摘 要:為了有效地提高評(píng)定空間直線(xiàn)度誤差的精度，運(yùn)用幾何學(xué)、誤差理論和最優(yōu)化原理，深入分析了LSM算法在空間直線(xiàn)度誤差評(píng)定中所存在的原理缺陷;并改進(jìn)了LSM算法，提出了改進(jìn)LSM算法的數(shù)學(xué)模型.對(duì)改進(jìn)LSM算法編制程序進(jìn)行了數(shù)字實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明:改進(jìn)LSM算法克服了LSM算法的原理缺陷，具有較高的精度.

關(guān)鍵詞:形位誤差;誤差評(píng)定;空間直線(xiàn)度誤差;LSM算法分析;改進(jìn)LSM算法

中圖分類(lèi)號(hào):TH161.12 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

Analysis and Improvement of the LSM Algorithm for Assessing Spatial Straightness Error

HU Zhong-xun， YANG Xu-jing，JIN Xiang-zhong

(National Engineering Research Center for High Efficiency Grinding， College of Mechanical and Vehicle Engineering， Hunan Univ， Changsha， Hunan 410082，China)

Abstract:Theoretical defects of the Least Squares Method (LSM) in the evaluation of the spatial straightness error was analyzed in detail with geometry， the theory of errors， and optimization principle so as to effectively boost the precision of the assessment of the spatial straightness error. The mathematical model of improved LSM algorithm was proposed after the LSM was modified. Finally， the improved LSM algorithm was programmed， and the corresponding numerical experiments were done. The experiment results have shown that the improved LSM algorithm has overcome the theoretical defects of LSM with higher accuracy.

Key words:geometric errors;error assessments;spatial straightness error;LSM algorithm analysis;improved LSM algorithm

隨著數(shù)字化制造與檢測(cè)技術(shù)的發(fā)展，機(jī)械制造零件的尺寸、形狀、位置等的精度要求越來(lái)越高;然而，形位誤差的評(píng)定理論和算法仍不完善，尤其是空間直線(xiàn)度誤差，作為一種最復(fù)雜的形狀誤差，其評(píng)定算法一直處于探索之中.

空間直線(xiàn)度誤差的評(píng)定算法主要有兩類(lèi).一類(lèi)是符合ISO或國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)^[1]規(guī)定的“最小條件”的精確算法，即“最小包容區(qū)域法”.但這類(lèi)算法的數(shù)學(xué)模型是非線(xiàn)性和不可微的，對(duì)其求解非常困難，因此，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)學(xué)理論、優(yōu)化方法或算法對(duì)此進(jìn)行了研究，如:基于柱面坐標(biāo)系的非線(xiàn)性模型^[2]，凸殼理論 [3]，改進(jìn)的遺傳算法^[4]，基于實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法 ^[5]，粒子群算法^[6]，坐標(biāo)變換原理^[7]，半無(wú)限線(xiàn)性規(guī)劃和基于單純形的算法^[8]，半有限規(guī)劃和內(nèi)點(diǎn)算法^[9]，平面化投影處理方法^[10]等等.雖然以上這些研究的算法各有其有效性，但仍不完善.另一類(lèi)是在生產(chǎn)實(shí)際中常用的近似算法，如:兩端點(diǎn)連線(xiàn)算法，最小二乘算法(Least Squares Method，LSM).其中，兩端點(diǎn)連線(xiàn)算法不穩(wěn)定，其評(píng)定結(jié)果有時(shí)較精確，有時(shí)卻有較大偏差.LSM算法具有一定的精度和魯棒性，是目前較實(shí)用的方法.在坐標(biāo)測(cè)量機(jī)CMM(Coordinate Measuring Machine)上的誤差評(píng)定系統(tǒng)中，都是采用LSM算法.但是，LSM算法存在較大的“不確定度”，因此，Zhu^[11]、王金星^[12]等對(duì)LSM算法的“不確定度”計(jì)算或LSM算法的改進(jìn)作了一些研究.但是，在現(xiàn)有對(duì)LSM算法的研究文獻(xiàn)[1112]中，本文作者認(rèn)為，對(duì)LSM算法的原理缺陷認(rèn)識(shí)還不夠，會(huì)嚴(yán)重影響到空間直線(xiàn)度誤差評(píng)定結(jié)果的有效性，甚至可能造成被檢零件的“誤收”或“誤廢”.

湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2010年

第2期胡仲勛等:LSM算法評(píng)定空間直線(xiàn)度誤差的分析與改進(jìn)

本文擬深入分析LSM算法及其缺陷，提出評(píng)定空間直線(xiàn)度誤差的改進(jìn)LSM算法，給出其數(shù)學(xué)模型，并用實(shí)例驗(yàn)證其效能，以期在評(píng)定空間直線(xiàn)度誤差中獲得較高的精度.

1 LSM算法及其缺陷分析

11LSM算法^{[1，11-12]}

如圖1所示，在三維直角坐標(biāo)系O-XYZ中，若有空間直線(xiàn)度誤差測(cè)點(diǎn)集R=

{Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n}，n為測(cè)點(diǎn)數(shù)目，設(shè)其最小二乘中線(xiàn)(即最小二乘擬合直線(xiàn))為L(zhǎng)S，則LS的方程為:

圖1 空間直線(xiàn)最小二乘擬合示意圖

Fig.1 Sketch map for least-squares fitting of spatial linex=b1+k1z，y=b2+k2z.

國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)^[1]規(guī)定:在評(píng)定任意方向上直線(xiàn)度誤差時(shí)，為包容實(shí)際直線(xiàn)，且軸線(xiàn)的方向與最小二乘中線(xiàn)LS平行(或重合)、并具有最小直徑的圓柱面，稱(chēng)為最小二乘中線(xiàn)包容圓柱面.該最小二乘中線(xiàn)包容圓柱面的直徑fL就是評(píng)定空間直線(xiàn)度的誤差值，即:

fL=2min (max (di)).(7)12 LSM算法的缺陷分析

根據(jù)圖2所示的空間直線(xiàn)最小二乘擬合的分析示意圖，若圖1中的最小二乘擬合直線(xiàn)LS對(duì)應(yīng)于圖2中的空間直線(xiàn)LS，則由圖2可知，A是LS與XOY平面的交點(diǎn);令式(1)中z=0，則可求出該交點(diǎn)的坐標(biāo)A(b1，b2，0).

圖2 空間直線(xiàn)最小二乘擬合的分析示意圖

Fig.2 Sketch map for analysis of least-squares

fitting of spatial line

分析圖1、圖2和式(1)～(6)可知:

1)初看起來(lái)，式(1)的第一式是圖2中平行于Y軸的平面AA1B1B的表達(dá)式，式(1)的第二式是圖2中平行于X軸的平面AA2B2B的表達(dá)式;式(1)表示的就是此兩個(gè)平面的交線(xiàn)AB(LS上的線(xiàn)段).但參照平面內(nèi)直線(xiàn)的最小二乘擬合公式^[1]，經(jīng)過(guò)深入分析發(fā)現(xiàn):式(1)的第一式和式(2)，(4)就是線(xiàn)段AB在XOZ平面內(nèi)投影A1B1的二維最小二乘擬合直線(xiàn)的表達(dá)式，式(1)的第二式和式(3)，(5)就是線(xiàn)段AB在YOZ平面內(nèi)投影A2B2的二維最小二乘擬合直線(xiàn)的表達(dá)式;但式(1)中缺少線(xiàn)段AB在XOY平面內(nèi)投影AB3的對(duì)應(yīng)表達(dá)式.這就表明:式(1)～(5)實(shí)際上是對(duì)一系列空間測(cè)點(diǎn)Pi向XOZ和YOZ平面內(nèi)作投影點(diǎn)P1i(xi，zi)和P2i(yi，zi)后，再分別在此兩平面內(nèi)對(duì)投影點(diǎn)作二維最小二乘擬合得出的.

2)式(6)是在XOZ平面內(nèi)，求出Pi的投影點(diǎn)P1i(xi，zi)與A1B1之間的偏差值(xi-b1-k1zi);同時(shí)，在YOZ平面內(nèi)，求出Pi的投影點(diǎn)P2i(yi，zi)與A2B2之間的偏差值(yi-b2-k2zi);再將此兩個(gè)偏差值按平方和再開(kāi)平方的方式合成后，作為測(cè)點(diǎn)Pi到擬合直線(xiàn)LS的距離di.因此，LSM算法是經(jīng)過(guò)“測(cè)點(diǎn)投影—平面擬合—合成”過(guò)程而求得式(6)di的，該算法不是真正的三維擬合算法.

3)由于空間直線(xiàn)LS通過(guò)點(diǎn)A(b1，b2，0)，若設(shè)其方向向量為(u，v，w)，則在三維空間中，LS的方程為:

x-b1u=y-b2v=zw.(8)

顯然，式(8)的等式中同除以w后可與式(1)等效.聯(lián)立式(1)和式(8)可求得此兩式的參數(shù)關(guān)系式為:

u=k1w，v=k2w.(9)

由于通過(guò)LSM算法的一組公式:式(1)～式(6)，無(wú)法求得w，當(dāng)然也無(wú)法確定u，v的值;因此，由LSM算法的一組公式無(wú)法直接精確擬合出式(8)的空間直線(xiàn)LS.

4)當(dāng)已知各測(cè)點(diǎn)Pi(xi，yi，zi)的坐標(biāo)值時(shí)，按LSM算法的計(jì)算值di如式(6)所示;然而，根據(jù)空間幾何學(xué)和誤差理論可知，測(cè)點(diǎn)Pi到LS的空間距離可作為測(cè)點(diǎn)Pi相對(duì)于LS的偏離程度的真值;由空間點(diǎn)的坐標(biāo)值xi，yi，zi和式(6)，(8)，(9)，按點(diǎn)到空間直線(xiàn)的距離公式可求得該真值di0為:

di0=[k2(xi-b1)-k1(yi-b2)]2+d2ik21+k22+1.(10)

根據(jù)誤差理論，比較式(6)與式(10)，并結(jié)合式(7)可知:LSM算法經(jīng)過(guò)“測(cè)點(diǎn)投影—平面擬合—合成”過(guò)程所形成的評(píng)定誤差Δi為:

Δi=2(di-di0).(11)

分析式(10)，(11)可知:只有在k11，和k21，且k2(xi-b1)≈k1(yi-b2)的特殊情況下，才有di0≈di，Δi≈0;但一般情況下，Δi≠0，其絕對(duì)值Δi也較大.

5)上述式(10)是在坐標(biāo)值xi，yi，zi具有相同的數(shù)量級(jí)時(shí)求得的.而在工程實(shí)際檢測(cè)中，常常有坐標(biāo)值xi，yi，zi具有不同數(shù)量級(jí)的情況，例如某組坐標(biāo)值xiG0，yiG0，ziG0，其中xiG0是yiG0和ziG0的G0(如:10，100，1 000，…)倍.則相對(duì)于具有相同數(shù)量級(jí)時(shí)的xi，yi，zi可設(shè):xiG0=G0xi，yiG0=yi，ziG0=zi;而且，根據(jù)式(2)～(5)可得:b1G0=G0b1，k1G0=G0k1;

b2G0=b2，k2G0=k2;將這些等式分別代入式(6)和式(10)，求得此時(shí)的計(jì)算值diG0和真值di0G0為:

diG0=G20(xi-b1-k1zi)2+(yi-b2-k2zi)2，(12)

di0G0=G20[k2(xi-b1)-k1(yi-b2)]2+d2iG0G20k21+k22+1.(13)

比較式(6)與(12)可知，diG0遠(yuǎn)大于di，diG0大約是di的G0倍;而比較式(10)與(13)可知，由于在式(13)根號(hào)內(nèi)的分子和分母中，都含有G20，因此di0G0與di0將是很接近的，即具有同一數(shù)量級(jí).這就表明，當(dāng)坐標(biāo)值xi，yi，zi具有不同的數(shù)量級(jí)時(shí)，在真值di0或di0G0的數(shù)量級(jí)基本不變的情況下，計(jì)算值diG0相對(duì)于di卻增大了約G0倍;同理，當(dāng)yi坐標(biāo)值是xi，zi坐標(biāo)值的G0倍時(shí)，結(jié)果也相同;即計(jì)算值會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重失真，因此，此時(shí)LSM算法的評(píng)定結(jié)果是無(wú)效的.

綜合上述1)~5)分析可知，LSM算法的原理缺陷是:LSM算法不是真正的三維擬合算法，實(shí)質(zhì)上只是一種二維平面內(nèi)最小二乘擬合的合成;同時(shí)，它不能直接精確擬合出空間直線(xiàn)LS.而且，當(dāng)坐標(biāo)值xi，yi，zi具有相同數(shù)量級(jí)時(shí)，用LSM算法評(píng)定空間直線(xiàn)度誤差的結(jié)果是有效的，但存在一定的“評(píng)定誤差Δi”;而當(dāng)坐標(biāo)值xi，yi，zi具有不同的數(shù)量級(jí)時(shí)，用LSM算法評(píng)定空間直線(xiàn)度誤差的結(jié)果是無(wú)效的.

2 改進(jìn)LSM算法的數(shù)學(xué)模型

由以上分析可知，LSM算法存在嚴(yán)重的原理缺陷，因此，有必要對(duì)其進(jìn)行改進(jìn).

對(duì)于空間直線(xiàn)度誤差的測(cè)點(diǎn)集R={Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n}，首先，由式(2)至式(5)計(jì)算出b1，b2，k1，k2的值，再對(duì)式(8)和式(9)的空間直線(xiàn)LS的方向數(shù)u，v，w進(jìn)行歸一化處理，即得:

u2+v2+w2=1.(14)

聯(lián)立求解式(9)和式(14)得:

w=1k21+k22+1，

u=k1w，

v=k2w.(15)

由式(15)即可確定式(8)的空間直線(xiàn)LS.因此，改進(jìn)的LSM算法能夠直接求出空間(擬合)直線(xiàn)LS.再根據(jù)空間點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算出各測(cè)點(diǎn)Pi(xi，yi，zi)至空間直線(xiàn)LS的距離dig為:

dig=

[v(xi-b1)-u(yi-b2)]2+[w(xi-b1)]-uzi]2+[w(yi-b2)-vzi]2u2+v2+w2.(16)

顯然，式(16)是測(cè)點(diǎn)Pi到空間直線(xiàn)LS的真實(shí)距離偏差，與式(10)的真值di0等同.因此，改進(jìn)LSM算法評(píng)定空間直線(xiàn)度的誤差fLg為:

fLg=2×min (max (dig)).(17)

所以，式(1)~(5)和式(15)~(17)的聯(lián)合即構(gòu)成改進(jìn)LSM算法的數(shù)學(xué)模型.

3 數(shù)字實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

根據(jù)上述對(duì)LSM算法的缺陷分析和所提出的改進(jìn)LSM算法的數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB7.0編制出空間直線(xiàn)度誤差的評(píng)定程序進(jìn)行數(shù)字實(shí)驗(yàn).

31 改進(jìn)LSM算法與LSM算法的比較

為便于比較和分析，下面引用文獻(xiàn)\\[310\\]的多組空間直線(xiàn)度誤差測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)字實(shí)驗(yàn)，分別按改進(jìn)LSM算法和LSM算法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表1所示.

表1 改進(jìn)LSM算法與LSM算法的比較

Tab.1 Comparisonofimproved LSMalgorithmwithLSM

相等注:對(duì)于LSM算法的計(jì)算結(jié)果，由于e等組測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)在原文獻(xiàn)中缺少LSM算法的計(jì)算結(jié)果，故筆者都采用按國(guó)標(biāo)^[1]中LSM算法編程計(jì)算得到的計(jì)算結(jié)果.A為L(zhǎng)SM算法評(píng)定的空間直線(xiàn)度誤差值，B為改進(jìn)LSM算法評(píng)定的空間直線(xiàn)度誤差值.

由表1可知:LSM算法由于采用了“測(cè)點(diǎn)投影—平面擬合—合成”的公式(6)來(lái)計(jì)算偏差di，因此，對(duì)坐標(biāo)值xi，yi，zi具有相同數(shù)量級(jí)的b，d，e 3組測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的評(píng)定結(jié)果是基本可信、有效的;而對(duì)坐標(biāo)值xi，yi，zi具有不同數(shù)量級(jí)的a，c兩組測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的評(píng)定結(jié)果則完全不可信，是無(wú)效的.然而，改進(jìn)LSM算法，由于采用了等同于式(10)真值di0的空間點(diǎn)到直線(xiàn)的真實(shí)距離偏差公式，即式(16)來(lái)計(jì)算偏差dig，因此，對(duì)各類(lèi)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的評(píng)定結(jié)果都是可信、正確和有效的.

針對(duì)各組測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)及評(píng)定結(jié)果作如下具體分析:

1)對(duì)于a組測(cè)點(diǎn)，xi坐標(biāo)值分別是yi，zi坐標(biāo)值的104倍，則按LSM算法評(píng)定的誤差值大約是按改進(jìn)LSM算法所得的誤差值的9 853倍，很接近104倍.這驗(yàn)證了式(6)與式(12)的比較分析，說(shuō)明應(yīng)用LSM算法評(píng)定這類(lèi)數(shù)據(jù)時(shí)，評(píng)定結(jié)果產(chǎn)生了嚴(yán)重失真.因此，Wen^[4]等將a組數(shù)據(jù)的X，Y，Z坐標(biāo)調(diào)換，使X與Y坐標(biāo)的長(zhǎng)度單位相同，得到b組數(shù)據(jù);才使得按LSM算法評(píng)定與按改進(jìn)LSM算法所得的誤差值相等，即不產(chǎn)生失真.

2)對(duì)于c組測(cè)點(diǎn)，xi坐標(biāo)值分別是yi，zi坐標(biāo)值的105倍，按LSM算法評(píng)定的誤差值大約是按改進(jìn)LSM算法所得的誤差值的39 255倍，接近4×104倍;雖然由于對(duì)不同的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，式(6)和式(12)中(xi-b1-k1zi)和(yi-b2-k2zi)的相對(duì)大小是不同的，從而引起其計(jì)算值diG0和di不同，以致偏離“105倍”較大;但仍然“大約”符合式(6)與式(12)的比較分析.

3)對(duì)于b，d，e 3組X與Y坐標(biāo)的長(zhǎng)度單位相同的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，按LSM算法評(píng)定的空間直線(xiàn)度誤差值稍大于或等于按改進(jìn)LSM算法所得的誤差值.此時(shí)，按LSM算法評(píng)定的誤差值是有效的，但存在一定的“評(píng)定誤差Δi”，符合上述式(10)，(11)的分析.

所以，在評(píng)定測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)值xi，yi，zi具有不同數(shù)量級(jí)的空間直線(xiàn)度誤差時(shí)，LSM算法的評(píng)定結(jié)果是嚴(yán)重失真、無(wú)效的，而改進(jìn)LSM算法對(duì)各類(lèi)空間直線(xiàn)度誤差測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的評(píng)定結(jié)果都是正確、有效的.改進(jìn)LSM算法比傳統(tǒng)的LSM算法具有更高的評(píng)定精度.

32 改進(jìn)LSM算法與其他算法的比較

為了對(duì)改進(jìn)LSM算法的效能作出客觀(guān)的比較和分析，下面與其他算法進(jìn)行比較，以驗(yàn)證改進(jìn)LSM算法的效能.

如表2所示，列出了對(duì)d，e兩組測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)運(yùn)用改進(jìn)LSM算法、兩端點(diǎn)連線(xiàn)算法以及相應(yīng)文獻(xiàn)算法評(píng)定的空間直線(xiàn)度誤差值.

表2 改進(jìn)LSM算法與其他算法的比較

Tab.2 Comparison of improved LSM algorithm with othersμm

比較表2的計(jì)算結(jié)果可知:改進(jìn)LSM算法評(píng)定的誤差值是最小的.

盡管文獻(xiàn)[56]分別是基于“最小區(qū)域法”的遺傳算法或粒子群算法，但其評(píng)定結(jié)果卻大于本文改進(jìn)LSM算法(近似算法)的評(píng)定結(jié)果;這表明文獻(xiàn)[56]的算法，沒(méi)有得到符合“最小區(qū)域”的全局最優(yōu)解，可能陷入“局部最優(yōu)”.而文獻(xiàn)[10]由于采用了平面化投影處理方法，存在較大的評(píng)定誤差，故其評(píng)定結(jié)果偏大.同時(shí)，也表明: 基于“最小區(qū)域法”的很多算法還不完善，仍然處于探索研究之中.

由形位誤差評(píng)定理論可知，采用近似算法評(píng)定的形位誤差值越小，則表明該算法的評(píng)定精度越高.因此，改進(jìn)LSM算法比兩端點(diǎn)連線(xiàn)算法以及相應(yīng)文獻(xiàn)^[56，10]的算法具有更高的評(píng)定精度.

綜合以上分析可得:改進(jìn)LSM算法是一種優(yōu)于LSM算法和其他一般算法的好算法，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值.

4 結(jié) 論

本文從理論上分析了傳統(tǒng)的LSM算法，揭示了LSM算法不是真正的三維擬合算法，不能直接精確擬合出空間直線(xiàn)LS，當(dāng)空間直線(xiàn)度誤差的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)值具有不同的數(shù)量級(jí)時(shí)，其評(píng)定結(jié)果存在嚴(yán)重失真.提出了“改進(jìn)LSM算法”的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其效能作了數(shù)字實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明:改進(jìn)LSM算法克服了LSM算法的原理缺陷，是評(píng)定空間直線(xiàn)度誤差的一種有效和精度較高的好算法;優(yōu)于LSM算法和其他一般算法，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值.參考文獻(xiàn)

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