劉先鋒,韓玖榮,張首剛
(1. 揚州大學物理科學與技術學院,揚州 225002;
2. 中國科學院國家授時中心,西安 710600;
3. 中國科學院時間頻率基準重點實驗室,西安 710600)
三能級Tonks-Girardeau氣體的Ramsey干涉的研究
劉先鋒1,韓玖榮1,張首剛2,3
(1. 揚州大學物理科學與技術學院,揚州 225002;
2. 中國科學院國家授時中心,西安 710600;
3. 中國科學院時間頻率基準重點實驗室,西安 710600)
采用Ramsey分離振蕩場方法,研究了緊束縛一維強相互作用的超冷玻色氣體在Tonks-Girardeau區(qū)的Ramsey干涉。在等失諧情況下,干涉條紋寬度隨著原子與分離場作用時間和拉比(Rabi)頻率的增大而變窄。對量子投影噪聲的研究表明,相比二能級Tonks-Girardeau氣體,對于三能級模型,通過控制原子總數(shù)和調(diào)節(jié)外場可以降低量子噪聲, 有效地減少噪聲對Tonks-Girardeau氣體系統(tǒng)的干擾。原子干涉的探索對提高量子頻率標準的精度具有重要理論指導意義。
Tonks-Girardeau氣體;Ramsey干涉;量子投影噪聲
在量子多體系統(tǒng)中強關聯(lián)問題已經(jīng)引起人們廣泛的關注,而Tonks-Girardeau(TG)氣體[1]就是其中之一。TG氣體是以物理學家Tonks和Girardeau名字命名的,描述了由類似費米子性質(zhì)的具有強相互作用的玻色子構成的一維系統(tǒng)。然而,這樣的玻色子的量子行為并不完全等同于理想的費米子,它們的特征動量分布就反映了這一點。最近,2個實驗[2-3]首次利用光晶格實現(xiàn)了TG區(qū)域并且觀察到了TG氣體的性質(zhì),從而引起了在量子信息、量子計算、量子相干和強關聯(lián)系統(tǒng)等方面的研究。原子囚禁和冷卻技術的發(fā)展促進了實驗上成功地制備了低維氣體[4-5]。利用費米-玻色映射(Fermi-Bose mapping)方法[1,6],可將無相互作用無自旋的費米子波函數(shù)映射到硬核玻色子,因此TG模型是完全可解的。近期,Girardeau的費米-玻色映射方法已被用來研究TG氣體[7-8]、TG混合原子氣體[9]以及二能級原子系統(tǒng)[10-11]。
Ramsey干涉技術在現(xiàn)代精密測量、量子頻標等方面有著重要運用,據(jù)此提出和實現(xiàn)了多種觀察原子干涉的實驗方案。相干布居囚禁(CPT)方法便是上述實驗方案之一[12],先后有多個研究小組運用此方法得到了堿金屬原子束[13-14]和蒸汽原子[15-16]的干涉圖樣[17];此外,基于早年Ramsey提出的空間分離振蕩場方法[18-19],Muga領導的研究小組分別運用半經(jīng)典和全量子的處理方法對二能級銫原子干涉進行了研究[10-11,20-21]。
根據(jù)Ramsey的觀點,原子通過空間兩個外場的間隔區(qū)域的時間越長,所得到的中央干涉條紋就越窄[18-19],基于這一點,超冷原子被廣泛運用。原子囚禁和冷卻技術的發(fā)展為實驗上制備低維原子氣體進入TG區(qū)提供了有力的技術支持。一方面,近幾年來,研究者們先后提出了利用光晶格(OL)、磁光晶格(MOL)、諧振子勢阱、雪茄型勢阱等的原子囚禁方案[2-3,22-28];另一方面,運用激光冷卻或蒸發(fā)冷卻可以將原子冷卻到接近0 K的溫度。在Ramsey干涉條紋研究過程中,諸多其他因素值得考慮,量子運動效應就是其中之一。無論是縱向的還是橫向的運動都會破壞Ramsey條紋[18-19,29]。最近,Seidel和Muga在量子運動效應對原子干涉影響方面的研究表明[26-28],由于受到量子反射和隧穿的影響,干涉條紋發(fā)生了改變。為了利用原子干涉,尋找更高精度的原子鐘,有研究者提出可以運用玻色-愛因斯坦凝聚(BEC),因為借此可利用它的低速度和窄速率分布特性,但是玻色-愛因斯坦凝聚中碰撞頻移和不穩(wěn)定性的存在[30]將會對原子頻標的精度產(chǎn)生影響。近年來對TG氣體的研究結果,引起了我們對TG氣體的關注并試圖對其Ramsey干涉進行研究。在足夠低密度和強相互作用下限制原子的橫向運動,玻色氣體進入TG區(qū)域。與一般原子氣體相比,TG氣體具有一維性和狹窄的速率分布優(yōu)勢;此外,TG氣體很好地抑制了三體關聯(lián)作用[31],從而增強了TG氣體的穩(wěn)定性。另外,TG氣體成功克服了玻色-愛因斯坦凝聚中出現(xiàn)的碰撞頻移和不穩(wěn)定等問題。
運用Ramsey方法[18-19]研究原子干涉,尋求更高精度的原子鐘已成為現(xiàn)代精密測量方面的有力工具。近期,TG氣體的二能級原子Ramsey干涉已被報道[10-11,20-21],然而二能級原子的運用并不是最佳的,相比之下,三能級TG氣體更具優(yōu)勢,更具應用前途。本文將研究三能級TG氣體的Ramsey干涉及量子投影噪聲。
我們把超冷玻色氣體裝載到雪茄型諧振子勢阱中,當橫向角頻率ω⊥遠大于縱向的角頻率ωz,從而在橫方向能級之間的能量差非常大,因此被囚禁的原子在這個方向上躍遷要比縱向上躍遷困難得多。原子只能在橫向基態(tài)作零點振動,此時系統(tǒng)的橫向自由度被凍結了,原子可以在縱向運動,于是原子氣體呈現(xiàn)出準一維特性。現(xiàn)利用雪茄型諧振子勢阱對N個三能級超冷玻色原子進行囚禁,在很強的徑向束縛勢下,使玻色氣體進入TG區(qū)域。如圖1所示,所有超冷玻色原子在初始t0時刻都制備在基態(tài),它們具有一個小動量?k0,在t0到t0+τ和t0+T+τ到t0+T+2τ這兩段時間內(nèi)施加兩個完全一樣的振蕩電磁場。每一個振蕩場由兩種頻率的激光場構成,TG原子氣體的電子則由基態(tài)|g>到激發(fā)態(tài)|a>和|b>,即發(fā)生躍遷。
圖1 Ramsey干涉示意圖
對于V型三能級超冷玻色原子,包含三個量子態(tài):基態(tài)|g>,激發(fā)態(tài)|a>和|b>,對應的能量分別是Eg=?ωg,Ea=?ωa和Eb=?ωb,如圖2所示。在頻率分別為v1和v2的外加激光場的作用下,原子和激光場相互作用。設外場頻率和原子躍遷頻率的失諧Δa=v1?(ωa?ωg)和Δb=v2?(ωb?ωg)。其中,|a>?|g>和|b>?|g>的躍遷是偶極允許的,而|a>?|b>躍遷偶極禁戒。
在偶極旋波近似下,相互作用繪景中,對于單個原子,系統(tǒng)的哈密頓量表示為[32]
式(1)中,第一項表示原子的動能,Ωj(t)(其中j=a,b)表示兩外場的拉比(Rabi)頻率,是時間的函數(shù)。
對原子的質(zhì)心運動可以進行經(jīng)典處理,并且與系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)無關[21,33],因此,在半經(jīng)典處理情況下,相互作用繪景中的波函數(shù)|ψI(t)>是以下薛定諤方程的解
初始時刻,原子處于基態(tài)|ψI(t0)>=|g >,在時域t∈[t0, t0+τ]內(nèi)原子與外場相互作用時間τ后,接著原子在T時間內(nèi)停止與外場作用,這一過程中相互作用繪景中哈密頓量為零,因此演化算符為單位矩陣。最后,原子在時域t∈[t0+T+τ, t0+T+2τ]內(nèi)與外場作用時間τ。原子末態(tài)可表示為
Ramsey干涉條紋指的是與外場相互作用后,原子處于激發(fā)態(tài)的幾率和外場頻率與原子躍遷頻率間失諧量的關系。利用式(8),可計算得到原子處于激發(fā)態(tài)總的幾率為
由式(9)至式(12)可知,對于三能級的TG氣體原子來說,Ramsey干涉條紋由失諧Δ,拉比頻率以及場作用時間τ決定。在圖3中,我們分別畫出了Ωa=Ωb和Ωa≠Ωb這兩種情況下Ramsey的干涉條紋P(Δ)。很明顯,干涉圖樣關于Δ=0對稱分布。
圖3 等拉比頻率(Ωa=Ωb =π/2)與非等拉比頻率(Ωa=π,Ωb=π/2)下的Ramsey干涉條紋P(Δ)(其他參數(shù):T=10 s,τ=1 s)
接下來,我們計算了Ramsey干涉隨原子和場的作用時間τ的變化關系,選擇參數(shù)如下:T=5 s,以及==π/2,在圖4中分別給出了等失諧情況下當τ =1 s和τ =5 s時的干涉??梢姡S著原子和場作用時間的增加,干涉圖樣更加狹窄,另外P(Δ)的最大值增大。對于拉比頻率不相等的情況,我們同樣得到了與上述一致的結論。
圖4 當場和原子作用時間τ =1 s和τ =5 s時Ramsey干涉條紋(拉比頻率取為==π/2)
為研究激發(fā)態(tài)原子概率P()Δ隨失諧Δ和拉比頻率aΩ,bΩ以及原子和外場作用時間τ三者的變化關系,利用式(11)和式(12)得到
圖5 P(Δ)與 /rad的關系圖
圖5給出了處于激發(fā)態(tài)概率P(Δ)與Ωτ'的關系圖,其中q=Δ2/(+)。圖5表明,隨著q值的增大,P(Δ)的最大值減小。若q→0,即+>>Δ2,則P(Δ)→1;若q→+∞,即+<<Δ2,則P(Δ)→0。
我們已經(jīng)討論了TG區(qū)單個原子的情況,然而對于Ramsey干涉,處于激發(fā)態(tài)原子的數(shù)目漲落問題是不能忽視的,接下來我們將計算三能級TG氣體的量子投影噪聲并且與二能級系統(tǒng)進行比較。
考慮到系統(tǒng)已由二能級系統(tǒng)轉(zhuǎn)為三能級系統(tǒng),為了能準確表述三能級系統(tǒng)量子投影噪聲,在此首先引入單躍遷算符[34],可具體表示為
這里r和s代表原子三個能級g,a和b,但是r和s不能同時分別為a和b,而x,y,z表示單躍遷算符可進行投影的3個不同方向。利用以上結論可以得到
量子噪聲實則反映了對于N粒子組成的系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)原子數(shù)目的漲落。在此,我們應用波函數(shù)ΨB(x1,...,xN)計算量子噪聲。對于一個處于基態(tài)的三能級超冷玻色原子系統(tǒng),通過與外場相互作用發(fā)生了|a>?|g>和|b>?|g>的2種可能的躍遷。接下來,我們計算這2種中任何一種情況的量子投影噪聲情況??紤]由N個原子構成的系統(tǒng),有n個原子發(fā)生了|g>→|a>躍遷(n≤N),剩余的N-n個原子發(fā)生了|g>→|b>躍遷,根據(jù)文獻[35],對于三能級系統(tǒng),投影算符表示為
為了計算期待值,實際計算過程中可利用玻色-費米映射(Bose-Fermi mapping),即ΨB(x1,...,xN)=ΑΨF(x1,...,xN),其中反對稱單位函數(shù)Α=sgn(xk?xj),我們可以用費米子波函數(shù)ΨF代替玻色子波函數(shù)ΨB。
式(19)中Φi和Φj分別表示第i個和第j個粒子的波函數(shù),αi=<Φi|ai><ai|?|gi><gi|Φi>和βj=<Φi|bj><bj|?|gj><gj|Φi>表示兩種躍遷下粒子處于激發(fā)態(tài)與基態(tài)概率之差。通過進一步推導得
三能級與二能級相比,量子投影噪聲差值為
式(22)描述了三能級系統(tǒng)與二能級系統(tǒng)TG氣體的量子投影噪聲的差值,這與粒子數(shù)N,量子投影算符的期待值,以及α和β值有關。顯然,如果我們實驗上控制基態(tài)和兩個激發(fā)態(tài)之間的耦合場的強度或者失諧的大小,那么我們可使得式(22)為負值,也就是說三能級系統(tǒng)相比于二能級系統(tǒng)量子噪聲變得更小。通過調(diào)節(jié)外場減小量子噪聲,起到了對強相互作用TG氣體的負的修正作用。因此,抑制噪聲是我們目前的這個系統(tǒng)的一個突出優(yōu)點。另外,與二能級原子系統(tǒng)相比,三能級超冷玻色原子系統(tǒng)可以對兩個場進行調(diào)節(jié)、控制,實驗控制手段更為豐富。
本文對三能級超冷TG氣體的Ramsey干涉和量子投影噪聲進行了研究。發(fā)現(xiàn)一維強相互作用的玻色氣體在實現(xiàn)了TG氣體的情況下具有窄的速率分布,用以研究Ramsey干涉具備較長的相干時間,TG強相互作用玻色氣體表現(xiàn)出類似于費米子的性質(zhì),兩者的數(shù)密度等同,在TG氣體中,可以避免玻色-愛因斯坦凝聚中出現(xiàn)的碰撞頻移和不穩(wěn)定性等問題。研究表明,等失諧情況下,三能級Ramsey干涉條紋寬度隨著與場相互作用時間和拉比頻率的增大而變小。量子投影噪聲的計算結果顯示,通過控制原子數(shù)目和對外場的調(diào)節(jié),能夠使量子噪聲比二能級系統(tǒng)中更小。三能級TG氣體在抑制量子噪聲方面有顯著作用,此外,三能級系統(tǒng)提供了更為豐富的實驗控制手段。
對三能級TG理想氣體干涉的理論研究,對原子頻標的研究、提高原子頻標的精度具有很好的理論指導作用,可望在不久的將來TG氣體在原子干涉方面能有更廣泛的用途。
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Study of Ramsey Interferometry with Three-level Tonks-Girardeau Gas
LIU Xian-feng1, HAN Jiu-rong1, ZHANG Shou-gang2,3
(1. College of Physics Science and Technology, Yangzhou University, Yangzhou 225002, China;
2. National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710600, China;
3. Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards, Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710600, China)
The Ramsey’s method of separated oscillatory fields is applied to study Ramsey interferometry but using a Tonks-Girardeau model that describes a coherent one-dimensional gas of ultracold bosons with strong interactions. Under the equal detuning, the interference fringes width can be narrowed by increasing the Rabi frequency and the field-crossing time. Moreover, we gain further insight into the quantum projection noise. In contrast to a two-level TG gas, our results illustrate that the modulation of the total number of three-level atoms and the external fields tend to lower the quantum noise limit, so as to reduce the interference of the noise to the strongly interacting bosonic Tonks-Girardeau gas. The investigation on the atomic interferometry is a great theoretical guidance to the research of quantum frequency standard.
Tonks-Girardeau gas; Ramsey interferometry; quantum projection noise
TM935.113
A
1674-0637(2010)02-0081-11
2009-12-22
國家自然科學基金重點資助項目(10834007);中國科學院重要方向資助項目(KJCX2-SW-T12);國家自然科學基金專項類資助項目(10647144);揚州大學自然科學基金資助項目(GK0513102)
劉先鋒,男,碩士研究生,主要從事凝聚態(tài)物理方面的研究。