王洪欣， 李愛(ài)軍

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

行星輪上點(diǎn)的軌跡圖形存在周期與非周期、對(duì)稱與非對(duì)稱、尖點(diǎn)與鮑爾點(diǎn)、重結(jié)點(diǎn)與異結(jié)點(diǎn)的形態(tài)，已在實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確直線、近似直邊正多邊形零件的加工[1]、新型泵的研制[2]、高階停歇機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)[2-3]與規(guī)則圖案的設(shè)計(jì)上得到了應(yīng)用。然而，由于行星輪上點(diǎn)的軌跡方程是多變量的參數(shù)方程，行星輪上點(diǎn)的軌跡形態(tài)很難從直觀上得到確定，從而限制了行星輪系在新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)上的進(jìn)一步應(yīng)用。為此，本文從理論與圖形可視化上對(duì)行星輪上點(diǎn)的軌跡圖形進(jìn)行分類，以便為行星輪系的廣泛應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

1 外行星輪上點(diǎn)的軌跡圖形

外行星輪系如圖1 所示，外行星輪2 位于固定外齒輪3 的外部（定義符號(hào)函數(shù)H＝-1），外行星輪2'位于固定內(nèi)齒輪3'的內(nèi)部（定義符號(hào)函數(shù)H=+1），設(shè)外行星輪2、2'的節(jié)圓半徑都為r2，固定齒輪3、3'的節(jié)圓半徑等為r3，定義k=r3/r2＞1，于是，主動(dòng)件1 的長(zhǎng)度a1=O1O2=r3-Hr2= r2(k-H)。設(shè)主動(dòng)件1 的角位移為φ、行星輪2 的角位移為δ-π，于是，行星輪系的傳動(dòng)比為

為此，外行星輪2 與主動(dòng)件1 之間的轉(zhuǎn)角關(guān)系為δ＝π＋(1－Hk)φ。

圖1 外行星輪上點(diǎn)的軌跡圖形

設(shè)外行星輪上的一點(diǎn)P 到其幾何中心O2的長(zhǎng)度為b，于是，外行星輪上P 點(diǎn)的軌跡坐標(biāo)xP、yP分別為

式（3）是行星輪上點(diǎn)軌跡圖形分類的等式幾何關(guān)系。當(dāng)b=r2(k-H)/(1-Hk)2時(shí)，P 點(diǎn)的軌跡與xP=r2(k-H)-b 的直線達(dá)到3 階相切，即在φ=0的位置，P 點(diǎn)的軌跡具有一段近似直線，該點(diǎn)稱為鮑爾點(diǎn)。當(dāng)k=4、H=+1 時(shí)，P 點(diǎn)的軌跡圖形 如圖1 中的所示；當(dāng)k=5、H=-1 時(shí)，P 點(diǎn)的軌跡圖形如圖1 中的所示。

1.1 規(guī)則多邊形

當(dāng)H=-1 時(shí)，主動(dòng)件轉(zhuǎn)1 圈，k 取大于等于3的正整數(shù)，不失一般性，取k=5，若b=r2/(1+k)，則得到一類弧角近似直邊的正五邊形，如圖1 中 的所示；當(dāng)r2/(1+k)＜b＜r2時(shí)，得到一類外凸 的規(guī)則五邊形，如圖2(a)所示；當(dāng)b=r2時(shí)，得到一類外凸尖角規(guī)則五邊形；當(dāng)b＞r2時(shí)，得到一類帶有結(jié)點(diǎn)的外凸規(guī)則五邊形，如圖2(b)所示。

當(dāng)H=+1 時(shí)，規(guī)則五邊形的邊的凸向與H=-1時(shí)的相反，其余的特征相同。

圖2 外嚙合行星輪上點(diǎn)的軌跡圖形

1.2 規(guī)則多角形

當(dāng)H=+1 時(shí)，若b=r2/(k-1)，將k 表達(dá)為兩個(gè)不可約的正整數(shù)N、M 之商的形式，即k=N/M，M≥2，則主動(dòng)件轉(zhuǎn)M 圈，得到一類弧角近似直邊的正N 角形。當(dāng)k=N/M=5/2，b=r2/(k-1)時(shí)，得到弧角近似直邊的正五角形，如圖3(a)所示；當(dāng)r2/(k-1)＜b＜r2時(shí)，得到外凹的規(guī)則正五角形；當(dāng)b=r2時(shí)，得到外凹尖角的規(guī)則五角形，如圖3(b)所示；當(dāng)r2＜b＜a1或b＞a1時(shí)，得到帶有結(jié)點(diǎn)的外凹規(guī)則五角形，如圖3(c)所示；當(dāng)b=a1時(shí)，得到重結(jié)點(diǎn)的五葉玫瑰形，如圖3(d)所示。當(dāng)k 取π 或其他無(wú)理數(shù)時(shí)，得到無(wú)限不循環(huán)多角形。

當(dāng)H=-1 時(shí)，主要表現(xiàn)為環(huán)狀相鄰纏繞形。

圖3 內(nèi)嚙合行星輪上點(diǎn)的軌跡圖形

2 內(nèi)行星輪上點(diǎn)的軌跡圖形

內(nèi)行星輪系如圖4 所示，內(nèi)行星輪2 與固定外齒輪3 形成內(nèi)嚙合，設(shè)主動(dòng)件1 的角位移為φ，行星輪2 的角位移為δ-π，固定外齒輪3 的節(jié)圓半徑為r3，內(nèi)行星輪2 的節(jié)圓半徑為r2，定義k=r3/r2＜1，該行星輪系的傳動(dòng)比為

于是，內(nèi)行星輪2 與主動(dòng)件1 之間的轉(zhuǎn)角關(guān)系為δ=π+(1-k)φ。

設(shè)內(nèi)行星輪2 上的一點(diǎn)P 到其幾何中心O2的距離為b，P 點(diǎn)的軌跡方程為

與第一節(jié)的研究方法相同，當(dāng)b=r2/(1-k)時(shí)，P 點(diǎn)的軌跡在φ=0 的位置具有一段近似直線。當(dāng)k=r3/r2=1/5 時(shí)，P 點(diǎn)的一條連續(xù)軌跡圖形如圖4所示，內(nèi)行星輪2 公轉(zhuǎn)4 圈，自轉(zhuǎn)1 圈，圖中的(1)、(2)、(3)與(4)分別表示行星輪2 公轉(zhuǎn)1～4 圈對(duì)應(yīng)的軌跡，箭頭表示P 點(diǎn)行進(jìn)的方向；當(dāng)k=r3/r2=2/5 時(shí)，P 點(diǎn)的一條連續(xù)軌跡圖形如圖5所示，行星輪2 公轉(zhuǎn)3 圈，自轉(zhuǎn)2 圈，圖中的(1)、(2)與(3)分別表示行星輪2 公轉(zhuǎn)1～3 圈對(duì)應(yīng)的軌跡，箭頭表示P 點(diǎn)行進(jìn)的方向。該類圖形的主要幾何特征為先擴(kuò)張后收縮的螺旋形。

圖4 k＝1/5 時(shí)內(nèi)行星輪上點(diǎn)的軌跡圖形

圖5 k＝2/5 時(shí)內(nèi)行星輪上點(diǎn)的軌跡圖形

3 行星輪上點(diǎn)軌跡圖形的應(yīng)用

在圖1 中，若在外行星輪2'的P 點(diǎn)以轉(zhuǎn)動(dòng)副安裝一個(gè)滑塊4，構(gòu)件5 與滑塊4、機(jī)架3 分別組成相互垂直的移動(dòng)副，構(gòu)件5 的運(yùn)動(dòng)方向平行于x 軸，于是，得到一個(gè)外行星輪驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)從動(dòng)件平面五桿機(jī)構(gòu)，如圖 6 所示。只要b=r2(k-H)/(1-Hk)2，當(dāng)k 取奇數(shù)時(shí)，則構(gòu)件5 在位移的一端作直到3 階的停歇；當(dāng)k 取偶數(shù)時(shí)，則構(gòu)件5 在位移的兩端作直到3 階的停歇。當(dāng) k=3、b＝r2/2 時(shí)，P 點(diǎn)的軌跡如圖6 中的所示，構(gòu)件5 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖7 所示；當(dāng)k=4、b=r2/3時(shí)，P 點(diǎn)的軌跡如圖6 中的所示，構(gòu)件5 的 運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖8 所示。當(dāng)k 取奇數(shù)時(shí)，利用行星輪上點(diǎn)的軌跡還可以設(shè)計(jì)出擺動(dòng)從動(dòng)件在位移一端或兩端作直到5 階停歇的五桿機(jī)構(gòu)[4]。若直接利用P 點(diǎn)的軌跡，則可以生成有規(guī)則或無(wú)規(guī)則、單色或多色的圖案（在VB 程序中通過(guò)顏色函數(shù)實(shí)現(xiàn)）；當(dāng)在P 點(diǎn)安裝刀具時(shí)，還可以加工出曲邊正多邊形零件等。

圖6 外行星輪驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)從動(dòng)件平面五桿機(jī)構(gòu)

圖7 k＝3, b＝r2/2 時(shí)外行星輪驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)

圖8 k＝4, b＝r2/3 時(shí)外行星輪驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)

基于圖4 以及前面的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，同樣可以得到一個(gè)內(nèi)行星輪驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)從動(dòng)件平面五桿機(jī)構(gòu)。只要b=r2/(1-k)，則移動(dòng)從動(dòng)件具有多個(gè)行程而且在位移的一端或兩端作直到3 階的停歇，當(dāng)k=2/5、b=r2/(1-k)時(shí)，移動(dòng)從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖9 所示。

圖9 k＝2/5，b＝5r2/3 時(shí)內(nèi)行星輪驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)外行星輪、內(nèi)行星輪上點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)求1～3 階導(dǎo)數(shù)，令它們?cè)诔跏嘉恢玫闹档扔诹?，得到了行星輪上點(diǎn)軌跡圖形分類的基本關(guān)系，為此，得到了規(guī)則多邊形、規(guī)則多角形、多葉玫瑰形、先擴(kuò)張后收縮的螺旋形、環(huán)狀相鄰纏繞形與無(wú)限不循環(huán)多角形的幾何條件。提出了利用行星輪上點(diǎn)的軌跡可以進(jìn)行高階停歇機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，或者進(jìn)行特殊零件的加工以及用于規(guī)則圖案的設(shè)計(jì)。

[1] 孟憲源, 姜 琪. 機(jī)構(gòu)構(gòu)型與應(yīng)用[M]. 北京： 機(jī)械工業(yè)出版社, 2004. 295-306.

[2] 白海清, 彭玉海, 戴俊平. 新型三尖擺線泵及其結(jié)構(gòu)研究[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì), 2006, 23(6)： 16-18.

[3] 王洪欣, 等. 雙側(cè)近似停歇的行星式齒輪連桿組合機(jī)構(gòu)[J]. 機(jī)械, 1995, 22(4)： 25-26.

[4] 王洪欣. 一種擺桿極位五階停歇機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì), 2006, 23(1)： 47-49.