方代正 ， 王貴成

（1. 江蘇大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2. 安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001）

弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)可由一個(gè)凸輪機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的間歇運(yùn)動(dòng)，也可將兩種以上凸輪組合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)許多復(fù)雜形式的轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)。它具有高速、重載、高精度、長(zhǎng)壽命、高效率、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)平穩(wěn)，傳遞轉(zhuǎn)矩大，動(dòng)力特性好等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用在食品、印染、印刷、包裝、沖壓、電子和機(jī)器人等機(jī)械中。目前對(duì)圓柱滾子和圓錐滾子的弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)研究較多，但以鋼球作為滾子的研究不常見(jiàn)，筆者將D-H 坐標(biāo)系引入該機(jī)構(gòu)，建立其數(shù)學(xué)模型，然后用Pro/E 進(jìn)行三維造型，為以后進(jìn)行加工、分析、仿真作好準(zhǔn)備。

1 基于D-H 坐標(biāo)建立嚙合方程

1.1 機(jī)構(gòu)工作原理

鋼球滾子弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)如圖1 所示，由凸輪軸，分度盤，鋼球，機(jī)座，環(huán)形軌道等組成。以凸輪軸為主動(dòng)輸入，凸輪軸與裝在從動(dòng)盤上的鋼球相嚙合，當(dāng)凸輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，便推動(dòng)鋼球滾動(dòng)，從而帶動(dòng)從動(dòng)盤轉(zhuǎn)動(dòng)[1-3]。

圖1 弧面凸輪鋼球式分度機(jī)構(gòu)原理圖

1.2 D-H 坐標(biāo)系簡(jiǎn)介

D-H 坐標(biāo)系由Denavit 和Hatenberg 提出，通常用來(lái)描述機(jī)械手的慣用坐標(biāo)。D-H 坐標(biāo)系規(guī)定： 在機(jī)械手的各個(gè)主要構(gòu)件上固定有坐標(biāo)系。坐標(biāo)系的Z 軸可取得與運(yùn)動(dòng)副的軸線重合，X 軸則沿著相鄰兩個(gè)Z 軸的公垂線，而Y 軸可由右手笛卡爾法則來(lái)確定。

Denavit 和Hatenberg 提出的機(jī)器人相鄰連桿間的位姿坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

其中 C、S 分別表示cos、sin。1nα?為從 1nz?到zn繞 xn?1旋轉(zhuǎn)的角度；dn為從 xn?1到 xn沿 zn方向的距離；nθ 為從 1nx?到nx 繞nz 旋轉(zhuǎn)的角度；αn?1為從 zn?1到 zn沿 xn?1方向的距離；將第n 關(guān) 節(jié)前的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換式相乘得到第n 關(guān)節(jié)相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換式

1.3 根據(jù)D-H法弧面分度凸輪輪廓和嚙合方程的建立

根據(jù)D-H 法可以建立弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系如圖2 所示，各參數(shù)意義說(shuō)明如下[4-6]：

圖2 D－H 坐標(biāo)系的建立

?f,ψf：球形滾子的工作曲面參數(shù)； lf：從動(dòng)件的回轉(zhuǎn)半徑；

θ1、 θ2：分別為凸輪和從動(dòng)件所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角；12,ω ω ：分別是凸輪和從動(dòng)件相應(yīng)的角速度。

根據(jù)圖中對(duì)應(yīng)的關(guān)系，易知球形滾子在從動(dòng)件坐標(biāo)系中的向量表達(dá)式為

根據(jù)上圖所建立的弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)體系，容易求得4 個(gè)坐標(biāo)系之間的相互變化矩陣，各齊次變換矩陣分別為式（4）～式（6）

將從動(dòng)件坐標(biāo)系中球形滾子的向量表達(dá)式通過(guò)坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換到凸輪坐標(biāo)系中，實(shí)際上得到弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)的曲面方程

其中

表達(dá)式中的滾子曲面參數(shù) ?f,ψf可以通過(guò)空間 嚙合條件進(jìn)行求解。

1.4 共軛接觸方程

根據(jù)空間嚙合條件式

將有關(guān)表達(dá)式代入式（9），計(jì)算并化簡(jiǎn)得到

基于微分幾何的相關(guān)理論，與嚙合點(diǎn)的切平面垂直的矢量稱為曲面在嚙合點(diǎn)的單位法向矢量，有

將式(10)和式(12)代入式(8)并整理得到

聯(lián)立式(7)和式(13)就可求解出空間凸輪嚙合接觸線的方程。

2 弧面凸輪的建模

現(xiàn)在三維造型軟件比較多，造型方法各異，常用的造型軟件有Pro/E 、UG、SolidWork等，即使同一種軟件造型過(guò)程不同其難易程度和精度也不一樣?；∶娣侄韧馆喌墓ぷ骼媸强臻g不可展曲面，其設(shè)計(jì)與制造都比較困難，因此，如果能在加工之前應(yīng)用軟件將弧面分度凸輪的三維模型制作出來(lái)，對(duì)其進(jìn)行仿真分析等，就可以驗(yàn)證設(shè)計(jì)過(guò)程是否正確，一旦設(shè)計(jì)有誤可以提前及時(shí)修改[7-10]。

已知實(shí)際條件：凸輪轉(zhuǎn)速n＝150r/min，連續(xù)旋轉(zhuǎn)，從動(dòng)盤上均布有8個(gè)滾子，中心距C=80mm，該弧面凸輪的運(yùn)動(dòng)規(guī)律采用的是修正正弦曲線。

通?；赑ro/E 利用文件生成高級(jí)曲面來(lái)創(chuàng)建弧面分度凸輪的三維模型采用以下兩種方法：

方法一：利用文件創(chuàng)建弧面分度凸輪曲面。根據(jù)弧面凸輪接觸方程和分度機(jī)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)利用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言自動(dòng)計(jì)算出凸輪輪廓表面一系列的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，再導(dǎo)入文本文件，通過(guò)文本文件的數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)建立弧面凸輪的曲面。

方法二：利用方程創(chuàng)建弧面分度凸輪曲面。根據(jù)凸輪曲線的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，隨參數(shù)的取值大小不同，在各段生成符合要求的一組曲線，將各段的曲線依次混合成曲面，再將各個(gè)曲面合并成一個(gè)曲面，最后將曲面實(shí)體化，生成所需要的弧面凸輪[8]。

以上兩種方法雖然能最終生成弧面凸輪實(shí)體，但計(jì)算工作量都比較大，而且最后精度與計(jì)算過(guò)程中所取的步長(zhǎng)直接有關(guān)。眾所周知，弧面凸輪的滾子形式常見(jiàn)的有圓柱滾子、圓錐滾子，鼓形滾子，球形滾子等，不論是哪種形式的滾子，都具有一個(gè)對(duì)稱面，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可看成始終沿著對(duì)稱面上的一條線進(jìn)行移動(dòng)，而球形滾子更為特殊，這條線就是經(jīng)過(guò)球心的中心線。在造型過(guò)程中充分利用這一特征可以使弧面凸輪的造型變得十分簡(jiǎn)便，而且精度高，其精度是有軟件自身運(yùn)行精度所決定，不受人為所取步長(zhǎng)的大小影響。具體操作步驟如下：

（1） 生成凸輪基體 由已知數(shù)據(jù)，可先計(jì)算出凸輪的基圓半徑和凸輪的寬度，利用旋轉(zhuǎn)工具生成凸輪基體，見(jiàn)圖3所示。

圖 3 凸輪基體

（2） 生成中心軌跡線 由于滾子形式是鋼球，其運(yùn)動(dòng)軌跡是半圓形環(huán)狀包絡(luò)線。通常情況下，隨著球的幾何參數(shù)取值不同，可形成一組曲線，然后由曲線混合成曲面。但也可以先生成中心線軌跡，利用混合掃描，沿著中心線軌跡也可以生成弧面凸輪。圓上任意相隔180°的兩點(diǎn)關(guān)于圓心是對(duì)稱的，因此，在選取球的角度參數(shù)時(shí)，任取相隔180°的角度參數(shù)生成關(guān)于中心線對(duì)稱的兩條線，而取平均值就會(huì)生成中心線軌跡。在生成過(guò)程中，中心線軌跡是分段曲線，可以逐段混合掃描去除材料，也可以將分段的中心線合并成一條曲線，最后再掃描，但這時(shí)會(huì)占用大量計(jì)算機(jī)內(nèi)存，運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)。見(jiàn)圖4所示。

圖 4 滾子中心線軌跡

（3） 利用混合掃描工具 繪制半圓形的截面，沿中心線軌跡切除材料，就可生成弧面凸輪輪廓面的三維模型，見(jiàn)圖5所示。

圖 5 沿中心線軌跡的混合掃描圖

（4） 對(duì)一些棱邊進(jìn)行倒角或倒圓處理 最終生成的弧面凸輪實(shí)體如圖6所示。

圖 6 弧面凸輪的三維模型

3 結(jié) 論

（1） 建立弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型的方法有多種，但復(fù)雜程度不一樣，文中利用D-H坐標(biāo)系來(lái)建立球形滾子弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，這與筆者之前采用的回轉(zhuǎn)張量法等其它方法得到的結(jié)果是一致的，但D-H 方法顯得更簡(jiǎn)單明了，減少了計(jì)算工作量。

（2） 在造型過(guò)程中要根據(jù)球形滾子的幾何特征，利用沿中心軌跡線混合掃描來(lái)生成弧面凸輪，比采用其它方法要簡(jiǎn)便得多，而且更精確、快速，從而為下一步利用數(shù)控加工進(jìn)行編程、對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和運(yùn)動(dòng)仿真奠定基礎(chǔ)，以便判斷所設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)的合理性。對(duì)其它形式的滾子，也可以采用類似的方法進(jìn)行造型。

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