鄭 健,南 北

(中國礦業(yè)大學(xué)資源與地球科學(xué)學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

承壓水完整井 Darcy流和非 Darcy流水頭分布計(jì)算方法的分析比較

鄭 健,南 北

(中國礦業(yè)大學(xué)資源與地球科學(xué)學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

探討了地下水向承壓水完整井的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng),比較了在Darcy流和非Darcy流情況下井周圍水位降深的計(jì)算方法。運(yùn)用 Darcy定律、Forchheimer公式及指數(shù)型公式對井周圍的水頭分布進(jìn)行求解,并對結(jié)果進(jìn)行了比較,得到不能單純用線性滲流規(guī)律代替非線性滲流規(guī)律的結(jié)論,及非線性滲流不同公式之間的區(qū)別與聯(lián)系。

承壓水完整井;Darcy流;非 Darcy流;水頭分布

1 研究背景

Darcy定律有一定的適應(yīng)范圍,即 Re＜1～10時(shí),水流運(yùn)動(dòng)符合線性規(guī)律。由于大多數(shù)地下水運(yùn)動(dòng)的速度較小,Re也較小,符合 Darcy定律,因此,對地下水資源進(jìn)行評價(jià)時(shí),大多以 Darcy定律為基礎(chǔ),其計(jì)算與模擬一般也較為方便有效。但對 Re數(shù)較大的水流,其滲流規(guī)律符合較為復(fù)雜的非線性關(guān)系,自然界中,可能出現(xiàn)在喀斯特巖層中或緊靠水井及泉等出水口附近的含水層中。在這種情況下,若用Darcy定律進(jìn)行研究,可能不符合實(shí)際規(guī)律。對非 Darcy流,目前主要是采用試驗(yàn)方法,分析各種情況下滲流速度和水力坡度的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系,得到一些經(jīng)驗(yàn)、半經(jīng)驗(yàn)公式。較有代表性的非線性運(yùn)動(dòng)方程有Anandakrishnan and Varadarajulu的指數(shù)型公式 J=cvn和 Forchheimer公式 J=av=bv2。

2 問題的提出和求解

假設(shè)對均質(zhì)、各向同性承壓含水層的完整井以定流量Q抽水,承壓含水層的產(chǎn)狀水平,抽水前含水層中水位降深為零,建立柱面坐標(biāo)系,以井軸為縱坐標(biāo)軸,井軸與含水層底板的交點(diǎn)為原點(diǎn) (圖 1)。

2.1 地下水運(yùn)動(dòng)為 Darcy流

式 (1)中,v為滲流速度;K為承壓含水層的滲透系數(shù);J為水力坡度。徑向流的水頭分布,以柱坐標(biāo)形式表示：

式 (3)中,c為積分常數(shù)。

因過水?dāng)嗝娴牧髁康扔诔樗?Q,即：Q =

可得：

將式 (4)代入式 (3)可得：

設(shè)滲流的邊界條件為：

由邊界條件,得定積分：

式 (8)中,H為距井軸 r處的水頭;rw為井半徑;M為含水層厚度;K為滲透系數(shù)。

式 (7)是地下水運(yùn)動(dòng)為 Darcy流時(shí)抽水井周圍的水頭分布。

2.2 地下水運(yùn)動(dòng)為非 Darcy流

非線性水流常用的公式模型是 Forchheimer公式及指數(shù)型公式,分別為：

式 (9)、(10)中,J為水力坡度;v為滲流速度;a、b、c、n為與介質(zhì)和流體有關(guān)的常數(shù)。

2個(gè)公式模型中,Forchhe imer公式有較好的理論基礎(chǔ),具有更廣泛的適應(yīng)性。Sunada于 1965年從 Navier-Stokers方程推得類似式 (9)形式的關(guān)系式,其右邊第一代表粘性流動(dòng),第二項(xiàng)代表慣性項(xiàng)。Douglas在 1991年通過實(shí)驗(yàn)研究地下水非線性運(yùn)動(dòng),認(rèn)為 Forchheimer公式較指數(shù)公式好。

將式 (12)代入式 (11)得：

由邊界條件 (6),對式 (13)進(jìn)行定積分,得：

式 (14)為地下水運(yùn)動(dòng)滿足 Forchhe imer公式模型時(shí)的水頭分布方程。

當(dāng)?shù)叵滤\(yùn)動(dòng)滿足式 (10)時(shí),由不可壓縮流體徑向穩(wěn)定滲流的連續(xù)方程：

式 (17)中,c′為積分常數(shù)。

由邊界條件 (6),對式 (20)進(jìn)行定積分,得：

式(22)為地下水運(yùn)動(dòng)滿足指數(shù)型公式時(shí)井周圍的水頭分布方程。

3 比較與討論

對式 (9)和式 (10),假定 a=0,b=1/K2,c=K,n=1/2,則兩式均變?yōu)?Chezy公式。由此可知,式 (14)和式 (22)可變形為：

假設(shè)Q=50m3/h,K=5m/d,hw=21m,rw=0.2m,M=20m則由式 (8)和式 (23)可得地下水向承壓水完整井的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的水頭分布,對比結(jié)果如圖 2所示。

由圖 2可以看出,按非 Darcy流計(jì)算得到的降落漏斗更陡一些,尤其在靠近井壁附近,其差距更加明顯,所得曲線實(shí)質(zhì)為考慮后抽水井附近躍出面的水位曲線。若單純地運(yùn)用 Darcy定律近似計(jì)算非Darcy流地下水運(yùn)動(dòng)的水頭分布,產(chǎn)生的誤差在某些情況下較大。因此,不適宜完全采用 Darcy流運(yùn)動(dòng)規(guī)律來分析非Darcy流的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

4 結(jié) 語

主要探討了地下水向承壓水完整井的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的水頭分布規(guī)律,推導(dǎo)了地下水運(yùn)動(dòng)分別滿足Darcy定律、Forchheimer公式及指數(shù)型公式的水頭分布公式,利用這些公式可以對水頭分布進(jìn)行精確計(jì)算,便于計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算。從對其結(jié)果的分析比較可以看出,對非Darcy流的地下水運(yùn)動(dòng)不能完全采用 Darcy流模型進(jìn)行代替,這樣產(chǎn)生的誤差較大,不能滿足實(shí)際工程中的精度要求。對非 Darcy流,應(yīng)采用非線性運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行分析計(jì)算,以減小誤差,提高計(jì)算模型的精度。

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Analyses and comparison of Darcy flow and non-Darcy flow of fully penetratingwell in a confined aquifer

ZHENG Jian,NAN Bei

(School of Resources and Earth Sciences,China University ofMining and Technology,Xuzhou 221116,Jiangsu)

The authors discussed the steadymovement from ground water to fully penetratingwell in a confined aquifer,and compared the calculation method of drawdown around fully penetrating well in the conditions of Darcy flow and non-Darcy flow.Using Darcy’s law,Forchhe imer equation and the exponential for mula of wells to solve the distribution around the head,and compared with the results.Itwas proved that the linear seepage regularity could not be simply replaced by the non-linear seepage regularity,and the difference and connection be tween different non-linear flow equations.

Fully penetratingwell in a confined aquifer;Darcy flow;Non-Darcy flow;Head distribution

TP392

A

1674-3636(2010)04-0397-03

10.3969/j.issn.1674-3636.2010.04.397

2010-07-29;編輯：侯鵬飛

鄭健 (1987—),男,水文與水資源工程專業(yè).