呂軍成　何　琳

【摘 要】根據(jù)NURBS方法對(duì)外形設(shè)計(jì)的適應(yīng)性的特點(diǎn),結(jié)合實(shí)際,推導(dǎo)出有實(shí)用意義的算法,探索建立用于曲面幾何造型的系統(tǒng),最后并結(jié)合算法給出在車身外表面設(shè)計(jì)中的運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】NURBS方法 算法 曲面構(gòu)造 外形設(shè)計(jì)

計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)的核心問題是幾何形狀的數(shù)學(xué)描述,非均勻有理B樣條(NURBS)方法在保留了貝齊爾方法、B樣條方法的基礎(chǔ)上,引入了權(quán)因子與分母,看似簡(jiǎn)單,卻導(dǎo)致了攝影變換、幾何原理與算法、權(quán)因子的意義與作用、權(quán)因子與參數(shù)化等一系列概念和性質(zhì)。NURBS方法解決了自由曲線曲面與初等解析曲線曲面不相容問題,而且能夠在一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)嚴(yán)格的以統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型定義幾何形狀,提高了造型能力;所以,盡管NURBS方法仍在發(fā)展中,它給實(shí)際應(yīng)用帶來了很大的靈活性,在CAD/CAM系統(tǒng)中將成為十分有效的工具。國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)繼美國的PDES標(biāo)準(zhǔn)之后,于1991年頒布了關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的STEP國際標(biāo)準(zhǔn),把NURBS方法作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)方法。根據(jù)NURBS方法對(duì)外形設(shè)計(jì)的適應(yīng)性的特點(diǎn),改變參數(shù):即把每個(gè)有理B樣條基函數(shù)的最大值處的參數(shù)值定義為相伴數(shù)據(jù)點(diǎn)處的參數(shù)值,建立用于曲面幾何造型的系統(tǒng),最后給出在實(shí)際設(shè)計(jì)中的運(yùn)用。

一、主要理論內(nèi)容及相關(guān)知識(shí)

1.NURBS曲線插值擬合

在幾何造型過程中,需要對(duì)模型進(jìn)行測(cè)量,然后根據(jù)這些型值點(diǎn)插值擬合曲線。對(duì)于給定的型值點(diǎn)q_j(j=0,1,…,n)構(gòu)造k次NURBS插值曲線,通常節(jié)點(diǎn)序列采用累計(jì)弦長(zhǎng)的方法。端節(jié)點(diǎn)取k+1重節(jié)點(diǎn),將節(jié)點(diǎn)序列帶入方程中,得到插值線性方程組:其中含有n個(gè)方程,n+2個(gè)未知的控制頂點(diǎn),故需要補(bǔ)充兩個(gè)通常有邊界條件給定的附加條件。

2.NURBS曲面的插值擬合

同樣采用曲線的插值方法進(jìn)行曲面的擬合。設(shè)型值點(diǎn)q_j及權(quán)因子ω_i,j,利用類似于曲面生成的節(jié)點(diǎn)序列的確定方法分兩步進(jìn)行,第一步用單參數(shù)曲線插值M行型值點(diǎn),得到中間頂點(diǎn){p_i,j}(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n+1);第二步,在令一個(gè)參數(shù)方向插值N+2列中間頂點(diǎn){p i,j}(i=0,1,…m+1,j=0,1,…+1),從而得到插值曲面的控制頂點(diǎn)網(wǎng)格,故可以生成插值曲面。

二、關(guān)鍵問題與探索點(diǎn)

眾所周知,定義參數(shù)值的常用方法:有理法、弦長(zhǎng)法、向心法。在參數(shù)曲線插值中,對(duì)一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)值的選擇使得插值結(jié)果中曲線的形狀有很大的不同。盡管在這個(gè)領(lǐng)域中人們已作了大量的研究工作,但是在自動(dòng)化、工業(yè)中對(duì)設(shè)計(jì)復(fù)雜的曲線改進(jìn)參數(shù)還是極有必要的。一種新的參數(shù)法的構(gòu)思:把每個(gè)有理B樣條基函數(shù)的最大值處的參數(shù)值定義為相伴數(shù)據(jù)點(diǎn)處的參數(shù)值。其理論依據(jù)是:如果一個(gè)帶狀矩陣有主對(duì)角元素,可以得到帶有主對(duì)角元素的逆矩陣。通過取基函數(shù)的最大值處的參數(shù)值作為數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)值,我們得到一個(gè)含有主對(duì)角元素的R維帶狀矩陣。這可以得到更好的曲線插值。

1.反算NURBS曲線控制頂點(diǎn)的算法

在NURBS曲線插值擬合中對(duì)于邊界條件不易給出確定的情況,將根據(jù)實(shí)際情況利用矩陣表達(dá)式,若能巧妙選取曲線上的型值點(diǎn)數(shù)據(jù),則不需要添加邊界條件卻能反求NURBS插值曲線控制點(diǎn)。如根據(jù)二次NURBS曲線矩陣表達(dá)式,對(duì)于任意曲線上的2N+1個(gè)型值點(diǎn),給出利用這些型值數(shù)據(jù)點(diǎn),反算二次非均勻有理B樣條曲線控制頂點(diǎn)的算法。試把這種算法推廣至高次,對(duì)于不易給出曲線邊界條件(如切矢條件)這種類型的插值,它不僅可以通過權(quán)因子而達(dá)到擬合曲線的目的,而且可以采用其他方法來求型值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,即通過參數(shù)擬合曲線具有很大的靈活性。

2.生成曲面或擬合曲面進(jìn)行處理

在外形設(shè)計(jì)中,常常需要對(duì)生成曲面或擬合曲面進(jìn)行處理,重點(diǎn)是曲面求交,求交過程是一個(gè)反復(fù)分割、判斷過程。目標(biāo)是經(jīng)過數(shù)次分割,小區(qū)面符合給定的精度,可以代表平面,平面交線代替曲面交線;然后,經(jīng)過交點(diǎn)排序消去多余交點(diǎn),在進(jìn)行插值擬合即可得到交線。

3.過渡面的生成處理

另外,過渡面的生成也是處理問題的重要一方面,過渡面與相鄰曲面之間應(yīng)該至少保持C₁連續(xù),因此想通過一下兩種方法構(gòu)造過渡面。

(1)討論兩張相交曲面或求得兩曲面交線的曲面之間生成過渡面,設(shè)兩曲面L₁L₂,交線L,則分別求得AB上的等參數(shù)L₁L₂,由此三條曲線生成與相鄰曲面有C₁連續(xù)性的過渡面,其圓弧曲率大小可以通過調(diào)整權(quán)因子控制。

(2)兩張曲面不相交,且無需求交線的情況,可以在求得兩曲面邊界等參數(shù)的基礎(chǔ)上,補(bǔ)充控制頂點(diǎn)或者型值點(diǎn),擬合出具有C₁階連續(xù)的過渡面,同樣可以調(diào)整權(quán)因子控制過渡面的形狀以適應(yīng)造型需要。

三、算法實(shí)例

按照上述各功能的算法,可運(yùn)用于NURBS車身外表面設(shè)計(jì)中。下面給出設(shè)計(jì)的整體思路和布局。

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