所謂數(shù)學(xué)概念的形成，是指學(xué)生依據(jù)直接經(jīng)驗(yàn)，從大量的具體例子出發(fā)，通過(guò)觀察、操作等活動(dòng)形成表象，并對(duì)表象進(jìn)行分析、歸納、抽象、概括，抽取出一類數(shù)量關(guān)系或空間形式的共同屬性，從而獲得初級(jí)概念，并把概念的本質(zhì)屬性推廣應(yīng)用到同類事物中的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程可以概括為“事例→表象→概念→應(yīng)用”。因?yàn)樾W(xué)生以形象思維為主，所以學(xué)具操作在抽象數(shù)學(xué)概念的形成中起著很重要的支撐作用。根據(jù)數(shù)學(xué)概念形成的階段性特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教師要引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作為概念的形成搭好以下幾個(gè)“支撐點(diǎn)”。

一、 概念的“感知”階段——在操作中“建立表象”

這一環(huán)節(jié)處在“事例→表象”階段，主要是運(yùn)用直觀性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念有一些初步的感性認(rèn)識(shí)。教師可以根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)，充分喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，有目的地給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)膶W(xué)具，并編擬相應(yīng)的“操作提綱”，讓學(xué)生圍繞提綱進(jìn)行有序的觀察與操作，感知具體事例，獲得感性認(rèn)識(shí)，建立反映事物本質(zhì)屬性的表象，為下一步深刻理解數(shù)學(xué)概念奠定基礎(chǔ)。具體可從以下兩方面入手。

1.在觀察中“豐富表象”

在學(xué)習(xí)新概念前，有目的地組織學(xué)生運(yùn)用概念對(duì)應(yīng)的學(xué)具進(jìn)行觀察，并提出思考性問(wèn)題，讓學(xué)生借助知覺(jué)，豐富感知性表象。例如，學(xué)習(xí)“體積”的概念時(shí)，教師給學(xué)生提供兩只同樣的玻璃杯(盛有一定量的水)，讓學(xué)生將兩個(gè)大小不同的石塊分別放入這兩只杯中，引導(dǎo)學(xué)生一邊操作一邊觀察:你發(fā)現(xiàn)了什么?并且思考:為什么放入的石塊較大，水面就升得高?從而讓學(xué)生獲得石塊占有空間的感性認(rèn)識(shí)。

2.在動(dòng)手中“形成表象”

小學(xué)生的表象形成經(jīng)常是從動(dòng)作開始的，通過(guò)親自動(dòng)手操作，借助動(dòng)作思維可以獲得鮮明的感知。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，要引導(dǎo)他們運(yùn)用學(xué)具進(jìn)行實(shí)際操作，促進(jìn)概念表象的形成。例如，學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”的概念時(shí)，教師給學(xué)生提供許多小棒，讓他們用小棒擺出各種各樣的長(zhǎng)方形，用手摸一摸這些長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，并說(shuō)說(shuō)這些長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)有什么共同的地方。學(xué)生在擺、摸、說(shuō)的過(guò)程中逐步形成了長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的表象:即長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就是圍成它的4根小棒長(zhǎng)度的和，從而為下一步探索長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法奠定了良好的表象基礎(chǔ)。

二、 概念的“理解”階段——在操作中“感悟內(nèi)涵”

這一環(huán)節(jié)處在“表象→概念”階段，主要是在學(xué)生通過(guò)感知活動(dòng)獲得感性知識(shí)進(jìn)而形成表象的基礎(chǔ)上，教師不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生將形成的表象進(jìn)行提煉、概括，通過(guò)分析比較它們的屬性，抽象出共同的本質(zhì)特征。該階段的重心是理解概念的“本質(zhì)內(nèi)涵”，由于小學(xué)生的抽象分析能力還不強(qiáng)，所以他們往往需要通過(guò)學(xué)具的操作來(lái)幫助理解概念的內(nèi)涵。當(dāng)然，此階段的動(dòng)手操作和第一階段有所不同，它帶有更多的“理性操作”成份，主要是為學(xué)生抽象數(shù)學(xué)概念的形成提供一個(gè)“直觀模型”，使他們能夠更容易、更深刻地理解概念。具體做法如下。

1.在操作中“體驗(yàn)含義”

如學(xué)習(xí)“余數(shù)”的概念，讓學(xué)生進(jìn)行“把7顆豆子分到3個(gè)盤子里”的操作。通過(guò)操作，學(xué)生找到了余數(shù)的“直觀模型”，明白了那個(gè)剩下來(lái)不夠再分的豆子數(shù)就是“余數(shù)”，并且體驗(yàn)到了“余數(shù)一定要比除數(shù)小”，否則每個(gè)盤子里至少還可以再分到一顆豆子，往盤子里放豆子的過(guò)程就是“試商”。接著，在學(xué)生用實(shí)物操作的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生脫離實(shí)物在頭腦里分豆子，運(yùn)用表象操作來(lái)體驗(yàn)“余數(shù)”的含義，最后通過(guò)符號(hào)操作得出:

7÷3=2……1。

2.在操作中“發(fā)現(xiàn)特征”

如學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方體的特征”，在學(xué)生明白了什么是“面、棱、頂點(diǎn)”后，給學(xué)生提供一組小棒(有接頭)和長(zhǎng)方形紙片等學(xué)具，讓他們以4人小組為單位，從提供的材料中選擇所需部分，通過(guò)“試驗(yàn)”、“篩選”等操作活動(dòng)，組裝成一個(gè)長(zhǎng)方體(有多種組裝法)，學(xué)生在討論、組裝的過(guò)程中逐漸發(fā)現(xiàn)了長(zhǎng)方體“面”的特征(面的形狀、大小、數(shù)量)，“棱”的特征(數(shù)量、長(zhǎng)短)和“頂點(diǎn)”的特征(數(shù)量)。

3.在操作中“概括本質(zhì)”

如學(xué)習(xí)“三角形的三邊關(guān)系”，教師給學(xué)生提供3厘米、4厘米、2厘米、8厘米長(zhǎng)的小棒若干根，讓學(xué)生從中選擇3根小棒拼成一個(gè)三角形。學(xué)生搭出了許多三角形，教師讓學(xué)生比較一下這些三角形中任意兩條邊的和與第三條邊的長(zhǎng)短關(guān)系。然后又讓學(xué)生選擇含有8厘米長(zhǎng)小棒的3根小棒來(lái)搭一搭三角形，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)，此時(shí)無(wú)論配上哪兩根小棒都搭不成三角形。通過(guò)這樣正反具體事例的操作后，教師引領(lǐng)學(xué)生及時(shí)概括出“三角形中任意兩邊之和大于第三邊”這一本質(zhì)屬性。

三、 概念的“應(yīng)用”階段——在操作中“拓展升華”

這一環(huán)節(jié)屬于“概念→應(yīng)用”階段，當(dāng)學(xué)生理解了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵獲得概念模型后，接下去又要從抽象回到具體中去，對(duì)概念進(jìn)行應(yīng)用拓展，在應(yīng)用中一方面借助正、反事例來(lái)檢驗(yàn)概念的外延，另一方面將概念推廣到同類事物中去，進(jìn)行聯(lián)系溝通，形成概念系統(tǒng)。為了能更好地將理性概念運(yùn)用到具體中去，還要充分發(fā)揮動(dòng)手操作的支撐作用，具體表現(xiàn)在以下兩方面。

1.在應(yīng)用性操作中檢驗(yàn)“概念外延”

例如，學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”，當(dāng)學(xué)生通過(guò)剪拼推導(dǎo)某一個(gè)三角形紙片，已經(jīng)獲得了“底×高=平行四邊形的面積”這一認(rèn)識(shí)后，教師抓住“底×高”的本質(zhì)內(nèi)涵，讓學(xué)生在應(yīng)用中去檢驗(yàn)是不是任意平行四邊形的面積都等于“底×高”。教師讓學(xué)生在釘子板上進(jìn)行操作，學(xué)生用橡皮筋圍出了各種形狀的平行四邊形，然后計(jì)算出“底×高”，并在釘子板上數(shù)出平行四邊形的面積，兩者進(jìn)行對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，只要是平行四邊形，不管是什么形狀，都可以用“底×高”來(lái)計(jì)算它的面積。并且在操作中還發(fā)現(xiàn):“等底等高”或者“底和高相乘的積相等”的平行四邊形的面積肯定相等，但形狀可以多種多樣。通過(guò)這樣的操作，學(xué)生對(duì)平行四邊形面積的內(nèi)涵和外延理解得更加深刻了。

2.在拓展性操作中形成“概念系統(tǒng)”

當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)了某一數(shù)學(xué)概念后，在練習(xí)或復(fù)習(xí)階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)貫通概念間的聯(lián)系，使孤立的概念整體化、系統(tǒng)化。例如，學(xué)習(xí)了“梯形”的概念后，教師給學(xué)生提供一組小棒練習(xí)，讓學(xué)生用這些小棒先搭出一個(gè)梯形，然后更換梯形中的某幾根小棒，使上底和下底一樣長(zhǎng)，從而轉(zhuǎn)化成一個(gè)平行四邊形，接著調(diào)整平行四邊形中小棒的角度，使它轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形，然后調(diào)整長(zhǎng)方形中代表長(zhǎng)和寬的小棒的長(zhǎng)度，使它成為一個(gè)正方形。在整個(gè)操作過(guò)程中，學(xué)生逐漸形成了“四邊形”的概念系統(tǒng):一個(gè)四邊形，當(dāng)只有一組對(duì)邊平行時(shí)，它是梯形;當(dāng)兩組對(duì)邊分別平行時(shí)，它是平行四邊形;當(dāng)四個(gè)角都是直角時(shí)，它是長(zhǎng)方形;當(dāng)四個(gè)角都是直角且四邊條都相等時(shí)，它是正方形。而且發(fā)現(xiàn)了“四邊形”家族成員之間既有相同點(diǎn)，也有不同點(diǎn)，它們互相聯(lián)系并且在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。

教學(xué)實(shí)踐證明:在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中充分發(fā)揮動(dòng)手操作的支撐作用，能使小學(xué)生降低獲得抽象概念的難度，對(duì)概念的發(fā)生與形成過(guò)程會(huì)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)概念的理解更加深刻到位，并使整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程顯得生動(dòng)活潑、新穎有趣，進(jìn)而大大提高了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的效率。

參考文獻(xiàn)

[1] 呂志明.小學(xué)生數(shù)學(xué)策略學(xué)習(xí)研究.北京:科學(xué)出版社，2004.

[2] 徐斌.推敲新課程課堂.南寧:廣西教育出版社，2006.

[3] 孔企平.小學(xué)兒童如何學(xué)數(shù)學(xué).上海:華東師范大學(xué)出版社，2001.

[4] 鄭毓信.建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育.上海:上海教育出版社，1998.

[5] 雷玲.聽名師講課.南寧:廣西教育出版社，2004.

[6] 袁中學(xué).最新小學(xué)數(shù)學(xué)典型教學(xué)案例.沈陽(yáng):白山出版社，2005.