李兆敏，王冠華

（中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東東營 257061）

冪律流體在內(nèi)管旋轉(zhuǎn)下放環(huán)空中的流動(dòng)與傳熱規(guī)律

李兆敏，王冠華

（中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東東營 257061）

對柱坐標(biāo)系下泡沫流體運(yùn)動(dòng)方程和能量方程進(jìn)行簡化，結(jié)合冪律流體本構(gòu)方程并將其離散，運(yùn)用有限差分方法對方程進(jìn)行求解，得到冪律流體在內(nèi)管旋轉(zhuǎn)下放環(huán)空中的水力參數(shù)分布。結(jié)果表明:隨內(nèi)管轉(zhuǎn)速的增大，環(huán)空中冪律流體的軸向流速、角速度、合速度增大，溫度升高，表觀黏度降低;隨內(nèi)管下放速度增加，環(huán)空中冪律流體的軸向流速、角速度和合速度減小，表觀黏度增大，內(nèi)管壁附近溫度升高而外管壁附近溫度降低。

流體流動(dòng);冪律流體;內(nèi)管旋轉(zhuǎn)下放;軸向速度;角速度;傳熱

研究表明［1-2］，氣體的體積（泡沫質(zhì)量）分?jǐn)?shù)在55%～96%的泡沫體系在流動(dòng)時(shí)可看作均相穩(wěn)定的泡狀流，其流變性符合冪律假塑性模型，相對于常規(guī)鉆井液而言具有黏度大、密度低等特性。該體系應(yīng)用于欠平衡鉆井不僅能夠有效防止儲(chǔ)層污染，同時(shí)也能很好地?cái)y帶巖屑提高鉆速。在鉆井過程中，泡沫鉆井液在鉆桿與井壁之間環(huán)空中的流動(dòng)及傳熱規(guī)律，不僅受到鉆桿旋轉(zhuǎn)的影響，同時(shí)也受鉆桿鉆進(jìn)速度的影響。目前國內(nèi)外對于冪律流體在內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)環(huán)空中流動(dòng)及螺旋流的研究較多，但將這兩個(gè)內(nèi)邊界條件結(jié)合起來研究的文獻(xiàn)并不多見，尤其是關(guān)于復(fù)雜內(nèi)邊界條件下流體環(huán)空流動(dòng)傳熱的研究更少。因此，筆者對冪律流體在內(nèi)管旋轉(zhuǎn)及軸向運(yùn)動(dòng)環(huán)空中的流動(dòng)與傳熱規(guī)律進(jìn)行研究。

1 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)同心環(huán)空內(nèi)流體不可壓縮且純黏無彈性，流動(dòng)為絕熱且充分發(fā)展的層流流動(dòng)，流體內(nèi)能守恒，則極坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)方程和能量方程［3］可簡化為

式中，P為壓力梯度，Pa/m;ω為旋轉(zhuǎn)角速度，rad/s;u為軸向流速，m/s;η為表觀黏度，Pa·s;λ為導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·K）;T為溫度，K。

泡沫鉆井用的泡沫體系在井口起泡，泡沫質(zhì)量分?jǐn)?shù)一般控制在70%左右，因而可采用冪律模型表征其流變性，同時(shí)忽略泡沫體系的可壓縮性，則其表觀黏度表達(dá)式為

式中，K為稠度系數(shù)，Pa·sn;n為流變指數(shù)。

為方便研究，將鉆井施工中的鉆進(jìn)過程簡化為連續(xù)的鉆桿下放過程，則邊界條件為

式中，R1為內(nèi)管外徑，m;R2為外管內(nèi)徑，m;U為內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度，m/s;Ω為內(nèi)管轉(zhuǎn)速，r/min;Tw為壁面溫度，K。

2 線性化求解

在多數(shù)文獻(xiàn)［3-7］中，計(jì)算過程都是將式（1）和式（2）聯(lián)立積分，獲得兩個(gè)耦合的非線性方程，求解極其復(fù)雜。這里采用線性化方法［8］求解。

式（3）和式（4）為3個(gè)三對角線性方程組，可通過Thomas法迭代求解，選用牛頓流體的u和ω值作為迭代初值，溫度初值則選用壁面溫度。

若n=1，則η=K=μ，式（1）為解耦的線性方程組，積分求解后即為牛頓流體的速度分布式

該方法在文獻(xiàn)［8］中已通過試驗(yàn)對比驗(yàn)證了其正確性，與本文差別在于內(nèi)管并沒有軸向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)也并沒有給出流場的算例和分析。其實(shí)內(nèi)管沒有軸向運(yùn)動(dòng)即U=0，是本文中物理模型的一個(gè)特例，因而采用線性化處理方法在算例中也正確。

3 計(jì)算結(jié)果分析

3.1 軸向流速分布

如圖1所示，軸向流速隨內(nèi)管轉(zhuǎn)速的增加而增大，這是冪律假塑性流體剪切稀釋特性影響的結(jié)果。通過式（2）可以看出，轉(zhuǎn)速越大，則角速度梯度?ω/?r越大，因而剪切速率越大，導(dǎo)致表觀黏度減小，從而增加流速。

圖1 內(nèi)管轉(zhuǎn)速對流速的影響Fig.1 Impact of rotation velocity of inner pipe on flow rate

圖2顯示，隨內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度的增加，流速降低。這是因?yàn)閮?nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度并不改變軸向剪切速率的分布，采用壁面無滑移邊界條件，邊界處流體隨內(nèi)管一起運(yùn)動(dòng)，則環(huán)空中流速重新分布，表現(xiàn)為流速的減小，這點(diǎn)與文獻(xiàn)［9］結(jié)論一致。

圖2 內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度對流速的影響Fig.2 Impact of axial velocity of inner pipe on flow rate

3.2 表觀黏度分布

圖3為冪律流體在不同內(nèi)管轉(zhuǎn)速及內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度下的表觀黏度分布曲線。從圖中可以看出，轉(zhuǎn)速為120 r/min時(shí)的黏度要明顯低于轉(zhuǎn)速為60 r/min時(shí)的黏度，這正體現(xiàn)了冪律假塑性流體的剪切稀釋特性。

不同轉(zhuǎn)速下表觀黏度隨內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度變化的分布曲線呈現(xiàn)的變化規(guī)律基本一致，都表現(xiàn)為隨內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度增加，內(nèi)管壁附近的表觀黏度略有減小，隨后增大。原因在于內(nèi)管的軸向運(yùn)動(dòng)速度引起了內(nèi)管壁附近的剪切速率的增加，從而表觀黏度較小。在圖2中，內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度越大，軸向流速越小，說明內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度越大，剪切速率減小的幅度越大，導(dǎo)致環(huán)空內(nèi)側(cè)表觀黏度增大。在環(huán)空中部最大軸向流速位置Rm處表觀黏度最小，且隨內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度增大而減小，由于外管壁固定，因而在r≥Rm時(shí)，無論是否存在內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)，剪切速率的變化規(guī)律都將一致，所以表現(xiàn)為較大內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度下的表觀黏度要始終高于較低內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度的情形。

圖3 內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)對表觀黏度的影響Fig.3 Impact of axial velocity of inner pipe on apparent viscosity

圖3中（a），（b）的不同之處在于低轉(zhuǎn)速情況下表觀黏度的增大幅度較明顯。這是因?yàn)榇嬖趦?nèi)管旋轉(zhuǎn)及內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜內(nèi)邊界條件時(shí)，冪律流體的表觀黏度也與周向剪切速率?ω/?r有關(guān)。表觀黏度通過對軸向流速和角速度耦合求解得到，因而可知內(nèi)管的軸向運(yùn)動(dòng)速度也影響著?ω/?r的變化。軸向剪切速率?u/?r和周向剪切速率?ω/?r的共同影響導(dǎo)致了環(huán)空中部表觀黏度的明顯差異，并且轉(zhuǎn)速越低，差異越明顯。

3.3 角速度分布

圖4為不同內(nèi)管轉(zhuǎn)速和軸向運(yùn)動(dòng)速度下的角速度分布曲線。

圖4 內(nèi)管轉(zhuǎn)速和軸向運(yùn)動(dòng)速度對角速度的影響Fig.4 Impact of rotation velocity and axial velocity of inner pipe on angular velocity

轉(zhuǎn)速增大，則角速度梯度?ω/?r增大，表觀黏度減小，導(dǎo)致角速度增大。內(nèi)管的軸向運(yùn)動(dòng)速度雖然不影響軸向剪切速率的分布，但卻影響它的數(shù)值，從而影響最終的速度。在軸向剪切速率和周向剪切速率的耦合影響下，隨內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度增大，表觀黏度增大，從而角速度減小。

3.4 合速度分布

圖5為內(nèi)管轉(zhuǎn)速與軸向運(yùn)動(dòng)速度對合速度的影響。

圖5 內(nèi)管轉(zhuǎn)速與軸向運(yùn)動(dòng)速度對合速度的影響Fig.5 Impact of rotation velocity and axial velocity of inner pipe on resultant velocity

圖6 合速度矢量簡圖Fig.6 Vector sketch of resultant velocity

由于內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)，則在內(nèi)管壁附近合切角θ＜0，

圖6為合速度矢量簡圖。從內(nèi)管壁任意一點(diǎn)處作切向矢量w與軸向矢量z垂直，則切向矢量為角速度，軸向矢量為軸向流速。定義角速度與合速度夾角θ為合切角，表達(dá)式為

從圖中可以看出，內(nèi)管的轉(zhuǎn)速Ω和軸向運(yùn)動(dòng)速且隨半徑的增加合速度逐漸趨向于w方向（白箭頭矢量）;當(dāng)環(huán)空位置達(dá)到零軸向流速處r=Rw時(shí)，則合速度即為周向速度ωRw，方向與切向矢量w同向，合切角θ=0;當(dāng)r＞Rw時(shí)，合切角θ＞0（黑箭頭矢量）;當(dāng)r=R2時(shí)，合速度為零，不存在合切角θ。

圖7為不同內(nèi)管轉(zhuǎn)速與軸向運(yùn)動(dòng)速度下的合切角分布曲線。對于相同內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度，合切角隨轉(zhuǎn)速的增大而減小，表明內(nèi)管轉(zhuǎn)速對角速度的影響相對于軸向流速要更加顯著。雖然轉(zhuǎn)速增大使得角速度和軸向流速都增大，但軸向流速的增大幅度要小于角速度。

圖7 內(nèi)管轉(zhuǎn)速與軸向運(yùn)動(dòng)速度對合切角的影響Fig.7 Impact of rotation velocity and axial velocity of inner pipe on resultant-tangent angle

相同的內(nèi)管轉(zhuǎn)速條件下，內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度增大，內(nèi)管壁附近的合切角增大（為負(fù)值）。隨環(huán)空半徑的增加，內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)情形的合切角迅速減小，達(dá)到Rw處時(shí)為零，而后迅速增大，繼而保持平穩(wěn)。從圖7觀察到，在環(huán)空中部及外側(cè)部分，內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度對合切角的影響并不明顯，計(jì)算所得的數(shù)值之差為10－2數(shù)量級。由此可知，內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度對合速度方向的影響僅在內(nèi)管壁附近。

3.5 溫度分布

圖8 內(nèi)管轉(zhuǎn)速與軸向運(yùn)動(dòng)速度對溫度分布的影響Fig.8 Impact of rotation velocity and axial velocity of inner pipe on temperature distribution

令ψ=104ln（T/Tw），作溫度分布曲線，結(jié)果見圖8。同。內(nèi)管轉(zhuǎn)速增大，環(huán)空內(nèi)整體溫度增加;內(nèi)管軸向度U對環(huán)空中溫度分布都有影響，但影響的效果不運(yùn)動(dòng)速度增加，內(nèi)管壁附近的流體溫度增加，而外壁附近流體溫度降低，環(huán)空內(nèi)整體溫度無太大變化。這種現(xiàn)象表明內(nèi)管轉(zhuǎn)速對剪切速率的影響貢獻(xiàn)大于內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度的影響，同時(shí)也表明內(nèi)管旋轉(zhuǎn)與軸向運(yùn)動(dòng)對剪切速率的影響表現(xiàn)機(jī)制不同。

4 結(jié)論

（1）軸向流速及角速度隨內(nèi)管轉(zhuǎn)速的增大而增大，隨內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度的增大而減小。

（2）表觀黏度隨內(nèi)管轉(zhuǎn)速的增大而減小，表現(xiàn)了冪律流體的剪切稀釋特性;表觀黏度隨內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度的增大先減小后增大，并在環(huán)空的中部及外側(cè)部分表現(xiàn)較為明顯，同時(shí)轉(zhuǎn)速越低，這種差異的幅度越大。

（3）合速度的數(shù)值隨內(nèi)管轉(zhuǎn)速增大而增大，隨內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度的增大先增大后減小;相同內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度情況下，內(nèi)管轉(zhuǎn)速對角速度的影響要比軸向流速更加明顯;相同內(nèi)管轉(zhuǎn)速情況下，內(nèi)管軸向運(yùn)動(dòng)速度對合速度矢量分布的影響僅體現(xiàn)在內(nèi)管壁附近。實(shí)際施工中，在一定鉆進(jìn)速度下應(yīng)控制好鉆桿的轉(zhuǎn)速，在提高泡沫鉆井液流速的前提下不使表觀黏度下降過多，保證其攜巖的安全性。

（4）內(nèi)管轉(zhuǎn)速和軸向運(yùn)動(dòng)速度對環(huán)空內(nèi)冪律流體的溫度分布具有影響，但影響效果不同。

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Flowing and heat transfer of power-law fluid in annulus with a rotating and axial moving inner pipe

LI Zhao-min，WANG Guan-hua

（College of Petroleum Engineering in China University of Petroleum，Dongying257061，China）

The momentum equation and energy equation of foam fluid in cylindrical polar coordinates were simplified.Combining with the constitutive equation of power-law fluid，the hydraulic parameters distribution of power-law fluid in the annulus consequently were calculated through discreting and solving the equations by using finite difference method.The results show that with the increase of rotation velocity of the inner pipe，the axial velocity，angular velocity，resultant velocity and temperature of fluid increase，and the apparent viscosity reduces.With the increase of rotating and moving velocity of the inner pipe，the axial velocity，angular velocity and resultant velocity of fluid reduce，and the apparent viscosity increases，and the temperature increases in the proximity of inner pipe while decreases in proximity of outer pipe.

flow of fluids;power-law fluid;rotating and moving of inner pipe;axial velocity;angular velocity;heat transfer

O 373

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2010.05.015

1673-5005（2010）05-0084-05

2009－12－28

教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（109158）

李兆敏（1965－），男（漢族），山東陽谷人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，從事非牛頓流體力學(xué)在石油工程中應(yīng)用的科研及教學(xué)工作。

（編輯 李志芬）