張政武

（陜西理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，陜西 漢中 723003）

計(jì)算機(jī)視覺的基本目的之一就是通過分析景物的一幅或多幅圖像來揭示景物的本質(zhì)特征。由于在投影過程中，三維景物的空間關(guān)系、物理性質(zhì)以及表面的物理特性在二維圖像中綜合為圖像點(diǎn)的灰度值，因此，在得到二維圖像的過程中丟失了景物的深度信息，正是由于要恢復(fù)這種丟失的深度信息便組成了計(jì)算機(jī)視覺研究的核心問題——從景物圖像或序列圖像恢復(fù)三維景物的形狀、位置、運(yùn)動(dòng)等物理特征。

將二次曲線作為一個(gè)重要的基本要素來實(shí)現(xiàn)對(duì)三維場(chǎng)景的理解和識(shí)別是計(jì)算機(jī)視覺研究的一個(gè)重要的領(lǐng)域。近幾年來，研究人員在這方面做了大量的工作，在圍繞著二次曲線計(jì)算方法的研究方面取得了不少的成績(jī)[1-6]。文獻(xiàn)[1]通過對(duì)多幅圖像中二次曲線上多個(gè)點(diǎn)的檢測(cè)來求解二次曲線；文獻(xiàn)[2]中通過對(duì)二次曲線上不同直線的檢測(cè)來實(shí)現(xiàn)對(duì)二次曲線的恢復(fù)；文獻(xiàn)[3]利用幾何代數(shù)來表示二次曲線，通過求解兩個(gè)不同點(diǎn)上線束的對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)推導(dǎo)出二次曲線的幾何積的表達(dá)形式；文獻(xiàn)[4]、[5]是將一條二次曲線表示為P5射影空間中的一個(gè)點(diǎn)或者一個(gè)稱為二次曲線矢量的六維矢量，然后通過一個(gè)6×6的射影變換矩陣推導(dǎo)出了從一個(gè)給定的二次曲線基變換為點(diǎn)基的線性算法和兩幅圖像對(duì)應(yīng)的約束條件，實(shí)現(xiàn)了對(duì)物體的識(shí)別；文獻(xiàn)[6]提出一種二次曲線的整體表示法，即給出了空間二次曲線和平面二次曲線的坐標(biāo)表示法，該坐標(biāo)是由不全為零的9個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組，建立了基于動(dòng)態(tài)灰度圖像和基于序列灰度圖像的二次曲線光流的概念。上述方法,總的來說是利用點(diǎn)、直線坐標(biāo)或是利用矢量運(yùn)算來對(duì)二次曲線進(jìn)行檢測(cè)和識(shí)別，在實(shí)際情況中，由于圖像數(shù)據(jù)存在噪聲，通常需要利用迭代法以求解多元方程組的最優(yōu)解，這就存在迭代法不收斂或收斂到一個(gè)局部而非全局的最優(yōu)解的可能性。本文從實(shí)際計(jì)算的角度出發(fā)，將一條二次曲線表示成一個(gè)空間錐面和一個(gè)平面的交線，利用兩個(gè)二次曲面的基曲線推導(dǎo)出二次曲線重建的對(duì)應(yīng)條件，在此基礎(chǔ)上，給出了空間二次曲線射影重建的計(jì)算方法，最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明該算法實(shí)用、可靠。

1 空間二次曲線的射影重建

1.1 空間二次曲線

射影空間中點(diǎn)和平面互為對(duì)偶，因此平面二次曲線的空間對(duì)偶就是錐面，同時(shí)二次曲線是一 個(gè)秩為3的二次包絡(luò)[7]。設(shè)錐面為T0=x Qx （Q是 4× 4的對(duì)稱矩陣），空間平面為π = pTx =0， 當(dāng)用平面坐標(biāo)代替點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，二次曲線的平面方程能夠表示成一個(gè)空間錐面和一個(gè)平面的交線

其中 平面 u=( u1, u2, u3,u4)T是變平面。

1.2 空間二次曲線的射影重建

設(shè)雙目立體視覺中兩個(gè)攝像機(jī)的投影矩陣分別為P 和P′，射影重建是指確定這對(duì)射影矩陣P 和P′之間的射影變換，因此就要在射影空間中研究二次曲線重建的內(nèi)部特征。

假設(shè)給定兩幅圖像中的一對(duì)對(duì)應(yīng)二次曲線

對(duì)空間二次曲線進(jìn)行射影重建就是要尋找空間中的一條二次曲線，該二次曲線分別被投影為C 和C′。由上述分析知道，空間一條二次曲線能夠表示成一個(gè)空間錐面和一個(gè)平面的交線，因此對(duì)于空間二次曲面的射影重建問題就是要根據(jù)該二次曲線的圖像來確定空間錐面和該平面的方程。

定理1設(shè)攝像機(jī)的投影矩陣分別為P 、P′，則連接攝像機(jī)中心O、O′和圖像中對(duì)應(yīng)的 二次曲線C 和C′的錐面方程Q 和Q′分別是

證 明將對(duì)應(yīng)于兩個(gè)攝像機(jī)的投影方程分別代入二次曲線的二次型方程便可得到式(2)。式(2)表示如果空間點(diǎn)x 的投影位于圖像二次曲線C （或C′）上，則x 滿足式(2)，而且任何位于由O 和C 組成的錐面（或O′和C′組成的錐面）上的點(diǎn)的投影都位于C （或C′）上，因此 式(2)分別為Q 和Q′的錐面方程。

考慮二次曲面束 Q + λQ ′=0，對(duì)于每一個(gè)λ 的值，方程 Q + λQ ′=0表示一個(gè)二次曲面，該曲面通過Q 和Q′所有的公共點(diǎn)。該曲面束中的所有二次曲面的公共點(diǎn)組成一條曲線，該曲線是Q 和Q′交線，并且這條曲線就是該曲面束的 基曲線。兩個(gè)二次曲面的基曲線一般是一條四次曲線。在本文中，重建約束就是限定這對(duì)對(duì)應(yīng)的錐面在空間的交線是一條二次曲線。

由于空間的這條二次曲線是基曲線的一部分，因此束的基曲線就被分為兩部分，其中的一部分就是空間的這條二次曲線，同時(shí)另外一部分也是一條二次曲線。由于一對(duì)平面可以被看作秩為2 的退化的二次曲面，這對(duì)退化的二次曲面就組成了一對(duì)屬于二次曲面束中的一對(duì)平面。所以，從兩個(gè)圖像中重建空間二次曲線就等同于尋 找一個(gè)λ，使得λ 矩陣 C (λ ) = A+λB的秩為2，此時(shí)， xTAx =0和 xTBx =0就是對(duì)應(yīng)于空間二 次曲線的錐面。

1.3 射影重建的對(duì)應(yīng)條件

命題1 對(duì)于一對(duì)對(duì)應(yīng)二次曲線存在兩個(gè)獨(dú)立的多項(xiàng)式條件。

證 明一個(gè)4×4 的對(duì)稱矩陣有10－1＝9個(gè)自由度，這樣一個(gè)矩陣束就有9－1＝8 個(gè)自由度；同時(shí)，一個(gè)秩為2 的4 階對(duì)稱矩陣有6 個(gè)自由度，于是對(duì)于一對(duì)對(duì)應(yīng)二次曲線就有8－6＝2個(gè)獨(dú)立條件。

現(xiàn)在推導(dǎo)這兩個(gè)多項(xiàng)式條件。

考慮λ 矩陣 C (λ ) = A+λB的特征多項(xiàng)式

由于 ( )λC 是一個(gè)4×4 的是對(duì)稱矩陣，要使 得它的秩為2，必須有兩個(gè)不同的非零特征值和兩個(gè)零特征值，因此對(duì)應(yīng)條件應(yīng)滿足

根據(jù)定義， a4( λ )是 C (λ )的行列式，這樣a4( λ )就是矩陣束 A + λB的特征多項(xiàng)式，并且

一般情況下， a4( λ )= 0有四個(gè)根，每一個(gè) 根是束中的一個(gè)特征值，并且對(duì)應(yīng)于束中一個(gè)矩陣，其中兩個(gè)特征值分別是 0=λ 和 ∞=λ ，它們分別對(duì)應(yīng)于矩陣A 和B，其余兩個(gè)特征值是下面二次方程的兩個(gè)根。

為了在束中有一個(gè)秩為2 的矩陣，則必須至少有一個(gè)二重特征值，因此式（5）必須有兩個(gè)相等的根，即

這就是第一個(gè)對(duì)應(yīng)條件。

當(dāng) a4(λ )= 0的條件被確定之后，下面推導(dǎo)a3( λ )= 0的對(duì)應(yīng)條件， a3( λ )是λ 的一個(gè)三次多項(xiàng)式，它可以寫為

其中ij 是由矩陣A、B 個(gè)元素組成的多項(xiàng)式。

第二個(gè)對(duì)應(yīng)條件通過將 a3( λ )、a4(λ )兩個(gè) 方程聯(lián)立起來求解λ，再利用 0=Δ 則很容易得到下面的第二個(gè)對(duì)應(yīng)條件

因此，一對(duì)對(duì)應(yīng)二次曲線的兩個(gè)多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)條件分別是式（6）和式（7）。

1.4 射影重建的計(jì)算方法

1.4.1 退化的二次曲面

因?yàn)榉匠蹋?）有兩個(gè)相等的根，所以兩個(gè)相等的特征值可直接求得，其中

而退化的二次曲面的矩陣 BAC λ+= 。

1.4.2 求解平面對(duì)

利用式（7）將矩陣 ( )λC 的特征多項(xiàng)式（3），可以化簡(jiǎn)為

其中兩個(gè)非零特征值1μ 和2μ 是下面二次方程的根

因?yàn)镃 是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，因此存在一個(gè)變換矩陣T ，可以將矩陣C 轉(zhuǎn)化成一個(gè)對(duì)角矩陣

相應(yīng)地將 x = Tx′代入 x′Tdiag ( μ1, μ2,0,0) x′ =0 中，二次曲面 xTCx =0變換為

顯然，為了得到實(shí)平面，必須使

設(shè) 21,vv 分別是矩陣C 的特征值 21,μμ 對(duì)應(yīng)的特征向量，則平面對(duì)≡x = 0, i =1,2在原始坐標(biāo)系下的方程為

1.4.3 計(jì)算步驟

（1） 選擇對(duì)應(yīng)的二次曲線對(duì)

第一步 對(duì)于每一對(duì)二次曲線 iC 和 jC′，組成 錐 面 A = PTCiP 和 B = P ′TCiP ′，計(jì) 算I2, I3,I4和 Δi,j；

第二步 在兩幅圖像所有可能的二次曲線 對(duì)中選擇 ji,Δ 絕對(duì)值最小的像對(duì)作為可能對(duì)應(yīng)的 二次曲線對(duì)；

（2） 射影重建

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在本文實(shí)驗(yàn)中，使用雙目成像獲得杯子和盤子的兩幅圖像，如圖1 所示。

實(shí)驗(yàn)中的物體共有三條二次曲線，分別是杯子的杯口圓、盤子的外圓和內(nèi)圓。首先對(duì)原始圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)和二次曲線的匹配，匹配后的二次曲線見圖2。

圖1 實(shí)驗(yàn)中的原始圖像

圖2 圖像中的三條二次曲線的匹配

對(duì)于兩幅圖像中的每一對(duì)二次曲線計(jì)算Δ，計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 計(jì)算兩幅圖像中的每一對(duì)二次曲線Δ

空間二次曲線重建結(jié)果見表2。

表2 空間二次曲線的重建

利用本文中的計(jì)算方法求出了空間二次曲線所在的平面對(duì)，而實(shí)際杯口圓、盤子內(nèi)圓、盤子外圓所在的平面是計(jì)算結(jié)果中平面對(duì)中的第一個(gè)平面，具體判斷還要利用其它條件，在此不再深入討論。

通過對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析可知，杯口圓和盤子外圓高度差是4.97cm，盤子外圓與內(nèi)圓的高度差是0.787cm；實(shí)際通過測(cè)量，杯口圓、盤子外圓、盤子內(nèi)圓距地面的高度分別是8.5cm、3.0cm、2.3cm，也就是說杯口圓和盤子外圓實(shí)際高度差是5cm，盤子外圓與內(nèi)圓的實(shí)際高度差是0.7cm，所以計(jì)算結(jié)果和實(shí)際相符。

3 結(jié) 論

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