李少龍，朱國勝，定培中，張文三

堤防土體滲透參數(shù)的概率分布研究

李少龍，朱國勝，定培中，張文三

（長江科學院水利部巖土力學與工程重點實驗室，武漢 430010）

確定滲透參數(shù)的概率分布是堤防滲透穩(wěn)定可靠性分析的基礎(chǔ)。闡述了土體滲透系數(shù)和臨界水力比降的概率分布研究概況。通過分布參數(shù)的極大似然估計和A-D法分布擬合檢驗，分析了堤防粉質(zhì)粘土和粉質(zhì)壤土的滲透系數(shù)概率分布；基于太沙基公式，將土粒相對密度和孔隙比作為隨機變量，推導了臨界水力比降的概率密度函數(shù)。分析表明，滲透系數(shù)的概率分布符合對數(shù)正態(tài)分布，臨界比降的概率分布為近似正態(tài)分布。

滲透系數(shù)；臨界水力比降；概率分布；堤防

我國堤防多是經(jīng)過一定歷史時期不斷加高培厚而形成的，且其地質(zhì)情況復雜，堤線較長，受不確定性因素影響眾多，往往存在滲透穩(wěn)定問題。堤防土體多具有不均勻性，與堤防滲流密切相關(guān)的滲透系數(shù)與臨界水力比降等參數(shù)具有不同程度的變異性。然而，用傳統(tǒng)的方法進行堤防滲流安全評估時，通常假定土體分區(qū)均勻，將滲透系數(shù)與臨界水力比降在分區(qū)內(nèi)作為常數(shù)。近些年發(fā)展起來的可靠性分析方法較好地考慮了堤防土體參數(shù)的隨機性和變異性。

在滲透穩(wěn)定可靠性分析中，確定滲透參數(shù)的概率分布是必不可少的工作?？煽慷确治龇椒ǎ缒壳皯幂^多的一次二階矩方法，需要根據(jù)基本隨機變量的概率分布進行當量正態(tài)化來計算可靠指標和失效概率。隨機參數(shù)的概率分布對可靠度計算的最終計算結(jié)果具有重要影響。參數(shù)概率分布規(guī)律是利用可靠度理論進行堤防滲透穩(wěn)定分析的基礎(chǔ)，然而目前對堤防土體滲透參數(shù)特別是抗?jié)B強度概率分布的研究較少。本文分析土體滲透系數(shù)與抗?jié)B強度的概率分布特征及分析方法，為堤防滲透穩(wěn)定的可靠性分析提供基礎(chǔ)。

1 土體滲透參數(shù)的隨機特征

江河堤防的土質(zhì)組成極其復雜，堤基土多為第四系沖積層，常含有粘土、壤土、細砂、砂礫石等。各種土的特性指標相差較大，無粘性土和粘性土的滲透變形特性有顯著不同。同時，在宏觀上土體性質(zhì)被視為均勻的土層，其物理力學性質(zhì)也會隨著位置的不同而有所差異。土的顆粒或孔隙在空間上作隨機排列，顆粒之間的作用力也是隨機分布的，土體存在非均勻性和隨機性，同時土體所處的物理狀態(tài)及環(huán)境條件可能不同，因而土性參數(shù)具有較大的隨機變異性。鑒于堤防土體的復雜性，研究其滲透參數(shù)概型分布的推斷方法及概率分布規(guī)律，可加深認識巖土介質(zhì)的隨機特性，對堤防滲透穩(wěn)定可靠性分析具有重要意義。

隨機水文地質(zhì)領(lǐng)域的研究表明，滲透系數(shù)在空間上的分布變化是極其復雜的，含水層的滲透系數(shù)在空間上的變化可達幾個數(shù)量級［1］。R.A.Freeze［2］統(tǒng)計大量滲透系數(shù)空間變異性的結(jié)果，認為滲透系數(shù)可用對數(shù)正態(tài)分布來描述。這一結(jié)論被后來的研究者在隨機地下水運動的研究中廣泛應用。E.A.Sudicky［3］在加拿大Borden含水層進行野外試驗，經(jīng)過分析得出滲透系數(shù)服從對數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論。眾多試驗研究和隨機模擬都認可滲透系數(shù)服從對數(shù)正態(tài)分布，即對數(shù)滲透系數(shù)服從正態(tài)分布，這在數(shù)學處理上也帶來較大方便，其統(tǒng)計特征可用均值和協(xié)方差函數(shù)完全描述。此外，根據(jù)中心極限定理，受大量相互獨立的隨機因素影響，每一個別因素在總影響中所起作用不太大的隨機變量，仍服從或近似服從正態(tài)分布。因此，正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布在隨機研究中得到廣泛應用。

抗?jié)B強度反映了土體抵抗?jié)B透破壞的能力，可用臨界水力比降來表征。臨界水力比降是滲透穩(wěn)定性分析中最基本的參數(shù)，受多種不確定性因素影響，土體的臨界比降也是一個不確定性量。文獻［4］指出土層的抗?jié)B強度各處不同，同時孔隙的大小不一，分布也不均勻，這就使得各處的滲流坡降也大小不一，有的地方滲流坡降相對增大，或者抗?jié)B強度比較弱，就有可能發(fā)生管涌。在防洪搶險的實踐中發(fā)現(xiàn)，距堤腳一定范圍內(nèi)的不同位置都可能出現(xiàn)規(guī)模不一的險情。這就從一個方面說明堤基土層分布不均勻，實際發(fā)生的滲透比降和臨界比降具有變異性。將臨界比降作為隨機變量，進行堤防工程可靠性分析時需要知道它的概率分布。然而關(guān)于土體滲透變形參數(shù)的隨機特征研究不多，在建立堤防滲流穩(wěn)定可靠性分析模型時往往對其概率分布進行某種假設(shè)。王卓甫等［5］建立了防洪堤滲透變形的風險計算模型，假定臨界比降服從三角分布。周小文等［6］在堤防自動化監(jiān)測預警系統(tǒng)中，建立了滲流安全概率評價模型，假設(shè)臨界比降服從正態(tài)分布。張士辰和李雷［7］通過粗砂滲透變形20組室內(nèi)實驗，對比分析了流土型粗砂滲透系數(shù)與抗?jié)B強度概型分布，認為對數(shù)正態(tài)分布的擬合效果最好。

2 基于試驗數(shù)據(jù)的滲透系數(shù)概率分布推斷

在土工概率計算時，應該先要對土性參數(shù)試驗數(shù)據(jù)進行必要的統(tǒng)計分析，充分利用有限的資料得到盡可能多的規(guī)律性認識。隨機土性參數(shù)的均值、方差、分布類型等統(tǒng)計資料往往需要較長時間的積累。如果有足夠的試驗數(shù)據(jù)，那么可以根據(jù)觀測樣本，選用適宜的理論概率分布，用統(tǒng)計檢驗的方法選擇最佳的分布類型。

2.1 概率分布類型

對于土體滲透參數(shù)，用某個適當?shù)姆植紒砻枋鏊鶕?jù)對參數(shù)概率分布問題的分析和經(jīng)驗，可以大體確定出幾種可能的分布概型。巖土工程中比較常用的分布類型包括：正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和極值Ⅰ型分布等，它們的概率密度函數(shù)分別如下：

式中：μ和σ分別為正態(tài)分布的均值和標準差；a和b分別為極值Ⅰ型分布的尺度參數(shù)和位置參數(shù)。

2.2 參數(shù)的極大似然估計

推斷總體的分布類型時，通常它的某些分布參數(shù)也是未知的，這時要對未知的分布參數(shù)作出推斷，即參數(shù)估計，一般可用矩法和極大似然法確定。極大似然估計法的計算較復雜，但是能充分利用分布函數(shù)對參數(shù)所提供的信息，因而具有優(yōu)良性質(zhì)。根據(jù)已知或假定的分布類型，以樣本的概率作為似然函數(shù)，再以樣本似然函數(shù)最大為準則，確定相應的分布參數(shù)。對于連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f（x；θ），θ∈Θ為待估參數(shù)，樣本的觀測值是x1，x2，…，xn，其似然函數(shù)為L（θ）= ∏f（xi；θ），似然函數(shù)的最大值點即為參數(shù)的極大似然估計值。根據(jù)以上原理和方法可以得到：

正態(tài)分布參數(shù)的極大似然估計為

對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)的極大似然估計為

極值Ⅰ型分布參數(shù)的極大似然估計為

正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)極大似然估計值可用樣本數(shù)據(jù)根據(jù)式（4）和（5）直接計算；由式（6）可見，極值分布參數(shù)的極大似然估計值滿足非線性方程，不能直接計算其解析解，本文采用牛頓-拉夫森迭代法求解。

2.3 分布擬合檢驗的A-D法

在實際問題中，不知道總體具體服從什么類型的分布，這就需要根據(jù)樣本來檢驗關(guān)于分布的假設(shè)，看是否在概率統(tǒng)計意義上合理，即分布擬合檢驗。常用的檢驗方法有：χ2檢驗法、K-S檢驗法和A-D檢驗法等。χ2檢驗法是用劃分區(qū)間的方法來考慮樣本頻率與理論概率之間的偏差，依賴于區(qū)間的劃分，而且要求樣本容量足夠大。K-S法和A-D法是在每一點上考慮經(jīng)驗分布與理論分布之間的偏差，因而沒有依賴于區(qū)間劃分的缺點。可靠度計算中隨機變量的尾部分布較為重要，A-D法能較好反映所檢驗的經(jīng)驗分布和母體分布在尾部的擬合情況，檢驗精度較高，對大子樣檢驗和小子樣檢驗都適用［8］。本文采用A-D檢驗法，其步驟如下：

（1）將樣本觀測值x1，x2，…，xn按由小到大次序進行重排得到x（1）≤x（2）≤…x（n）；

（2）計算統(tǒng)計量

（3）在顯著性水平α下，如果A2小于臨界值A(chǔ)2α，則接受原假設(shè)；否則拒絕原假設(shè)。

2.4 滲透系數(shù)概率分布

對于堤防工程，由于堤線較長，現(xiàn)場和室內(nèi)試驗不會在一個較小范圍內(nèi)取樣，基本上沿堤線布置取樣，而少量的試驗數(shù)據(jù)又不滿足統(tǒng)計分析的要求，因而可考慮在一個較大的范圍內(nèi)按土性分類收集測試數(shù)據(jù)，同一類土其基本特性應當是相同或相近似的，試驗條件也應基本相同。這樣就易于滿足統(tǒng)計分析的要求，也充分利用了已有資料。此外，不同土類滲透系數(shù)的取值范圍不同，其統(tǒng)計特征也有一定差異，可以檢驗它們是否來自同一母體。

應用上述原理方法，對長江中游某段堤防的粉質(zhì)粘土和粉質(zhì)壤土的滲透系數(shù)概率分布進行擬合檢驗，這兩類土的試驗數(shù)據(jù)較多，分別有73組和54組數(shù)據(jù)。表1給出了它們的分布參數(shù)極大似然估計和A-D法檢驗結(jié)果。分析可見，滲透系數(shù)在對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)條件下計算統(tǒng)計量小于臨界值，而在正態(tài)分布和極值Ⅰ型分布的假定下計算統(tǒng)計量大于臨界值，說明滲透系數(shù)的概率分布符合對數(shù)正態(tài)分布。采用t檢驗法和F檢驗法分別對兩類土的滲透系數(shù)均值和方差是否來自同一母體進行檢驗，結(jié)果表明在1%顯著水平下接受兩類土的方差來自同一母體，但是拒絕接受兩類土的均值來自同一母體，說明它們的統(tǒng)計特征存在一定差異。

3 隨機變量函數(shù)的概率密度推導

土的臨界水力比降一般通過試驗測定，所獲得的參數(shù)相對準確可靠，但是需要花費大量的人力物力和財力，并非所有的工程項目都具備開展大量試驗的條件，有時根據(jù)類似工程或經(jīng)驗來選取參數(shù)，存在一定的主觀性。實際工程中經(jīng)常遇到樣本容量不足甚至沒有試驗數(shù)據(jù)的情況。半經(jīng)驗半理論的計算公式為土體臨界比降的確定提供了一種方法，同時也為其概率分布的推斷提供了一條途徑。

對于滲流自下而上的情況，由單位體積土在水中的浮重和作用于該土的滲透力相平衡的原理，可得到流土的臨界水力比降，即太沙基公式

式中：J為臨界水力比降；G為土粒相對質(zhì)量密度；e為土的孔隙比。堤防工程地質(zhì)勘察規(guī)程（SL188-2005）［9］中推薦該公式計算無粘性土的流土臨界水力比降。除了上述太沙基公式之外，國內(nèi)外研究機構(gòu)和學者還提出了其它計算臨界水力比降的數(shù)學公式［10，11］，可供采用。計算公式反映了土體臨界比降的主要影響因素，能夠滿足工程需要，這些因素又各有隨機性，我們可以通過計算公式根據(jù)影響因子的分布特征來分析臨界水力比降的概率分布。下面基于太沙基公式推導臨界水力比降的概率密度函數(shù)。

太沙基公式中有2個自變量，即土粒相對密度和孔隙比，通常認為土粒相對密度的變化范圍不大而將其作為常量。有關(guān)研究表明，土體孔隙比服從正態(tài)分布。不失一般性，本文考慮2種情況，即僅將孔隙比作為隨機變量以及將兩者都作為隨機變量。

根據(jù)式（8），由分布函數(shù)的定義有

于是得到J的概率密度表達式為

由孔隙比的正態(tài)分布概率密度可得臨界水力比降的概率密度函數(shù)為

將土粒相對密度和孔隙比都作為隨機變量，可以看到，土粒相對密度是土顆粒與同體積純水的質(zhì)量比值，而孔隙比是孔隙體積與固體顆粒體積之比，從概念上來理解兩者相關(guān)性不大，此處認為兩隨機變量相互獨立，聯(lián)合概率密度fG，e（g，e）=fG（g）fe（e）。

表1 滲透系數(shù)概型分布擬合A-D法檢驗表Table 1 A-D test of probability distribution of permeability

構(gòu)造隨機變量G和e的兩個函數(shù)U和V，即U=（G-1）／（1+e），V=G，其反函數(shù)為 G=V，e=（V-1）／U-1，易知該變換的雅克比行列式為J=（V-1）／U2，由二維隨機變量函數(shù)的分布公式可得臨界比降的概率密度為

上式關(guān)于臨界比降的概率密度表達式含有正態(tài)分布的積分，由于形式復雜較難給出顯式的解析表達，在實際運用中也會有一些困難。為此可考慮將臨界比降公式按照泰勒級數(shù)展開，即

式中：a0=（μG-1）／（1+μe）；a1=1／（1+μe）；a2=-（μG-1）／（1+μe）2；μG和μe分別為土粒相對密度和孔隙比的均值。相互獨立的正態(tài)隨機變量之和仍服從正態(tài)分布，于是可得臨界水力比降的分布為

式中，σ2G和σ2e分別為土粒相對密度和孔隙比的方差。

4 結(jié)語

滲透參數(shù)的概率分布規(guī)律是利用可靠度理論進行堤防滲透穩(wěn)定分析的基礎(chǔ)。本文對土體滲透參數(shù)的概率分布研究進行了小結(jié)，針對巖土工程中常用的正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和極值Ⅰ型分布，通過分布參數(shù)的極大似然估計和A-D法分布擬合檢驗，分析了堤防土體滲透系數(shù)的概率分布。極大似然法能充分利用分布函數(shù)對參數(shù)所提供的信息；A-D法能較好地反映所檢驗的經(jīng)驗分布和母體分布在尾部的擬合情況，適合可靠度分析中的分布檢驗。分析表明粉質(zhì)粘土和粉質(zhì)壤土的滲透系數(shù)服從對數(shù)正態(tài)分布?；谔郴?，將孔隙比作為隨機變量直接得到臨界比降的概率密度，將孔隙比和土粒相對密度都作為隨機變量，通過泰勒級數(shù)推導出臨界水力比降的近似正態(tài)分布概率密度函數(shù)。研究結(jié)果可為堤防工程滲透穩(wěn)定的可靠性分析提供基礎(chǔ)。

［1］ 楊金忠，蔡樹英，黃冠華，等.多孔介質(zhì)中水分及溶質(zhì)運移的隨機理論［M］.北京：科學出版社，2000.

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Probability Distribution of Levee Foundation Seepage Parameters

LI Shao-long，ZHU Guo-sheng，DING Pei-zhong，Zhang Wen-san
（Key Laboratory of Geotechnical Mechanics and Engineering of the Ministry of Water Resources，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China）

The determination of probability distribution of seepage parametersisa basisof reliability analysis of leveeseepage stability.The research development of soil permeability and critical hydraulic gradient is presented.The probability distribution of levee soil permeability is analyzed by maximum likelihood estimation of distribution parameters and A-D test method for distribution fitting.On the basis of Terzaghi formula of flowing soil，the probability density function of critical hydraulic gradient is derived with soil relative density and void ratio as random variables.Results show that the distributions of the permeability of silty clay and silty loam are both subject to lognormal distribution，the soil critical hydraulic gradient obeys approximately normal distribution.

permeability；critical hydraulic gradient；probability distribution；levee

TB114

A

1001-5485（2009）04-0036-04

2008-06-24；

2008-10-17

長江科學院中央級公益科研院所基金資助（YWF0733／YT03）；長江科學院博士科研啟動基金資助（YJJ0790／TY30）；國家科技支撐計劃項目基金資助（2006BAC05B05-01）

李少龍（1979-），男，湖北嘉魚人，工程師，主要從事水工滲流及地下水環(huán)境研究，（電話）027-82927243（電子信箱）lisl3000＠163.com。

（編輯：劉運飛）