包崇兵， 韓旭里

（中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083）

過(guò)渡曲面設(shè)計(jì)在CAD/CAM 中具有重要的地位。其目的是在相關(guān)曲面之間生成光滑的過(guò)渡曲面，在數(shù)學(xué)上，過(guò)渡曲面的構(gòu)造可以看作為如 下問(wèn)題：給定邊界為Ω? 的有界區(qū)域Ω，求解該區(qū)域上滿足給定邊界條件的曲面 ( , )u vX 。典型的邊界條件是以X 和它的一些導(dǎo)數(shù)在 Ω? 上的 值的形式給出，給定導(dǎo)數(shù)的階數(shù)取決于過(guò)渡曲面與原曲面的連續(xù)階。此外，在某些指定的意義下，對(duì)過(guò)渡曲面還可能有更進(jìn)一步的要求，如：光滑、不振蕩及與原實(shí)體不相交等。

PDE 幾何造型方法的思想就起源于將過(guò)渡曲面的構(gòu)造問(wèn)題看作一個(gè)偏微分方程的邊值問(wèn)題[1-7]，這種方法簡(jiǎn)單易行，只要選定原曲面上的過(guò)渡線并計(jì)算出過(guò)渡線處原曲面的跨界導(dǎo)矢，就可用PDE 方法構(gòu)造出所需要的過(guò)渡曲面，實(shí)際應(yīng)用中，通常在三維歐氏空間構(gòu)造一張曲面 X =X ( x ( u , v ), y ( u , v ), z ( u , v))表示曲面上的點(diǎn)，x = x ( u , v)是參數(shù) u ,v 的函數(shù)，參數(shù)( u , v )可以視作平面區(qū)域Ω 中的點(diǎn)。X 可以視作由Ω 到三維空間 R3中的映射 X : Ω →R3，當(dāng) u ,v 分別為常數(shù)時(shí)的v線，u 線就定義為曲面上的坐標(biāo)系。 到目前為止PDE 幾何造型方法主要針對(duì)調(diào)和方程和類(lèi)雙調(diào)和方程進(jìn)行研究。

Bloor 等人自20 世紀(jì)80 年代將PDE 方法作為一種曲面設(shè)計(jì)工具引入CAGD 領(lǐng)域以來(lái)，對(duì)PDE 方法的過(guò)渡曲面構(gòu)造進(jìn)行了大量的研究，使得該方法可以方便地構(gòu)造出大量實(shí)際問(wèn)題中的曲面實(shí)體。比如：船體、飛機(jī)外形、螺旋槳葉片等。國(guó)內(nèi)北京航空航天大學(xué)的朱心雄教授等對(duì)基于偏微分方程的曲面造型方法開(kāi)展了研究，并取得了一定的研究成果。然而，到目前為止用偏微分方程進(jìn)行曲面設(shè)計(jì)時(shí)，人們通常采用如下形式的類(lèi)調(diào)和方程：

二階偏微分方程

其中 Bloor 等的文獻(xiàn)以及國(guó)內(nèi)的一些文獻(xiàn)中， 通常將右端項(xiàng) ( , )f u v 取為零，而僅通過(guò)調(diào)節(jié)形 狀參數(shù)a 及邊界條件來(lái)達(dá)到調(diào)節(jié)生成曲面形狀的目的。文獻(xiàn)[1]、[2]中，討論了二階和四階偏微分方程在過(guò)渡曲面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，分別用解析解和數(shù)值解的方法進(jìn)行了求解，并討論了形狀參數(shù)a 對(duì)過(guò)渡曲面形狀的影響。

文獻(xiàn)[8]中討論了Helmholtz 方程的各種解析解的形式及其解的特性，大量文獻(xiàn)研究了 Helmholtz 方程的求解及其在機(jī)械工程、聲學(xué)、熱能、電磁學(xué)等方面的應(yīng)用。就目前還沒(méi)有看到有文獻(xiàn)將Helmholtz 方程應(yīng)用于幾何造型設(shè)計(jì)，因此本文給出了如下所示的橢圓型偏微分方程，對(duì)其在過(guò)渡曲面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，并討論了形狀控制參數(shù)對(duì)生成曲面形狀的影響。

Helmholtz 方程

及周期邊界條件

為了得到GC1連續(xù)的過(guò)渡曲面，將Helmholtz 方程進(jìn)行如下的擴(kuò)展，叫做bi-Helmholtz 方程

及周期邊界條件

其中 ( , )u vX 為所求曲面，求解區(qū)域Ω= {0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v≤ 2 π}， f0( v )和 f1( v)及0( )g v 和1( )g v 為給定的邊界曲線，0( )s v 和1( )s v 為對(duì)應(yīng)邊界曲線處的跨界導(dǎo)矢，A, B , C , D ,E 為給定的常數(shù)。

1 偏微分方程邊值問(wèn)題的差分解法

偏微分方程邊值問(wèn)題有諸多數(shù)值解法，如差分法、有限元法、邊界元法等，它們有各自的優(yōu)點(diǎn)和適用范圍，而差分方程最為簡(jiǎn)單、適用面廣、易于求解。

對(duì) 區(qū) 域 Ω= {0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v≤ 2 π}分割：將0 ≤ u≤ 1范圍內(nèi)的u 軸等分為m 段，每段的長(zhǎng)度為： Δu = 1/m；同理將v 軸分割成n段，每 段 長(zhǎng) 為： Δv = 2 π /n ，離 散 網(wǎng) 格 點(diǎn)( ui, vj), i =0,1, …, m , j =0,1, … ,n ，對(duì)方程（3）進(jìn)行離散化，其中 ( , )u vX 可以是 , ,x y z 中的任何一個(gè)分量。采用中心差分近似，以,i jX表示X ( u , v)在( ui, vj)處的值，對(duì) i =2, …, m?2, j = 2, … , n?2。由于

代入式（3）即得差分方程

在區(qū)域Ω 上共有( m ? 2) × ( n? 2)個(gè)內(nèi)點(diǎn)，因此可以建立( m ? 2) × ( n? 2)個(gè)方程。但是，當(dāng) m ,n 較大時(shí)，可以采用迭代方法解決這個(gè)問(wèn)題，迭代法首先把邊界條件變形為如下形式

其中

結(jié)合邊界點(diǎn)，可以得到

迭代算法需要迭代初值的先驗(yàn)知識(shí)，采用邊界值的平均作初值具有較好的效果，聯(lián)立（5）~（10)和周期邊界條件，可以得到問(wèn)題的數(shù)值解。分別對(duì) , ,x y z 分量求解即可構(gòu)造出所要曲面。

2 過(guò)渡曲面的構(gòu)造

用偏微分方程邊值的方法來(lái)構(gòu)造過(guò)渡曲面，其具體步驟如下：

（1） 首先根據(jù)過(guò)渡曲面與原曲面之間的連續(xù)階來(lái)確定合適的偏微分方程。例如：若考慮兩 曲面之間進(jìn)行0GC 拼接，可采用二階偏微分方 程

若兩曲面之間進(jìn)行 GC1拼接則需要四階偏微分方程

（2） 確定所需要的過(guò)渡曲線，把過(guò)渡曲線作為過(guò)渡曲面的邊界，然后根據(jù)偏微分方程的階數(shù)以及原曲面來(lái)確定應(yīng)采用什么樣的邊界條件以及邊界條件值。例如：對(duì)二階偏微分方程，可采用未知函數(shù)在邊界線上的值作為邊界條件；而對(duì)于四階偏微分方程，則采用未知函數(shù)在邊界線的值和一階偏導(dǎo)數(shù)值作為邊界條件。

（3） 通過(guò)解析方法或者數(shù)值方法求解偏微分方程來(lái)生成過(guò)渡曲面。

下面用實(shí)例來(lái)說(shuō)明如何通過(guò)求解偏微分方程來(lái)構(gòu)造所需的過(guò)渡曲面。

2.1 構(gòu)造GC 0 連續(xù)的過(guò)渡曲面

考慮( , )u v 平面上一個(gè)圓與其上方一個(gè)球面的 零 階 過(guò) 渡， 假 設(shè) ( u , v )在 區(qū) 域Ω = {0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v≤ 2 π}內(nèi)， ( x , y)平面上的圓以原點(diǎn)為圓心，半徑為R；球的半徑為 r，球心在 (0,0, z0)；取某與平面z = H (0 ≤ H ≤ z0)的交線為過(guò)渡線，則其邊界條件如下

選擇二階偏微分方程（11），其邊界條件由 式（13）給出，當(dāng)r =2, R=3,04z = , H=3, 通過(guò) 數(shù)值解的方法得到上述問(wèn)題的解，由于Helmholtz方程具有很好的光滑性，所得過(guò)渡曲面也將具有很好的光滑性。如圖1 所示：當(dāng)參數(shù)A 增大時(shí)，曲面的形狀由上往下向外部膨脹，當(dāng)參數(shù)B 增大的時(shí)候，曲面的形狀向內(nèi)部收縮，當(dāng)參數(shù)C 增大時(shí)，曲面的形狀由下往上向外部膨脹。因此，可以調(diào)節(jié)參數(shù) , ,A B C 來(lái)控制過(guò)渡曲面的形狀。

由上可知，不同的參數(shù)選取，曲面的形狀有著明顯的變化。在對(duì)過(guò)渡曲面的拼接處要求不是很高的時(shí)候，比如構(gòu)造上下兩個(gè)圓之間的過(guò)渡曲面時(shí)，選擇GC0連續(xù)有著簡(jiǎn)潔而計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)要對(duì)兩個(gè)曲面進(jìn)行光滑拼接時(shí)，就需要構(gòu)造GC1連續(xù)的過(guò)渡曲面。

圖1 過(guò)渡曲面

2.2 構(gòu)造GC1 連續(xù)的過(guò)渡曲面

用B樣條或Bézier方法構(gòu)造曲面之間的一階或二階過(guò)渡曲面，其控制頂點(diǎn)必須滿足一定的條件。而用PDE方法構(gòu)造一階連續(xù)的過(guò)渡曲面，則僅需給定過(guò)渡曲面在兩張?jiān)记嫔系倪吔缂翱缃鐚?dǎo)矢，為了得到GC1連續(xù)的過(guò)渡曲面，選擇四階的偏微分方程（12），并給出邊界條件和跨界導(dǎo)矢，而后求解偏微分方程即可。

2.2.1 圓柱面和平面上一圓的一階過(guò)渡

要求在一個(gè)圓柱面和一個(gè)圓之間構(gòu)造一階連續(xù)的過(guò)渡曲面，圓所在平面的法矢與圓柱的軸不平行。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)圓柱的軸為x 軸，其半徑為r。取圓柱面與平面z H= 的截線為過(guò)渡線 之一，另一過(guò)渡線取球面 x2+ y2+ z2=R2與平面z Cy= 的交線。則可得邊界條件和邊界切矢 如下

使用方程四階偏微分方程

通過(guò)數(shù)值解的方法可以得到問(wèn)題的解，當(dāng)r=2, H=4, R=2, C=2, s=-2 時(shí)，所得曲面如圖2 所示。

圖2 圓柱面斜切面和平面上一圓的GC1 過(guò)渡

2.2.2 平面上一圓與其上方一個(gè)球面的一階過(guò)渡

在2.1 節(jié)中討論了( , )u v 平面上一個(gè)圓與其上 方一個(gè)球面的零階過(guò)渡，本節(jié)在給出上述邊界條件的基礎(chǔ)上，再給出跨界切矢

選擇四階的偏微分方程（ 12 ）， 當(dāng)r = 2, R = 3, z0= 4, H = 3時(shí)，可得一階過(guò)渡曲面如圖3 所示。

3 曲面形狀控制

通過(guò)調(diào)整邊界條件中的切矢的大小和方向及方程中的系數(shù)，可以控制曲面的整體形狀，這種控制不是局部控制，因而不影響曲面的整體美觀性，不過(guò)由于采用了數(shù)值解法，邊界控制就更加靈活了，在2.1 節(jié)中重點(diǎn)討論了方程中的系數(shù)對(duì)曲面形狀的影響，本節(jié)以一個(gè)簡(jiǎn)明的例子對(duì)控制方法加以說(shuō)明。

構(gòu)造通過(guò)圓心分別為（0，0，0）和（0，0，8），平行于xy 平面的兩個(gè)圓的過(guò)渡曲面，經(jīng)適當(dāng)參數(shù)化后可得邊界條件

若 r = R= 0，則所構(gòu)造曲面即是兩個(gè)圓之間的過(guò)渡曲面，其他情況是構(gòu)造自由曲面，本例用以 說(shuō)明邊界條件對(duì)曲面形狀的影響，通過(guò)調(diào)整,r R 而得到不同形狀的帶狀曲面。如圖4 所示。

4 結(jié) 論

本文闡述了二階和四階Helmholtz 方程的一類(lèi)周期邊界問(wèn)題的差分解法及其在過(guò)渡曲面設(shè) 計(jì)中的應(yīng)用，它不同于傳統(tǒng)的PDE 方法中的二階和四階的偏微分方程，比傳統(tǒng)的二階和四階偏微分方程有了更多的自由項(xiàng)。因此，在曲面設(shè)計(jì)的時(shí)候，就有更多的形狀控制參數(shù)可進(jìn)行調(diào)整，文中重點(diǎn)討論了方程中的系數(shù)對(duì)曲面形狀的影響。當(dāng)對(duì)曲面的拼接要求不是很高的時(shí)候，可以用二階Helmholtz 方程構(gòu)造GC0連續(xù)的過(guò)渡曲面，有著形式簡(jiǎn)潔而計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)，而當(dāng)需要對(duì)曲面進(jìn)行光滑拼接的時(shí)候，則可以用四階的bi-Helmholtz 方程構(gòu)造GC1連續(xù)的過(guò)渡曲面。并簡(jiǎn)要說(shuō)明了邊界切矢條件對(duì)曲面形狀的影響及其在曲面形狀設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，由于采用數(shù)值解法，可以構(gòu)造較為復(fù)雜的曲面，曲面設(shè)計(jì)也較為直觀。設(shè)計(jì)者只需要給出邊界曲線和邊界切矢并通過(guò)控制邊界曲線和邊界切矢以便構(gòu)造和修改曲面形狀。

圖3 平面上一個(gè)圓與其上方一個(gè)球面的GC1 過(guò)渡

圖4 相同邊界不同切矢的不同的GC1 過(guò)渡曲面

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