劉先鋒，韓玖榮，張首剛

（1. 揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，揚(yáng)州 225002；

2. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，西安 710600；

3. 中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710600）

三能級(jí)Tonks-Girardeau氣體的Ramsey干涉的研究

劉先鋒1，韓玖榮1，張首剛2,3

（1. 揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，揚(yáng)州 225002；

2. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，西安 710600；

3. 中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710600）

采用Ramsey分離振蕩場(chǎng)方法，研究了緊束縛一維強(qiáng)相互作用的超冷玻色氣體在Tonks-Girardeau區(qū)的Ramsey干涉。在等失諧情況下，干涉條紋寬度隨著原子與分離場(chǎng)作用時(shí)間和拉比（Rabi）頻率的增大而變窄。對(duì)量子投影噪聲的研究表明，相比二能級(jí)Tonks-Girardeau氣體，對(duì)于三能級(jí)模型，通過(guò)控制原子總數(shù)和調(diào)節(jié)外場(chǎng)可以降低量子噪聲, 有效地減少噪聲對(duì)Tonks-Girardeau氣體系統(tǒng)的干擾。原子干涉的探索對(duì)提高量子頻率標(biāo)準(zhǔn)的精度具有重要理論指導(dǎo)意義。

Tonks-Girardeau氣體；Ramsey干涉；量子投影噪聲

在量子多體系統(tǒng)中強(qiáng)關(guān)聯(lián)問(wèn)題已經(jīng)引起人們廣泛的關(guān)注，而Tonks-Girardeau（TG）氣體[1]就是其中之一。TG氣體是以物理學(xué)家Tonks和Girardeau名字命名的，描述了由類(lèi)似費(fèi)米子性質(zhì)的具有強(qiáng)相互作用的玻色子構(gòu)成的一維系統(tǒng)。然而，這樣的玻色子的量子行為并不完全等同于理想的費(fèi)米子，它們的特征動(dòng)量分布就反映了這一點(diǎn)。最近，2個(gè)實(shí)驗(yàn)[2-3]首次利用光晶格實(shí)現(xiàn)了TG區(qū)域并且觀察到了TG氣體的性質(zhì)，從而引起了在量子信息、量子計(jì)算、量子相干和強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)等方面的研究。原子囚禁和冷卻技術(shù)的發(fā)展促進(jìn)了實(shí)驗(yàn)上成功地制備了低維氣體[4-5]。利用費(fèi)米-玻色映射（Fermi-Bose mapping）方法[1,6]，可將無(wú)相互作用無(wú)自旋的費(fèi)米子波函數(shù)映射到硬核玻色子，因此TG模型是完全可解的。近期，Girardeau的費(fèi)米-玻色映射方法已被用來(lái)研究TG氣體[7-8]、TG混合原子氣體[9]以及二能級(jí)原子系統(tǒng)[10-11]。

Ramsey干涉技術(shù)在現(xiàn)代精密測(cè)量、量子頻標(biāo)等方面有著重要運(yùn)用，據(jù)此提出和實(shí)現(xiàn)了多種觀察原子干涉的實(shí)驗(yàn)方案。相干布居囚禁（CPT）方法便是上述實(shí)驗(yàn)方案之一[12]，先后有多個(gè)研究小組運(yùn)用此方法得到了堿金屬原子束[13-14]和蒸汽原子[15-16]的干涉圖樣[17]；此外，基于早年Ramsey提出的空間分離振蕩場(chǎng)方法[18-19]，Muga領(lǐng)導(dǎo)的研究小組分別運(yùn)用半經(jīng)典和全量子的處理方法對(duì)二能級(jí)銫原子干涉進(jìn)行了研究[10-11,20-21]。

根據(jù)Ramsey的觀點(diǎn)，原子通過(guò)空間兩個(gè)外場(chǎng)的間隔區(qū)域的時(shí)間越長(zhǎng)，所得到的中央干涉條紋就越窄[18-19]，基于這一點(diǎn)，超冷原子被廣泛運(yùn)用。原子囚禁和冷卻技術(shù)的發(fā)展為實(shí)驗(yàn)上制備低維原子氣體進(jìn)入TG區(qū)提供了有力的技術(shù)支持。一方面，近幾年來(lái)，研究者們先后提出了利用光晶格(OL)、磁光晶格（MOL）、諧振子勢(shì)阱、雪茄型勢(shì)阱等的原子囚禁方案[2-3,22-28]；另一方面，運(yùn)用激光冷卻或蒸發(fā)冷卻可以將原子冷卻到接近0 K的溫度。在Ramsey干涉條紋研究過(guò)程中，諸多其他因素值得考慮，量子運(yùn)動(dòng)效應(yīng)就是其中之一。無(wú)論是縱向的還是橫向的運(yùn)動(dòng)都會(huì)破壞Ramsey條紋[18-19,29]。最近，Seidel和Muga在量子運(yùn)動(dòng)效應(yīng)對(duì)原子干涉影響方面的研究表明[26-28]，由于受到量子反射和隧穿的影響，干涉條紋發(fā)生了改變。為了利用原子干涉，尋找更高精度的原子鐘，有研究者提出可以運(yùn)用玻色-愛(ài)因斯坦凝聚（BEC），因?yàn)榻璐丝衫盟牡退俣群驼俾史植继匦裕遣Ｉ?愛(ài)因斯坦凝聚中碰撞頻移和不穩(wěn)定性的存在[30]將會(huì)對(duì)原子頻標(biāo)的精度產(chǎn)生影響。近年來(lái)對(duì)TG氣體的研究結(jié)果，引起了我們對(duì)TG氣體的關(guān)注并試圖對(duì)其Ramsey干涉進(jìn)行研究。在足夠低密度和強(qiáng)相互作用下限制原子的橫向運(yùn)動(dòng)，玻色氣體進(jìn)入TG區(qū)域。與一般原子氣體相比，TG氣體具有一維性和狹窄的速率分布優(yōu)勢(shì)；此外，TG氣體很好地抑制了三體關(guān)聯(lián)作用[31]，從而增強(qiáng)了TG氣體的穩(wěn)定性。另外，TG氣體成功克服了玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中出現(xiàn)的碰撞頻移和不穩(wěn)定等問(wèn)題。

運(yùn)用Ramsey方法[18-19]研究原子干涉，尋求更高精度的原子鐘已成為現(xiàn)代精密測(cè)量方面的有力工具。近期，TG氣體的二能級(jí)原子Ramsey干涉已被報(bào)道[10-11,20-21]，然而二能級(jí)原子的運(yùn)用并不是最佳的，相比之下，三能級(jí)TG氣體更具優(yōu)勢(shì)，更具應(yīng)用前途。本文將研究三能級(jí)TG氣體的Ramsey干涉及量子投影噪聲。

1 三能級(jí)TG氣體的Ramsey干涉

1.1 理論模型

我們把超冷玻色氣體裝載到雪茄型諧振子勢(shì)阱中，當(dāng)橫向角頻率ω⊥遠(yuǎn)大于縱向的角頻率ωz，從而在橫方向能級(jí)之間的能量差非常大，因此被囚禁的原子在這個(gè)方向上躍遷要比縱向上躍遷困難得多。原子只能在橫向基態(tài)作零點(diǎn)振動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的橫向自由度被凍結(jié)了，原子可以在縱向運(yùn)動(dòng)，于是原子氣體呈現(xiàn)出準(zhǔn)一維特性?，F(xiàn)利用雪茄型諧振子勢(shì)阱對(duì)N個(gè)三能級(jí)超冷玻色原子進(jìn)行囚禁，在很強(qiáng)的徑向束縛勢(shì)下，使玻色氣體進(jìn)入TG區(qū)域。如圖1所示，所有超冷玻色原子在初始t0時(shí)刻都制備在基態(tài)，它們具有一個(gè)小動(dòng)量?k0，在t0到t0+τ和t0+T+τ到t0+T+2τ這兩段時(shí)間內(nèi)施加兩個(gè)完全一樣的振蕩電磁場(chǎng)。每一個(gè)振蕩場(chǎng)由兩種頻率的激光場(chǎng)構(gòu)成，TG原子氣體的電子則由基態(tài)|g＞到激發(fā)態(tài)|a＞和|b＞，即發(fā)生躍遷。

圖1 Ramsey干涉示意圖

對(duì)于V型三能級(jí)超冷玻色原子，包含三個(gè)量子態(tài)：基態(tài)|g＞，激發(fā)態(tài)|a＞和|b＞，對(duì)應(yīng)的能量分別是Eg=?ωg，Ea=?ωa和Eb=?ωb，如圖2所示。在頻率分別為v1和v2的外加激光場(chǎng)的作用下，原子和激光場(chǎng)相互作用。設(shè)外場(chǎng)頻率和原子躍遷頻率的失諧Δa=v1?(ωa?ωg)和Δb=v2?(ωb?ωg)。其中，|a＞?|g＞和|b＞?|g＞的躍遷是偶極允許的，而|a＞?|b＞躍遷偶極禁戒。

在偶極旋波近似下，相互作用繪景中，對(duì)于單個(gè)原子，系統(tǒng)的哈密頓量表示為[32]

式（1）中，第一項(xiàng)表示原子的動(dòng)能，Ωj(t)（其中j=a，b）表示兩外場(chǎng)的拉比（Rabi）頻率，是時(shí)間的函數(shù)。

1.2 薛定諤方程的半經(jīng)典解

對(duì)原子的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)可以進(jìn)行經(jīng)典處理，并且與系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)無(wú)關(guān)[21,33]，因此，在半經(jīng)典處理情況下，相互作用繪景中的波函數(shù)|ψI(t)＞是以下薛定諤方程的解

初始時(shí)刻，原子處于基態(tài)|ψI(t0)＞=|g ＞，在時(shí)域t∈[t0, t0+τ]內(nèi)原子與外場(chǎng)相互作用時(shí)間τ后，接著原子在T時(shí)間內(nèi)停止與外場(chǎng)作用，這一過(guò)程中相互作用繪景中哈密頓量為零，因此演化算符為單位矩陣。最后，原子在時(shí)域t∈[t0+T+τ, t0+T+2τ]內(nèi)與外場(chǎng)作用時(shí)間τ。原子末態(tài)可表示為

1.3 討論

Ramsey干涉條紋指的是與外場(chǎng)相互作用后，原子處于激發(fā)態(tài)的幾率和外場(chǎng)頻率與原子躍遷頻率間失諧量的關(guān)系。利用式（8），可計(jì)算得到原子處于激發(fā)態(tài)總的幾率為

由式（9）至式（12）可知，對(duì)于三能級(jí)的TG氣體原子來(lái)說(shuō)，Ramsey干涉條紋由失諧Δ，拉比頻率以及場(chǎng)作用時(shí)間τ決定。在圖3中，我們分別畫(huà)出了Ωa=Ωb和Ωa≠Ωb這兩種情況下Ramsey的干涉條紋P(Δ)。很明顯，干涉圖樣關(guān)于Δ=0對(duì)稱(chēng)分布。

圖3 等拉比頻率（Ωa=Ωb =π/2）與非等拉比頻率（Ωa=π，Ωb=π/2）下的Ramsey干涉條紋P(Δ)（其他參數(shù)：T＝10 s，τ=1 s）

接下來(lái)，我們計(jì)算了Ramsey干涉隨原子和場(chǎng)的作用時(shí)間τ的變化關(guān)系，選擇參數(shù)如下：T=5 s，以及==π/2，在圖4中分別給出了等失諧情況下當(dāng)τ =1 s和τ =5 s時(shí)的干涉?？梢?jiàn)，隨著原子和場(chǎng)作用時(shí)間的增加，干涉圖樣更加狹窄，另外P(Δ)的最大值增大。對(duì)于拉比頻率不相等的情況，我們同樣得到了與上述一致的結(jié)論。

圖4 當(dāng)場(chǎng)和原子作用時(shí)間τ =1 s和τ =5 s時(shí)Ramsey干涉條紋（拉比頻率取為==π/2）

為研究激發(fā)態(tài)原子概率P()Δ隨失諧Δ和拉比頻率aΩ，bΩ以及原子和外場(chǎng)作用時(shí)間τ三者的變化關(guān)系，利用式（11）和式（12）得到

圖5 P(Δ)與 /rad的關(guān)系圖

圖5給出了處于激發(fā)態(tài)概率P(Δ)與Ωτ'的關(guān)系圖，其中q=Δ2/(+)。圖5表明，隨著q值的增大，P(Δ)的最大值減小。若q→0，即+＞＞Δ2，則P(Δ)→1；若q→+∞，即+＜＜Δ2，則P(Δ)→0。

2 三能級(jí)TG氣體的量子投影噪聲

我們已經(jīng)討論了TG區(qū)單個(gè)原子的情況，然而對(duì)于Ramsey干涉，處于激發(fā)態(tài)原子的數(shù)目漲落問(wèn)題是不能忽視的，接下來(lái)我們將計(jì)算三能級(jí)TG氣體的量子投影噪聲并且與二能級(jí)系統(tǒng)進(jìn)行比較。

考慮到系統(tǒng)已由二能級(jí)系統(tǒng)轉(zhuǎn)為三能級(jí)系統(tǒng)，為了能準(zhǔn)確表述三能級(jí)系統(tǒng)量子投影噪聲，在此首先引入單躍遷算符[34]，可具體表示為

這里r和s代表原子三個(gè)能級(jí)g，a和b，但是r和s不能同時(shí)分別為a和b，而x，y，z表示單躍遷算符可進(jìn)行投影的3個(gè)不同方向。利用以上結(jié)論可以得到

量子噪聲實(shí)則反映了對(duì)于N粒子組成的系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)原子數(shù)目的漲落。在此，我們應(yīng)用波函數(shù)ΨB(x1,...,xN)計(jì)算量子噪聲。對(duì)于一個(gè)處于基態(tài)的三能級(jí)超冷玻色原子系統(tǒng)，通過(guò)與外場(chǎng)相互作用發(fā)生了|a＞?|g＞和|b＞?|g＞的2種可能的躍遷。接下來(lái)，我們計(jì)算這2種中任何一種情況的量子投影噪聲情況?？紤]由N個(gè)原子構(gòu)成的系統(tǒng)，有n個(gè)原子發(fā)生了|g＞→|a＞躍遷（n≤N），剩余的N-n個(gè)原子發(fā)生了|g＞→|b＞躍遷，根據(jù)文獻(xiàn)[35]，對(duì)于三能級(jí)系統(tǒng)，投影算符表示為

為了計(jì)算期待值，實(shí)際計(jì)算過(guò)程中可利用玻色-費(fèi)米映射（Bose-Fermi mapping），即ΨB(x1,...,xN)=ΑΨF(x1,...,xN)，其中反對(duì)稱(chēng)單位函數(shù)Α=sgn(xk?xj)，我們可以用費(fèi)米子波函數(shù)ΨF代替玻色子波函數(shù)ΨB。

式（19）中Φi和Φj分別表示第i個(gè)和第j個(gè)粒子的波函數(shù)，αi=＜Φi|ai＞＜ai|?|gi＞＜gi|Φi＞和βj=＜Φi|bj＞＜bj|?|gj＞＜gj|Φi＞表示兩種躍遷下粒子處于激發(fā)態(tài)與基態(tài)概率之差。通過(guò)進(jìn)一步推導(dǎo)得

三能級(jí)與二能級(jí)相比，量子投影噪聲差值為

式（22）描述了三能級(jí)系統(tǒng)與二能級(jí)系統(tǒng)TG氣體的量子投影噪聲的差值，這與粒子數(shù)N，量子投影算符的期待值，以及α和β值有關(guān)。顯然，如果我們實(shí)驗(yàn)上控制基態(tài)和兩個(gè)激發(fā)態(tài)之間的耦合場(chǎng)的強(qiáng)度或者失諧的大小，那么我們可使得式（22）為負(fù)值，也就是說(shuō)三能級(jí)系統(tǒng)相比于二能級(jí)系統(tǒng)量子噪聲變得更小。通過(guò)調(diào)節(jié)外場(chǎng)減小量子噪聲，起到了對(duì)強(qiáng)相互作用TG氣體的負(fù)的修正作用。因此，抑制噪聲是我們目前的這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)。另外，與二能級(jí)原子系統(tǒng)相比，三能級(jí)超冷玻色原子系統(tǒng)可以對(duì)兩個(gè)場(chǎng)進(jìn)行調(diào)節(jié)、控制，實(shí)驗(yàn)控制手段更為豐富。

3 結(jié)論

本文對(duì)三能級(jí)超冷TG氣體的Ramsey干涉和量子投影噪聲進(jìn)行了研究。發(fā)現(xiàn)一維強(qiáng)相互作用的玻色氣體在實(shí)現(xiàn)了TG氣體的情況下具有窄的速率分布，用以研究Ramsey干涉具備較長(zhǎng)的相干時(shí)間，TG強(qiáng)相互作用玻色氣體表現(xiàn)出類(lèi)似于費(fèi)米子的性質(zhì)，兩者的數(shù)密度等同，在TG氣體中，可以避免玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中出現(xiàn)的碰撞頻移和不穩(wěn)定性等問(wèn)題。研究表明，等失諧情況下，三能級(jí)Ramsey干涉條紋寬度隨著與場(chǎng)相互作用時(shí)間和拉比頻率的增大而變小。量子投影噪聲的計(jì)算結(jié)果顯示，通過(guò)控制原子數(shù)目和對(duì)外場(chǎng)的調(diào)節(jié)，能夠使量子噪聲比二能級(jí)系統(tǒng)中更小。三能級(jí)TG氣體在抑制量子噪聲方面有顯著作用，此外，三能級(jí)系統(tǒng)提供了更為豐富的實(shí)驗(yàn)控制手段。

對(duì)三能級(jí)TG理想氣體干涉的理論研究，對(duì)原子頻標(biāo)的研究、提高原子頻標(biāo)的精度具有很好的理論指導(dǎo)作用，可望在不久的將來(lái)TG氣體在原子干涉方面能有更廣泛的用途。

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Study of Ramsey Interferometry with Three-level Tonks-Girardeau Gas

LIU Xian-feng1, HAN Jiu-rong1, ZHANG Shou-gang2,3

(1. College of Physics Science and Technology, Yangzhou University, Yangzhou 225002, China;
2. National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710600, China;
3. Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards, Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710600, China)

The Ramsey’s method of separated oscillatory fields is applied to study Ramsey interferometry but using a Tonks-Girardeau model that describes a coherent one-dimensional gas of ultracold bosons with strong interactions. Under the equal detuning, the interference fringes width can be narrowed by increasing the Rabi frequency and the field-crossing time. Moreover, we gain further insight into the quantum projection noise. In contrast to a two-level TG gas, our results illustrate that the modulation of the total number of three-level atoms and the external fields tend to lower the quantum noise limit, so as to reduce the interference of the noise to the strongly interacting bosonic Tonks-Girardeau gas. The investigation on the atomic interferometry is a great theoretical guidance to the research of quantum frequency standard.

Tonks-Girardeau gas; Ramsey interferometry; quantum projection noise

TM935.113

A

1674-0637(2010)02-0081-11

2009-12-22

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目（10834007）；中國(guó)科學(xué)院重要方向資助項(xiàng)目（KJCX2-SW-T12)；國(guó)家自然科學(xué)基金專(zhuān)項(xiàng)類(lèi)資助項(xiàng)目（10647144）；揚(yáng)州大學(xué)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（GK0513102）

劉先鋒，男，碩士研究生，主要從事凝聚態(tài)物理方面的研究。