摘要: 解題是使學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的重要手段，是培養(yǎng)能力、發(fā)展智力的有效途徑。本文對教師如何提高學(xué)生解數(shù)學(xué)題的能力進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)課解題數(shù)學(xué)解題能力提高

美國著名數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞(George Polya，1887—1985)指出:“解題是一種實踐性的技能，就像游泳、滑冰或彈鋼琴一樣，只能通過模仿與實踐來學(xué)到它?！阆雽W(xué)會游泳，你就必須下水，你想成為解題能手，你就必須去解題?！盵1]隨著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入進(jìn)行，不少與生產(chǎn)實踐密切聯(lián)系的創(chuàng)新數(shù)學(xué)題頻繁出現(xiàn)，數(shù)學(xué)課的解題教學(xué)將愈來愈占有重要地位。所以數(shù)學(xué)教師必須掌握解題教學(xué)的科學(xué)方法，使學(xué)生逐步形成運用數(shù)學(xué)知識來分析和解決實際問題的能力。在解題教學(xué)過程中，教師要對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)、誘導(dǎo)、點撥、解惑、輔導(dǎo)、示范、嚴(yán)格訓(xùn)練和耐心幫助，使學(xué)生善于運用科學(xué)方法，具有隨機(jī)應(yīng)變、善于創(chuàng)新的解題方法，善于區(qū)分和積累有益的資料，善于對解題進(jìn)行自我檢查和討論，善于對題目進(jìn)行開拓、引伸、發(fā)散等，從而形成科學(xué)思維的習(xí)慣，發(fā)展創(chuàng)新精神，提高解決實際問題的能力。

1.把握程序，有條不紊

1.1認(rèn)真審題，養(yǎng)成審題習(xí)慣。

審題是發(fā)現(xiàn)解法的前提，認(rèn)真審題，可以為探索解法指明方向。題目是由條件和結(jié)論構(gòu)成的，審題就是弄清題意，審清題目的已知事項和解題的目標(biāo)，審清題目結(jié)構(gòu)特征，從而判明題型，為選擇解法提供決策的依據(jù)。審題是解題的第一步，是正確解題的基礎(chǔ)和前提，可以說“成在審題，敗也在審題”，因此，審題要慢、要細(xì)心，而審題匆匆忙忙往往會導(dǎo)致解題失誤和解題受阻而花費更多的時間。所以學(xué)生要咬文嚼字抓“題眼”，觀察分析抓“特征”，深刻挖掘其隱含的內(nèi)在聯(lián)系，通過正確而廣泛的聯(lián)想，設(shè)計正確而簡便的解題方案。審題慢才能換來解題快，才能防止誤入歧途的欲速而不達(dá)。

1.2學(xué)會探索，掌握思維方向。

審題之后，進(jìn)入解題的醞釀階段，探索解題途徑，尋找解題方法，擬定解題計劃。怎樣展開解題思路?就思維形式而言，可以概括為“由因?qū)Ч焙汀皥?zhí)果溯因”的兩種不同方向。

1.2.1由因?qū)Ч?/p>

“由因?qū)Ч笔菍ⅰ耙阎蓖蒲莸健拔粗钡乃季S方法，稱之為綜合法。它是從問題的條件入手，一般說有三個思維層次:充分利用條件，善于轉(zhuǎn)化條件，積極創(chuàng)設(shè)條件。

1.2.2充分利用條件

在解題過程，只有所給的條件全部用上，才算是充分利用了條件。題目的條件有明有暗，明者就是在題目里明文給定的，暗者是隱含在圖形或數(shù)式的性質(zhì)之中。學(xué)生只有把隱含的條件挖掘出來，并且用上，才能做到充分利用。

1.2.1.2要善于轉(zhuǎn)化條件

解題就是解決矛盾，就是使條件和結(jié)論逐漸靠近，以達(dá)到“矛盾的統(tǒng)一”。轉(zhuǎn)化條件對于“矛盾的統(tǒng)一”能起促進(jìn)的作用。所謂“轉(zhuǎn)化”，就是掌握“矛盾的統(tǒng)一性”。轉(zhuǎn)化的具體方法有:等量轉(zhuǎn)換(例如各種數(shù)式的恒等變形)、輔助轉(zhuǎn)換(例如換元變換)、等價轉(zhuǎn)換(例如方程或不等式的同解變換)、放縮轉(zhuǎn)換(例如用放縮法解不等式，用相似變換解幾何問題)、數(shù)形轉(zhuǎn)換(例如代數(shù)、三角、幾何題型之間的轉(zhuǎn)換)、近似轉(zhuǎn)換(例如有限與無限之間的轉(zhuǎn)換)等。

1.2.1.3積極創(chuàng)設(shè)條件

積極創(chuàng)設(shè)與題目相容的條件，可以促使矛盾的轉(zhuǎn)化。眾所周知，在論證幾何題目時，引入適當(dāng)?shù)妮o助線之后，往往能化難為易，這就是在解題中創(chuàng)造條件的一種表現(xiàn)。在代數(shù)里，引入輔助方程、構(gòu)造輔助函數(shù)，都是創(chuàng)設(shè)條件的方法。但是，條件不能憑空而創(chuàng)，思路必須有所啟迪，從何啟迪呢?憑何依據(jù)呢?從題目已給的條件或求解目標(biāo)，聯(lián)想與之有關(guān)的公式、定理或結(jié)論，獲得啟迪，尋找依據(jù)，從而創(chuàng)設(shè)解題中所需要的條件。

例如:已知，α，β是關(guān)于的x方程:x²+px+q=0的兩實根，求代數(shù)式aα³-bβ+c的值。學(xué)生無法直接用韋達(dá)定理計算，僅憑題目所給的條件是不能解決問題的，必須創(chuàng)設(shè)條件，如設(shè)A=aα³-bβ+c，B=aβ³-bα+c，便可用A+B和A-B，再用韋達(dá)定理，即可求出。建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一種建構(gòu)，或者說是重新構(gòu)造的活動，所以數(shù)學(xué)的教學(xué)核心不是由教師向?qū)W生灌輸或“販賣”知識，而應(yīng)該是學(xué)生的“再創(chuàng)造”。[2]

1.2.2執(zhí)果溯因

“執(zhí)果溯因”是將“未知”歸結(jié)為“已知”的思維方法，稱之為“分析法”。它是從問題的結(jié)論入手的，也有三個思維層次:回想、聯(lián)想和猜想。

1.2.2.1回想

回想是拉開解題思維的序幕。學(xué)生根據(jù)題目中涉及的主要概念，回想它的定義是怎樣的;根據(jù)題目的條件、結(jié)論及其結(jié)構(gòu)，回想與它們有關(guān)的公式、定理、法則是什么?；叵胪且环N演繹推理，即由一般到特殊的推理，把一般的原理、法則、結(jié)論套在特殊的情況上?；叵氲慕Y(jié)果，可能會出現(xiàn)直接套用現(xiàn)成的定義、公式、定理或法則來解題。

1.2.2.2聯(lián)想

聯(lián)想是接通解題思路的橋梁。當(dāng)我們直接套用現(xiàn)成知識解決不了問題時，就必須進(jìn)行聯(lián)想，在回憶時可以由當(dāng)前感知的事物回憶起有關(guān)的另一事物，或者由所想起的某一事物想起有關(guān)的其他事物，這就是聯(lián)想。解題時的聯(lián)想，就是要求在知識倉庫里找出與題目很接近的或很相似的原理、方法、結(jié)論或命題來，變通使用這些知識，看能否解決問題。數(shù)學(xué)里常用的聯(lián)想有:接近聯(lián)想、相似聯(lián)想、對比聯(lián)想、關(guān)系聯(lián)想、定義聯(lián)想、命題聯(lián)想、方法聯(lián)想、規(guī)律聯(lián)想等。

1.2.2.3猜想

猜想是點燃創(chuàng)造思維的火花。如果經(jīng)過聯(lián)想，仍然解決不了問題，不妨進(jìn)行大膽猜想。如果對解決問題的途徑、原則和方法不能馬上找到，可以去選擇一些接近于解決問題的途徑、原則和方法，這就是提出猜想。然后設(shè)法論證這個猜想是否真實。

回想、聯(lián)想、猜想是密切相關(guān)的，回想越充分，聯(lián)想就越豐富，猜想也就越合理，解題的思路、方法也就越明確，這需要熟練地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本數(shù)學(xué)方法。如能經(jīng)常對解題進(jìn)行歸納總結(jié)，就可以為“三想”的成功奠定基礎(chǔ)。

2.開拓引伸，舉一反三

解完題，再回味和引伸，對題目作開拓思考，引伸出新題和新解法，有利于培養(yǎng)發(fā)散思維，“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象交互作用，并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動。[3]學(xué)生可以從如下幾方面入手:

2.1把題目條件開拓引伸。

題目的條件在題目中居于主導(dǎo)地位，題目的結(jié)論是由條件決定的，如果題目的條件

改變了，那么題目的結(jié)論可能隨之變化。改變條件的方法有如下三種:

2.1.1把特殊條件一般化

去掉題目條件的約束性，使特殊條件一般化，從而推得更為普遍性的結(jié)論，這叫做數(shù)學(xué)命題的推廣。

2.1.2把一般條件特殊化

把一般條件加以約束，使它變?yōu)樘厥鈼l件，從而獲得新的結(jié)論，這也是數(shù)學(xué)命題的推廣。一般條件加以約束之后，使條件強(qiáng)化，隨之解題方法往往不能套用前者，而要另辟蹊徑。條件越約束，題目要求越高，解題難度也越大。

2.1.3特殊條件與一般條件交替變化

題目的條件如果是特殊與一般交替變化，更是千姿百態(tài)。

2.2把題目結(jié)論開拓引申。

有的題目，在條件不改變的情況下，可以把結(jié)論開拓引申，使題目深化。例如，把射影定理的結(jié)論加以開拓引申，就得到勾股定理。

3.重視概念，注意積累。

解題能力由多種因素組成，要提高解題能力，提高解題效率，學(xué)生必須做好以下幾點。

3.1加強(qiáng)解題的知識因素。

數(shù)學(xué)知識是解題的基礎(chǔ)，學(xué)生要熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的體系，深刻理解數(shù)學(xué)概念，準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)定理、公式、法則、熟悉基本的常用的邏輯推理方法和數(shù)學(xué)方法。有了充實、豐富的數(shù)學(xué)知識，才能為解題奠定堅實的基礎(chǔ)，才有可能提高解題效率。

3.2提高解題的能力因素。

解題能力表現(xiàn)為發(fā)現(xiàn)問題、分析問題與解決問題的各方面的本領(lǐng)。其核心是掌握正確的思維方法和正確的思維品質(zhì)，掌握解題思路和各種解題的策略，因題制宜地選擇對口的解題思路，使用有效的解題方法，調(diào)動巧妙的解題技巧，從而提高解題效率。

3.3豐富解題的經(jīng)驗因素。

實踐出真知，理論總是從實踐中提煉的。方法與技巧也是從經(jīng)驗中獲得的?！耙肟焖儆行У貙W(xué)習(xí)任何東西，你必須看它、聽它和感覺它”。[4]俗話說:“熟能生巧?！睂W(xué)生不斷積累解題經(jīng)驗，探索解題規(guī)律，就可以提高解題能力。不斷總結(jié)，學(xué)生就會有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)造，有所前進(jìn)。

總之，學(xué)生要提高解數(shù)學(xué)題的能力，就要善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發(fā)明創(chuàng)造的題。解題能力的提高，絕非一朝一夕所能形成，學(xué)生要持之以恒，堅持不懈，不受外界條件的干擾，培養(yǎng)解題技巧和科學(xué)思維方法。在解題中加深對概念的理解，在熟練基本概念的基礎(chǔ)上做題，這樣才能事半功倍，取得良好的效果。

參考文獻(xiàn):

[1]趙小云.數(shù)學(xué)家的策略[M].北京:中國少年兒童出版社，1997.

[2]徐厚生.數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的策略探討[J].鎮(zhèn)江高專學(xué)報，2007，20，(2):108-109.

[3]張麗娟.注重數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維方式[J].安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2008，7，(6):112-113.

[4][美國]珍妮特·沃斯[新西蘭]戈登·德萊頓.學(xué)習(xí)的革命[M].上海:上海三聯(lián)書店，1998.