隆光輝　劉興蓉

天體運動和人造衛(wèi)星問題與現(xiàn)代科技結合密切，是思想教育的好教材。它綜合考查了萬有引力定律、牛頓第二定律和圓周運動等知識及有關應用，屬中低檔題，歷年高考必考。而天體表面的機械運動問題是天體運動問題的新型題，最早出現(xiàn)在1998年全國高考試卷中（見例4），近兩年各地高考也出現(xiàn)了很多。要解決此類問題，關鍵是找到天體運動與常規(guī)機械運動的聯(lián)系點——所在星球表面處重力加速度g，即分別由天體運動和常規(guī)機械運動求出重力加速度g：

下面試分類分析：

一、天體表面的自由落體運動

例1 宇航員在月球上做自由落體實驗，將某物體由距月球表面高h處釋放，經(jīng)時間t后落到月球表面（設月球半徑為R）。據(jù)上述信息推斷，飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動所必須具有的速率為（）

A． 2/t B． /t

C． /t D． /2t

分析 物體在月球表面高h處被釋放后將做自由落體運動，是自由落體運動與天體運動相結合。由h=g′t2，求得月球表面附近的重力加速度g′=。再由mg′=G=m，得v=，故B正確。

值得注意的是有的同學認為物體是在月球表面高h處被釋放的，故軌道半徑r=R+h，其實做自由落體實驗，h應遠遠小于R，方可認為g′不變，故軌道半徑r=R。

二、天體表面的豎直上拋運動

例2 宇航員在地球表面以一定初速度豎直向上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處，若他在某星球表面以相同的初速度豎直向上拋同一小球，小球落回原處需經(jīng)過時間5t。（取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空氣阻力不計）

（1）求該星球表面附近的重力加速度g′；

（2）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地=1∶4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星∶M地。

分析 宇航員將小球拋出后，小球做豎直上拋運動，是豎直上拋運動與天體運動相結合。

（1）由豎直上拋運動的對稱性可知：=t上=t下=，即t＝，5t＝，

所以g′=g=2 m/s2。

（2）對星球表面處的物體m有：mg=G，所以M=，可解得：

==。

三、天體表面的平拋運動

例3 在勇氣號火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來。假設著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v0。求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計大氣阻力。已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T?；鹦强梢暈榘霃綖閞0的均勻球體。

分析 著陸器第一次到達最高點時速度方向是水平的，則從此時刻起到它第二次落到火星表面將做平拋運動，是平拋運動與天體運動相結合。設火星表面附近的重力加速度為g′，火星的質(zhì)量為M，火星的衛(wèi)星質(zhì)量為m，火星表面處某一物體的質(zhì)量為m′，由萬有引力定律和牛頓第二定律，有：

對火星表面上的某一物體：G=m′g′，

對火星的衛(wèi)星：G=m2r ，

設v表示著陸器第二次落到火星表面時的速度，它的豎直分量為v1，水平分量仍為v0，則有v12=2g′h，v2=v12+v20

解以上各式，得：v=。

例4 宇航員站在某一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經(jīng)過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L。若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為L。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為G。求該星球的質(zhì)量M。

分析 小球作兩次平拋運動且高度相同，是平拋運動與天體運動的結合。

設拋出點的高度為h，第一次平拋的水平射程為x，則有x2+h2=L2，

根據(jù)平拋運動規(guī)律，初速度增大為2倍，水平射程也增大為2x，有（2x）2+h2=（L），

由以上兩式解得h=。

設該星球上的重力加速度為g，由平拋運動的規(guī)律得h=gt2，

由萬有引力定律與牛頓第二定律得=mg（式中m為小球的質(zhì)量），

聯(lián)立以上各式得：M=。

四、天體表面的曲線運動

例5 蕩秋千是大家喜愛的一項體育活動。隨著科技的迅速發(fā)展，將來的某一天，同學們也許會在其它星球上享受蕩秋千的樂趣。假設你當時所在星球的質(zhì)量是M、半徑為R，可將人視為質(zhì)點，秋千質(zhì)量不計、擺長不變、擺角小于90°，萬有引力常量為G。那么，

（1）該星球表面附近的重力加速度g等于多少？

（2）若經(jīng)過最低位置的速度為v0，你能上升的最大高度是多少？

分析 人在蕩秋千時做圓周運動，是曲線運動與天體運動的結合。

（1）設人的質(zhì)量為m，在星球表面附近的重力等于萬有引力，有mg=G，

解得：g=。

（2）設能上升的最大高度為h，由功能關系得mgh=mv20，

解得：h=。

五、天體表面的機械振動

例6 我國探月的“嫦娥工程”已啟動，在不久的將來，我國宇航員將登上月球。假如宇航員在月球上測得擺長為l的單擺做小振幅振動的周期為T，將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，則月球的密度為（）

A． B．

C． D．

分析 此題是做機械振動的單擺與天體運動相結合。

設月球表面附近的重力加速度為g，由單擺周期公式T=2π得：g=，

又對月球表面處的物體m有：mg=G，解得：M==，

將月球視為均勻球體，體積V=πr3，得ρ==，故B正確。