10)式≤

3 推論的證明

3.1 推論1的證明

其中

對于k與l∈(R*)p·s任意的取值,都有g(α)→0(當‖α‖→0時)。故當‖α‖→0時,(2)式左邊的極限≤0。因此對于k與l∈(R*)p·s任意的取值,不可能存在常數(shù)d>0使(2)式對α∈(R*)p·s皆成立。由本文定理知推論1成立。 (證畢)

3.2 推論2的證明

若-[(n-r)p+2]a2+a+2[(n-r)p+2]aλs-存在k及l(fā)ij=λj(i=1,…,p;j=1,…,s),使Δ極小<0,從而存在常數(shù)d>0使(2)式對α∈(R*)p·s皆成立。(證畢)

[1] 吳啟光,成平,李國英.線性模型中誤差方差的二次型估計的可容許性問題[J].中國科學A輯,1981,24(7):815-825.

[2] 吳啟光,成平,李國英.再論線性模型中誤差方差的二次型估計的可容許性問題[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,1981,6(1):112-127.

[3] 徐興忠.線性模型中誤差方差的二次型估計是—可容許估計的充要條件[J].應用數(shù)學學報,1992,15(3):410-427.

[4] Potthoff R F,Roy S N.A generalized multivariate analysis of variance model useful especially for growth curre problems[J].Biometrika,1964,51(3-4):313-326.

[5] 張立振,徐興忠.兩類增長曲線模型誤差方差估計[J].青島海洋大學學報,1997,27(1):121-125.

[6] 張立振,趙建昕.增長曲線模型誤差方差的二次型估計可容許的必要條件[J].中國海洋大學學報:自然科學版,2004,34(2):325-328.

[7] 陳希儒,陳桂景,吳啟光,等.線性模型參數(shù)的估計理論[M].北京:科學出版社,1985.

The Admissible Quadratic Estimate of Error Variance on Growth Curve Model

ZHANG Li-Zhen,LIU Li-Zhen
(School of Mathematical Sciences,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

The growth curve model.When matrixChas full column rank andAis row rank defecient,under the quadratic loss function,a necessary and sufficient condition that quadratic estimate of error variance is admissible is given with matrix form.

growth curve model;error variance;quadratic estimate;admissibility

O212

A

1672-5174(2010)09-154-05

國家自然科學基金項目(41076006);國家高技術研究發(fā)展計劃項目(2007AA09Z118)資助

2009-05-11;

2010-05-26

張立振(1962-),博士,副教授。E-mail:goldfield@ouc.edu.cn

AMS Subject Classfication: 62H12

責任編輯 朱寶象