“知識(shí)是軀體，問(wèn)題是心臟，思想是靈魂，方法是行為”是對(duì)如何學(xué)好數(shù)學(xué)的高度概括，問(wèn)題是思維的起點(diǎn)和源泉，問(wèn)題轉(zhuǎn)化是化歸思想的主要體現(xiàn)，它是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的“分析法”:要求(證)“什么”，必須先知道是“誰(shuí)”，而要知道是“誰(shuí)”，又要求(證)“什么”?如此反復(fù)思考，最終把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知條件或定義、定理、公式、性質(zhì)等，即把深層次問(wèn)題轉(zhuǎn)化為淺層次問(wèn)題——化未知為已知、化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化動(dòng)為靜、化抽象為具體等.下面筆者將通過(guò)自己在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生普遍反映比較難且錯(cuò)誤率高的一些習(xí)題，談?wù)勥\(yùn)用轉(zhuǎn)化思想提高二次函數(shù)教學(xué)有效性的一些思考.

【例1】 (2008，杭州)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(0，t)，點(diǎn)Q(t，b)(t，b均為非零常數(shù)).平移二次函數(shù)y=-tx2的圖象，得到的拋物線F滿(mǎn)足兩個(gè)條件:①頂點(diǎn)為Q;②與x軸相交于B、C兩點(diǎn)(|OB|<|OC|)，連接AB.

(1)是否存在這樣的拋物線F，使得|OA|2=|OB|#8226;|OC|?請(qǐng)你作出判斷，并說(shuō)明理由;

(2)如果AQ∥BC，且tan∠ABO=32，求拋物線F對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式.

分析:(1)轉(zhuǎn)化思想:公式|OA|2=|OB|#8226;|OC|轉(zhuǎn)化為b、t的關(guān)系式的“瓶頸”:如何把線段OA、OB、OC的長(zhǎng)度用b、t的關(guān)系式表示?

設(shè)y=-t(x-t)2+b， 令y=0，得 x1=t-bt，x2=t+bt，代入|OA|2=|OB|#8226;|OC|，得關(guān)于b、t的關(guān)系式t2=|t-bt|#8226;|t+bt|，得b=2t3.

(2)轉(zhuǎn)化思想1:函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題.問(wèn)題的“瓶頸”:條件AQ∥BC怎么用?即b=t.

設(shè)y=-t(x-t)2+t，令y=0，解得x1=t-1，x2=t+1.由OA=|t|，OB=|t-1|或|t+1|.

轉(zhuǎn)化思想2:絕對(duì)值方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分類(lèi)討論求t值的問(wèn)題.問(wèn)題的“瓶頸”:根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向的不同情況，分類(lèi)討論、力求完整.

tan∠ABO=OAOB=32，故|t||t-1|=32或|t||t+1|=32.

當(dāng)t>0，t-1>0y=-3x2+18x-24;

當(dāng)t>0，t-1<0y=-35x2+1825x+48125;

當(dāng)t<0，t+1>0y=35x2+1825x-48125;

當(dāng)t<0，t+1>0y=3x2+18x-24.

其他4種情況無(wú)解.

【例2】 (2009，紹興)定義一種變換:平移拋物線F1得到拋物線F2，使F2經(jīng)過(guò)F1的頂點(diǎn)A.設(shè)F2的對(duì)稱(chēng)軸分別交F1、F2于點(diǎn)D、B，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

(1)如圖1，若F1:y=x經(jīng)過(guò)變換后，得到F2:y=x2+bx，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0)，則

①B的值等于;

②四邊形ABCD為().

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

(2)如圖2，若F1:y=ax2+c經(jīng)過(guò)變換后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，c-1)，求三角形ABD的面積;

(3)如圖3，若F1:y=13x2-23x+73經(jīng)過(guò)變換后，AC=23，點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值.

圖1圖2圖3

分析:(1)第(1)小題轉(zhuǎn)化思想:拋物線坐標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為四邊形的頂點(diǎn)求對(duì)角線的長(zhǎng)，然后判斷兩對(duì)角線的位置關(guān)系.問(wèn)題的“瓶頸”:變換后的拋物線解析式怎樣求?點(diǎn)B、D的坐標(biāo)怎樣求?

(2)轉(zhuǎn)化思想:平移后的拋物線圖象轉(zhuǎn)化為解析式.問(wèn)題的“瓶頸”:求△ABD的面積，關(guān)鍵是求BD的長(zhǎng)，怎樣求?必須知道B、D點(diǎn)坐標(biāo)，怎樣求?先求出拋物線F2的解析式，拋物線F2的解析式可設(shè)為y=ax2+bx+c，頂點(diǎn)坐標(biāo)為B(2，c-1)，過(guò)點(diǎn)C(4，c)，代入解得a=14，b=-1，c求不出來(lái)，聯(lián)系圖象發(fā)現(xiàn)線段BD的長(zhǎng)與c的值無(wú)關(guān).所以?huà)佄锞€F1的解析式為:y=14x2+c，求得D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，c+1)，BD=2，解得△ABD的面積為2.

(3)轉(zhuǎn)化思想:把距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段的長(zhǎng)度.問(wèn)題的“瓶頸”:這個(gè)問(wèn)題比較復(fù)雜，怎樣把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化呢?先把已知條件落實(shí)，盡量減少不確定的量.

由拋物線F1:y=13x2-23x+73，求得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(23+1，2)，

拋物線F2的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3+1，求得D點(diǎn)坐標(biāo)為(3+1，3)，

拋物線F2的解析式可設(shè)為y=13x2+bx+c，

對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3+1，求得b=-233-23.

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，2)，求得c=233+73，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為(3+1，1).

轉(zhuǎn)化思想:求點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值?

從問(wèn)題的提問(wèn)方式來(lái)看，應(yīng)該把它轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題去考慮，但直接不能轉(zhuǎn)化，怎么辦?聯(lián)系(1)(2)兩小題的思路，可以把四邊形ABCD連結(jié)起來(lái)，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)菱形，過(guò)B點(diǎn)作直線AD的垂線段，與AC的交點(diǎn)就是距離之和的最小值時(shí)的P點(diǎn)位置，所以最小值為3.

問(wèn)題的轉(zhuǎn)化是一種思維方法，每一個(gè)具體問(wèn)題如何去實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化過(guò)程，關(guān)鍵是如何尋找正確的轉(zhuǎn)化的途徑，在教學(xué)中可以嘗試將問(wèn)題類(lèi)比轉(zhuǎn)化與聯(lián)想轉(zhuǎn)化.

1.類(lèi)比轉(zhuǎn)化

初中數(shù)學(xué)，有許多概念或定理就是通過(guò)類(lèi)比來(lái)學(xué)習(xí)的，如數(shù)軸就是類(lèi)比于溫度計(jì)，又如直線和圓的位置關(guān)系類(lèi)比于點(diǎn)和圓的位置關(guān)系等.合理的類(lèi)比有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的條理化、系統(tǒng)化，有利于數(shù)學(xué)思想方法的滲透.二次函數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)類(lèi)比轉(zhuǎn)化為一元二次方程去解決，一元二次方程問(wèn)題也可以通過(guò)類(lèi)比轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)去考慮.

如例1第(1)小題:首先不難想到要把線段OA、OB、OC的長(zhǎng)度表示出來(lái)，OA=|t|，OB、OC的長(zhǎng)我們會(huì)考慮先把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái)，怎樣求呢?可以用類(lèi)比的轉(zhuǎn)化思想，由二次函數(shù)y=-t(x-t)+b與x軸的交點(diǎn)想到求方程-t(x-t)2+b=0的兩根.

2.聯(lián)想轉(zhuǎn)化

平時(shí)我們經(jīng)常利用數(shù)形結(jié)合將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題等，其實(shí)這是一種聯(lián)想轉(zhuǎn)化.

如例2第(2)小題:判斷四邊形ABCD的形狀，因?yàn)閳D中有對(duì)角線AC、BD的連線，所以容易聯(lián)想到利用對(duì)角線的長(zhǎng)度、位置關(guān)系來(lái)判斷四邊形的形狀.

日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生把問(wèn)題轉(zhuǎn)化之后就能輕松解決，但往往對(duì)什么條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化?為什么會(huì)想到這樣去轉(zhuǎn)化?是學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化思想解二次函數(shù)題目的“瓶頸”所在.在教學(xué)中可以嘗試將問(wèn)題轉(zhuǎn)化條件、轉(zhuǎn)化結(jié)論和條件同時(shí)轉(zhuǎn)化來(lái)著手突破“瓶頸”.

1.轉(zhuǎn)化條件

有些條件看上去好像無(wú)法用，或者不能直接用，而實(shí)際上這些條件常常是這個(gè)思路的起點(diǎn)，因此我們要讓學(xué)生把這些條件轉(zhuǎn)化為問(wèn)題的實(shí)用條件.

如例1第(2)小題，條件AQ∥BC怎么用呢?結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)直線BC就是x軸，AQ∥BC實(shí)際上說(shuō)明Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為t.

2.轉(zhuǎn)化結(jié)論

有些問(wèn)題光憑條件可能無(wú)從著手，這種情況我們不妨轉(zhuǎn)化一下結(jié)論.

如例2第(2)小題，求ABC的面積，結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)實(shí)際只要求出底BD的長(zhǎng)即可，要求BD的長(zhǎng)關(guān)鍵是求出B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，要求D點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)該先求拋物線F1的解析式.因此以轉(zhuǎn)化結(jié)論作為突破口，比較容易想到該題的解題思路.

3.條件、結(jié)論同時(shí)轉(zhuǎn)化

有些問(wèn)題只轉(zhuǎn)化條件或只轉(zhuǎn)化結(jié)論往往都不能解決，這種情況我們可以條件、結(jié)論同時(shí)轉(zhuǎn)化.

如例2第(3)小題，直接做并不能一下子找到思路，這時(shí)不妨把已知條件轉(zhuǎn)化使問(wèn)題盡量簡(jiǎn)潔，也就是做到做不下去為止，可以先求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出拋物線F2的解析式，再求出B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，做到這里好像山窮水盡了.此時(shí)再去轉(zhuǎn)化結(jié)論，聯(lián)想第(1)(2)兩個(gè)小題的結(jié)論，把四邊形ABCD連起來(lái)，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)菱形，然后轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題去考慮，思路就很清楚了.

數(shù)學(xué)解題的過(guò)程是不斷轉(zhuǎn)化問(wèn)題的過(guò)程，不斷地把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題、把繁雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的過(guò)程，問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和相互之間的聯(lián)系，決定了處理這一問(wèn)題的方式、方法，因此教師在平時(shí)的教學(xué)中，要把學(xué)習(xí)內(nèi)容問(wèn)題化，要充分揭示問(wèn)題間的內(nèi)部聯(lián)系，正確引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，升華問(wèn)題轉(zhuǎn)化意識(shí)，發(fā)展問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力.

(責(zé)任編輯 金 鈴)