王玉斗，LI Gao-ming，李茂輝

（1.中國石油大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 東營 257061;2.The University of Tulsa，Tulsa USA 74104）

集合卡爾曼濾波方法在非線性油藏問題中的應(yīng)用

王玉斗1，LI Gao-ming2，李茂輝1

（1.中國石油大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 東營 257061;2.The University of Tulsa，Tulsa USA 74104）

改進標準集合卡爾曼濾波方法，對非線性油藏的歷史擬合及反演問題進行研究。油藏生產(chǎn)歷史數(shù)據(jù)歷史擬合過程中只對油藏模型參數(shù)進行更新，然后利用更新的模型參數(shù)從初始狀態(tài)重新運行油藏數(shù)值模擬軟件進行下一擬合時刻的生產(chǎn)預(yù)測，從而解決由于非線性引起的更新模型與更新動態(tài)場間的不一致性。利用改進方法對一個假定油藏的初始油水界面位置、滲透率場以及孔隙度場等參數(shù)進行估計，并與標準集合卡爾曼濾波方法的結(jié)果進行比較。結(jié)果表明，改進的集合卡爾曼濾波方法能得到很好的估計和預(yù)測結(jié)果。

油藏數(shù)值模擬;集合卡爾曼濾波;自動歷史擬合;油水界面;參數(shù)估計;非線性油藏

集合卡爾曼濾波方法（EnKF）是新近興起的一種數(shù)據(jù)擬合技術(shù)，1994年第一次被Evensen［1］在海洋動力學(xué)中提出。2003年該理論被Naevdal［2］引入石油工程領(lǐng)域后，已成功應(yīng)用于油藏生產(chǎn)歷史擬合和油藏反演等方面［3-7］。國內(nèi)在歷史擬合及生產(chǎn)優(yōu)化方面仍然沿用傳統(tǒng)方法進行，對集合卡爾曼濾波方法的研究很少［8-10］。集合卡爾曼濾波是一種按時間順序推進的數(shù)據(jù)擬合方法，隨著測量數(shù)據(jù)的不斷獲得，油藏模型不斷得到修正，對集合中所有的油藏模型只運行一次數(shù)值模擬軟件，相對于其他自動歷史擬合方法，計算量大大降低。保證標準集合卡爾曼濾波擬合結(jié)果正確的前提是更新的油藏動態(tài)場（壓力、飽和度、溶解油氣比等）和更新的靜態(tài)場是一致的，即如果將更新的靜態(tài)場作為油藏模型輸入油藏數(shù)值模擬軟件，得到的當前動態(tài)場應(yīng)該與更新的動態(tài)場一致。Thulin［11］已經(jīng)證明在線性模型中該假設(shè)是正確的，其對油藏流體界面位置估計的結(jié)果也證明了對于非線性問題該一致性是不存在的。為了解決這個問題，LI等［12］提出一些迭代集合卡爾曼濾波方法，但這些方法都是基于梯度的算法，需要利用伴隨矩陣計算敏感系數(shù)矩陣。GU等［13］也提出一種迭代集合卡爾曼濾波方法，該迭代方法計算量降低，但由于每次迭代后，所有的油藏模型仍需要從初始時間運行油藏數(shù)值模擬軟件，計算量仍然很大，并且由于平均敏感系數(shù)矩陣的使用，在后續(xù)的迭代中不能保證搜索沿目標函數(shù)減小的方向進行，多次迭代效果并不好。為此，筆者提出一種改進的集合卡爾曼濾波方法。

1 集合卡爾曼濾波方法

定義狀態(tài)向量

式中，m表示油藏靜態(tài)模型參數(shù)向量，包括流體界面位置、離散化的油藏孔隙度場、滲透率場等;pn表示時間tn的油藏動態(tài)參數(shù)（如壓力、飽和度、溶解油氣比等）向量;p0表示油藏初始動態(tài)場;dn為tn時刻油田生產(chǎn)預(yù)測數(shù)據(jù)向量，由油藏數(shù)值模擬軟件輸出。如果油藏靜態(tài)模型m為Nm×1的列向量，tn時刻油藏動態(tài)場pn為Np×1的列向量，dn為Nd×1的列向量，則向量yn的維數(shù)可以表示為（Nm+Np+Nd）×1。定義矩陣 H=［O］（其中，O 為 Nd×（Nm+Np）的零矩陣;INd為Nd×Nd的單位陣），則油田預(yù)測數(shù)據(jù)和狀態(tài)向量具有線性關(guān)系

實際上tn時刻的生產(chǎn)預(yù)測數(shù)據(jù)滿足方程

式中，gn為油藏數(shù)值模型，表示tn時刻生產(chǎn)預(yù)測數(shù)據(jù)與油藏模型的關(guān)系，即tn時刻產(chǎn)量只與油藏地質(zhì)模型和該時刻的動態(tài)場有關(guān);εm表示模型誤差，文中對此予以忽略。tn時刻的生產(chǎn)測量數(shù)據(jù)可看作隨機向量，由下式表示:

集合Kalman濾波的目的是得到一系列可以擬合油田生產(chǎn)歷史數(shù)據(jù)的油藏模型，通過對目標函數(shù)求解極小值就得到一系列可以擬合油田生產(chǎn)數(shù)據(jù)的模型樣本。目標函數(shù)為

實際上，歷史擬合過程中只對靜態(tài)場、動態(tài)場進行更新，利用矩陣H=［O INd］，上式可分解為

C表示協(xié)方差矩陣，各相應(yīng)的協(xié)方差矩陣要基于集合計算。應(yīng)用集合卡爾曼濾波分析方程對生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行擬合，就可以得到更新的狀態(tài)向量，即更新的油藏模型（包括滲透率場、孔隙度場、初始流體界面位置、相對滲透率曲線等）以及更新的油藏動態(tài)參數(shù)場（包括壓力場、飽和度場、溶解氣油比場等），然后利用這些更新的參數(shù)場運行油藏數(shù)值模擬軟件到下一個需要擬合數(shù)據(jù)的時間步，進行下一次的數(shù)據(jù)擬合。集合卡爾曼濾波是一種按時間循序推進的數(shù)據(jù)擬合方法，集合中每一個模型只需要運行一次數(shù)值模擬軟件，相對于基于梯度的歷史擬合方法，極大地節(jié)省了計算量和計算要求。

2 集合卡爾曼濾波的改進

集合卡爾曼濾波作為一種循序推進的數(shù)據(jù)擬合方法，其前提是在每一個數(shù)據(jù)擬合時間步的更新模型和更新動態(tài)場是一致的，但非線性條件下該前提不能保證。初始流體界面位置極大地影響著含水率和生產(chǎn)油氣比，油田生產(chǎn)數(shù)據(jù)與初始流體界面位置具有很強的非線性關(guān)系。標準集合卡爾曼濾波方法中更新動態(tài)場與更新初始界面位置不具有一致性，這會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果［11］。為了解決非線性油藏問題，對標準集合卡爾曼濾波進行了改進。在數(shù)據(jù)分析中，狀態(tài)向量只包括油藏模型參數(shù)，則集合卡爾曼濾波分析方程就變?yōu)?/p>

3 算例

因為生產(chǎn)數(shù)據(jù)與油水界面位置之間具有很強的非線性關(guān)系，故通過對一個假定油藏的初始油水界面位置估計來檢驗改進集合卡爾曼濾波的效果。該油藏為三維三相油藏，取Punq-S3油藏［14］的下面三層，網(wǎng)格數(shù)為19×28×3。油藏有較強的邊水和很小的氣頂。真實的油氣界面位置為2.355 km，油水界面位置為2.395 km。共6口生產(chǎn)井以100 m3/d的速度生產(chǎn)了3 960 d。生產(chǎn)測量數(shù)據(jù)包括井底流壓、含水率和生產(chǎn)氣油比，擬合完成后生產(chǎn)預(yù)測至6 000 d。此處認為初始油水界面位置是不確定的，其先驗平均值為2.402 km，即比真實位置深7 m。先驗?zāi)Ｐ头细咚狗植?，其標準偏差? m，先驗?zāi)Ｐ蜑?00個。利用標準集合卡爾曼濾波及其改進算法對油水界面位置深度、水平方向滲透率場、豎直方向滲透率場以及孔隙度場同時進行估計。

3.1 初始油水界面位置估計

圖1表示了利用標準及改進的集合卡爾曼濾波方法對油水界面位置的估計結(jié)果。因為油水界面位置對油井含水率具有決定性的影響，所以對含水率的擬合會極大地影響油水界面位置的估計。對該油藏而言，1500 d之前所有的井都沒有水突破，油水界面的估計主要受井底流壓和生產(chǎn)氣油比的影響，相對于先驗?zāi)Ｐ妥兓淮?。擬合含水率數(shù)據(jù)后，油水界面位置的估計值出現(xiàn)較大變化。但是，標準集合卡爾曼濾波最終的估計結(jié)果卻高于實際值，這是因為對非線性油藏問題，校正的動態(tài)變量與模型參數(shù)未能保持一致，雖然油水界面位置已經(jīng)高于實際值，但基于更新模型與動態(tài)場的預(yù)測含水率仍然低于測量值，導(dǎo)致了油水界面位置的進一步高估。利用改進的集合卡爾曼濾波，由于每次更新油藏模型后，都從初始時刻重新運行油藏數(shù)值模擬軟件進行生產(chǎn)預(yù)測，保證了校正的模型參數(shù)與動態(tài)場的一致性，更新模型的影響被充分反映出來，可以正確調(diào)整油藏模型，估計得到的油水界面位置非常接近真實值，并且最終估計模型的不確定度也遠遠小于標準集合卡爾曼濾波方法得到的結(jié)果。

圖1 初始油水界面深度估計結(jié)果Fig.1 Estimation of depth of initial oil-water interface

3.2 歷史數(shù)據(jù)擬合及生產(chǎn)預(yù)測

圖2和圖3分別表示了利用最終估計模型從初始時刻運行油藏數(shù)值模擬軟件得到的P-4和P-11井的含水率擬合及預(yù)測曲線。由于先驗?zāi)Ｐ偷臐B透率場、孔隙度場和油水界面位置都具有較大的不確定性，無論P-4井還是P-11井其含水率預(yù)測都不能擬合測量數(shù)據(jù)，預(yù)測不確定性也很大。經(jīng)過標準集合卡爾曼濾波擬合后，P-4井含水率預(yù)測的不確定性大大降低，但擬合效果較差，生產(chǎn)預(yù)測也較差，這是由于油水界面位置被高估造成大多數(shù)模型的水突破時間提前（圖2（a））;P-11井射孔位置較低，這種現(xiàn)象更明顯。多數(shù)后驗?zāi)Ｐ鸵婚_始生產(chǎn)就見水，擬合及預(yù)測結(jié)果偏離了實際曲線（圖3（a））。利用改進的集合卡爾曼濾波，由于克服了更新模型與更新動態(tài)場的不一致性，得到了較好的模型估計結(jié)果，其擬合及預(yù)測結(jié)果都得到了改進，這可以從圖2（b）和圖3（b）所示的P-4井和P-11井含水率擬合結(jié)果看出來，并且相對于標準集合卡爾曼方法得到的結(jié)果其預(yù)測不確定性大大降低，增加了預(yù)測的可信程度。

圖2 P-4井含水率曲線Fig.2 Plot of water cut of well P-4

圖3 P-11井含水率曲線Fig.3 Plot of water cut of well P-11

4 結(jié)束語

針對非線性油藏問題提出了一種改進的集合卡爾曼濾波方法。該方法由于在每個歷史擬合時間都從初始時刻利用更新模型進行生產(chǎn)預(yù)測，避免了由于非線性滲流問題引起更新動態(tài)場和更新模型的不一致性。通過對歷史數(shù)據(jù)進行擬合，改進的集合卡爾曼濾波方法可以得到較好的初始油水界面位置的估計結(jié)果和很好的歷史擬合及生產(chǎn)預(yù)測結(jié)果。

［1］ EVENSEN G.Sequential data assimilation with a nonlinear quasi-geostrophic model using Monte Carlo methods to forecast error statistics［J］.Journal of Geophysical Research，1994，99（C5）:10143-10162.

［2］ NAEVDAL G，JOHNSEN L M，AANONSEN S I，et al.Reservoir monitoring and continuous model updating using ensemble Kalman filter［R］.SPE 84372，2003.

［3］ AANONSEN S I，NAEVDAL G，OLIVE D S.Review of ensemble Kalman filter in petroleum engineering［R］.SPE 117724，2008.

［4］ HAUGEN V，NATVIK L J，EVENSEN G.History matching using the ensemble Kalman filter on a North Sea field case［R］.SPE 102430，2006.

［5］ EVENSEN G，HOVE J，MEISINGSET H C.Using the EnKF for assisted history matching of a North Sea reservoir［R］.SPE 106184，2007.

［6］ BIANCO A，COMINELLI A，DOVERA L.History matching and production forecast uncertainty by means of the ensemble Kalman filter:A real field application［R］.SPE 107161，2007.

［7］ SEILER A，EVENSEN G，SKJERVHEIM J A.Advanced reservoir management workflow using an EnKF based assisted history matching method［R］.SPE 118906，2009.

［8］ 朱杰，柳廣弟，劉成林，等.基于多峰高斯模型的石油儲量與產(chǎn)量預(yù)測［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2009，33（3）:45-48.

ZHU Jie，LIU Guang-di，LIU Cheng-lin，et al.Oil reserves and production prediction based on multi-cyclic Gauss model［J］.Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science），2009，33（3）:45-48.

［9］ 宮敬，才建，李曉平，等.基于自適應(yīng)Kalman濾波的輸油管道狀態(tài)估計［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，32（6）:129-133.

GONG Jing，CAI Jian，LI Xiao-ping，et al.State estimation of oil pipeline based on adaptive Kalman filtering［J］.Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science），2008，32（6）:129-133.

［10］ 陳建江，印興耀，張廣智.基于貝葉斯理論的振幅隨偏移距變化三參數(shù)同步反演［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2007，31（3）:33-38.

CHEN Jian-jiang，YIN Xing-yao，ZHANG Guang-zhi.Simultaneous three-term AVO inversion based on Bayesian theorem［J］.Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science），2007，31（3）:33-38.

［11］ THULIN K，LI G，AANONSEN S I.Estimation of initial fluid contacts by assimilation of production data with EnKF［R］.SPE 109975，2007.

［12］ LI G，REYNOLDS A C.An iterative ensemble Kalman filter for data assimilation［R］.SPE 109808，2007.

［13］ GU Y，OLIVER D S.An iterative ensemble Kalman filter for multiphase fluid flow data assimilation［J］.SPE Journal，2007，12（4）:438-446.

［14］ GAO G，ZAFARI M，REYNOLDS A C.Quantifying uncertainty for the PUNQ-S3 problem in a Bayesian setting with RML and EnKF［R］.SPE 93324，2004.

Application of ensemble Kalman filter in nonlinear reservoir problem

WANG Yu-dou1，LI Gao-ming2，LI Mao-hui1

（1.College of Physics Science＆Technolohy in China University of Petroleum，Dongying257061，China;2.The University of Tulsa，Tulsa74104，USA）

The standard ensemble Kalman filter method is improved to history matching and inverse nonlinear reservoir problem.Reservoir model parameters can be estimated by automatic history matching with ensemble Kalman filter.Only reservoir model parameters are updated in this new method.The updated models are used to rerun the simulator from time zero to do the next prediction.The updated model is stochastically consistent with the updated dynamical variables by doing this.The improved method is used to estimate the depth of the initial oil-water interface as well as gridblock rock property fields by matching production data.The results are compared with those obtained from standard ensemble Kalman filter.The estimation and prediction results are improved by using the new ensemble Kalman filter.

oil reservoir numerical simulation;ensemble Kalman filter;automatic history matching;initial oil-water interface;parameter estimation;nonlinear reservoir

TE 348

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2010.05.035

1673-5005（2010）05-0188-05

2010－02－05

中國石油大學(xué)（華東）自主創(chuàng)新科研計劃項目（09CX04019A）

王玉斗（1973－），男（漢族），河南范縣人，副教授，博士，主要從事自動歷史擬合、油藏描述、油藏數(shù)值模擬等方面的研究。

（編輯 修榮榮）