張守平 吳波英

一、問題

一桶牛奶可以在甲車間用12h加工3kg ,或者在乙車間用8h加工4kg 。假定能全部售出,且每千克 獲利24元,每千克 獲利16元,現(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶,正式工人總勞動(dòng)時(shí)間為480h,甲車間的設(shè)備每天至多能加工100kg ,乙車間的設(shè)備的加工能力足夠大。請(qǐng)制定生產(chǎn)計(jì)劃使獲利最大,并討論:

若用35元可以買1桶牛奶,是否作這項(xiàng)投資?若投資,每天最多買多少桶牛奶?

若可以聘用臨時(shí)工人以增加勞動(dòng)時(shí)間,付給臨時(shí)工人的工資最多是每小時(shí)幾元?

若每千克 的獲利增加到30元,是否應(yīng)改變生產(chǎn)計(jì)劃?

二、問題分析

該優(yōu)化的目標(biāo)是使每天的獲利最大,要作的決策是生產(chǎn)計(jì)劃,決策受牛奶供應(yīng)、勞動(dòng)時(shí)間、甲車間生產(chǎn)能力的限制。將決策變量、目標(biāo)函數(shù)、和約束條件用數(shù)學(xué)符號(hào)及式子表示出來,就得到了這個(gè)問題的優(yōu)化模型。

三、優(yōu)化模型

1.決策變量

設(shè)每天用X1桶牛奶生產(chǎn)A1,用X2桶牛奶生產(chǎn)A2。

2.目標(biāo)函數(shù)

設(shè)每天獲利為Z(元),X1桶牛奶生產(chǎn)3X1(kg)A1,獲利24×3X1,X2桶牛奶生產(chǎn)4X2(kg)A2,獲利16×4X2故Z=72X1+64X2。

3.約束條件

(1)牛奶供應(yīng):X1+X2≤50(桶);

(2)勞動(dòng)時(shí)間:12X1-8X2≤480(h);

(3)設(shè)備能力:3X1≤100;

(4)非負(fù)約束:X1,X2≥0。

4.優(yōu)化模型

Max Z=72X1+64X2 (1)

S.t.X1+X2≤50(2)

12X1+8X2=480 (3)

3X1≤100(4)

X1,X2 ≥0 (5)

四、模型分析與假設(shè)

1.該實(shí)際問題的優(yōu)化模型的性質(zhì)

(1)比例性:決策變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn),與該決策變量的取值成正比;決策變量對(duì)約束條件右端項(xiàng)的貢獻(xiàn),與該決策變量的取值成正比。

(2)可加性:決策變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn),與其它決策變量的取值無關(guān);決策變量對(duì)約束條件右端項(xiàng)的貢獻(xiàn),與其它決策變量的取值無關(guān)。

(3)連續(xù)性:決策變量的取值是連續(xù)的。

2.假設(shè)

(1)A1、A2奶制品單位獲利是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù),每桶牛奶加工出 、 的數(shù)量和所需時(shí)間是與產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù);

(2)A1、A2每千克的獲利是與相互間產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù),每桶牛奶加工出 、 的數(shù)量和所需的時(shí)間是與相互間產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù);

(3)加工A1、A2的牛奶可以是任意正實(shí)數(shù)。

五、模型求解

將約束條件(2)～(5)中的不等號(hào)改為等號(hào),在X1～X2平面上作五條直線,即L1:X1+X2=50,L2:12X2+8X2=480,L3:3X1=100 L4:X1=0,L5:X2=0。這五條上的線段圍成五邊形OABCD(如圖1),頂點(diǎn)的坐標(biāo)為O(0,0),A(0,50),B(20,30),C(100/3,10),D(100/3,0)。

目標(biāo)函數(shù)(1)中z取不同數(shù)值時(shí),可以作一組平行直線,即等值線族,當(dāng)其向右上方移動(dòng)到過B點(diǎn)時(shí),z達(dá)到最大值3360,B點(diǎn)的坐標(biāo)(20,30)為最優(yōu)解,即X1=20,X2=30。

六、靈敏度分析

1.利用LINDO/LINGO軟件對(duì)該問題進(jìn)行敏感性分析

在LINDO/LINGO模型窗口中輸入模型:

max72x1+64x2

st

milk)x1+x2<50

time)12x1+8x2<480

shop)3x1<100

end

則在報(bào)告窗口(ReportsWindow)中輸出如下結(jié)果:

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP 2

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

(1) 3360.000

VARIABLE VALUEREDUCEDCOST

X1 20.000000 0.000000

X2 30.000000 0.000000

ROWSLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

MILK)0.000000 48.000000

TIME)0.0000002.000000

SHOP) 40.0000000.000000

NO.ITERATION=2

RANGESINWHICHTHEBASISUNCHANGED

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENTALLOWABLE ALLOWABLE

COEFINCREASE DECREASE

X1 72.000000 24.0000008.000000

X2 64.0000008.000000 16.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROWCURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHSINCREASEDECREASE

MILK 50.000000 10.0000006.666667

TIME 480.00000053.00000080.000000

SHOP 100.000000INFINITY 40.000000

2.答案

(1)若用35元可以買1桶牛奶,應(yīng)作這項(xiàng)投資;若投資,每天最多增加10桶牛奶。

(2)付給臨時(shí)工人的工資低于勞動(dòng)時(shí)間的影子價(jià)格才能增加利潤(rùn),故工資最多是2元/h。

(3)若每千克A1的獲利增加到30元,則X1的系數(shù)變?yōu)?/p>

30×3=90在允許范圍內(nèi),所以不應(yīng)改變生產(chǎn)計(jì)劃,此時(shí)最優(yōu)解為90×20+64×30=3720。

七、模型推廣及應(yīng)用

這是一個(gè)二維優(yōu)化模型,可以推廣到n維的情況。此外,它可以廣泛地應(yīng)用于企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃的諸多方面。

(作者單位:張守平,湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用技術(shù)分院;

吳波英,湖北省孝感學(xué)院)