傳說上古伏羲氏時，河南孟津縣(在今洛陽市東北)境內(nèi)的黃河中浮出龍馬，背上有一個神奇的圖案(如圖1)，伏羲依此圖案演成八卦，后為《周易》的來源，大禹時，河南洛寧縣(在洛陽市西)洛河中浮出神龜，背上也有一個神奇的圖案(如圖2)，大禹依此治水成功，遂劃天下為九州，這兩個神奇的圖案人們分別稱為河圖和洛書。

如果用現(xiàn)代數(shù)字表示，河圖和洛書實(shí)際上是一個數(shù)字方陣(如圖3)，這個數(shù)字方陣的奇妙之處是，這9個不同的正整數(shù)按照方陣排列，并且沿著任何行、列或主對角線上的3個數(shù)之和都等于15。

河圖和洛書傳到西方以后，立即引起數(shù)學(xué)家們的極大興趣，他們稱河罔和洛書為幻方，并進(jìn)行了深入研究，還構(gòu)造出一些高階幻方。

阿爾布雷特·丟勒1471年出生在德國紐倫堡，丟勒博學(xué)多才，不僅是畫家，而且是數(shù)學(xué)家、機(jī)械師、建筑學(xué)家，丟勒有一幅很有名的畫——《憂郁》，這幅畫中有一個四階幻方(如圖4)，這個幻方的奇妙之處，是它除了有一般幻方的特點(diǎn)外，還有另外五個特點(diǎn)：

1 上面兩行數(shù)的平方和等于底下兩行數(shù)的平方和：

2 第一行和第三行數(shù)的平方和等于第二行和第四行數(shù)的平方和：

3 對角線上的數(shù)的和等于不在對角線上的數(shù)的和

4 對角線上的數(shù)的平方和等于不在對角線上的數(shù)

5 對角線上的數(shù)的立方和等于不在對角線上的數(shù)的立方和。

階數(shù)為4的倍數(shù)的幻方稱為雙偶階幻方，構(gòu)造這類幻方有一個簡便的方法，我們以丟勒幻方為例加以說明，

首先畫一個四階方陣，并畫出對角線，如圖5所示，從第一行左上角開始從1數(shù)數(shù)，在剝’角線上的小方格計(jì)數(shù)但不寫出，不在對角線上的小方格中依次寫出數(shù)到的數(shù)，從上到下，從左到右，寫滿為止，然后從右下角開始，從1開始數(shù)數(shù)，只在對角線上的小方格內(nèi)寫數(shù)，不在對角線上的小方格只計(jì)數(shù)不寫數(shù)，從有到左，從下往上，寫滿為止，這個方法適用于任何雙偶階幻方。

法國人盧培(1687—1688年)作為路易十四的使節(jié)到邂羅(就是現(xiàn)在的泰國)時，學(xué)到制作任何奇數(shù)階正規(guī)幻方(數(shù)字郁是相繼的止整數(shù))的簡單方法，并將它介紹到西方，下面我們以五階幻方為例說明這種方法。

先畫一個五行五列的大方格，大方格的頂上和右邊分別多畫出一行和一列，為了下面敘述方便，分別稱為“上加格”和“右加格”，右上角的一個小方格加陰影，首先在大方格正中間的一個小方格內(nèi)填寫1，然后沿對角線上面一格填寫后續(xù)數(shù)，即2，可能會遇到兩種特殊情況：右上一個小方格超出大方格，或者右上小格已經(jīng)有數(shù)，前一種情況將相應(yīng)的數(shù)寫在上加格或有右加格內(nèi)，同時在同一列的最下一行或者同一行的最左一列的小格內(nèi)寫上相同的數(shù)，遇到后一種情況就將相應(yīng)的數(shù)寫存這個數(shù)的下方一個小方格內(nèi)，右上角的陰影小方格視為已有數(shù)字，例如圖6，將1填人后應(yīng)該寫2，但此時已經(jīng)超出大方格，因此就填到上加格內(nèi)，并在同一列的最下面一個小格內(nèi)填寫上2。

責(zé)任編輯 尹 娜