劉家良

冪的運(yùn)算是整式乘（除）法運(yùn)算的基礎(chǔ)，也是歷年中考試題的高頻考點(diǎn)，多以選擇、填空的形式呈現(xiàn)，主要考查冪的三個(gè)運(yùn)算法則的正確運(yùn)用.

一、同底數(shù)冪的乘法：底數(shù)不變，指數(shù)相加

例1（2021·江蘇·鹽城）計(jì)算a2·a的結(jié)果是（ ）.

A.? a2 B. a3 C. a D. 2a2

解：a2·a = a2·a1 = a3.

故應(yīng)選B.

點(diǎn)評(píng)：將a視為a1，化為同底數(shù)冪積的形式. 理解同底數(shù)冪的乘法法則的條件（冪的底數(shù)相同，冪與冪之間為相乘關(guān)系）是正確使用公式作答的關(guān)鍵.

二、冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘

例2（2021·四川·瀘州）已知10a = 20，100b = 50，則[12]a + b + [32]的值是（ ）.

A. 2 B. [52] C. 3 D. [92]

解：∵10a × 100b = 10a × （102）b = 10a × 102b = 10a + 2b，1000 = 103，

∴10a + 2b = 20 × 50 = 103，∴a + 2b = 3，∴[12]a + b + [32] = [a+2b+32] = 3.

故應(yīng)選C.

點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是將100b化成（102）b，即冪的乘方形式，再由冪的乘方法則得到102b，這種對(duì)公式的逆用是冪運(yùn)算中經(jīng)常用到的技巧. 同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，都是底數(shù)不變，不同之處是同底數(shù)冪的乘法是指數(shù)相加，冪的乘方是指數(shù)相乘，計(jì)算之前一定要看清是哪種運(yùn)算形式.

三、積的乘方：先把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得冪相乘

例3（2021·浙江·麗水）計(jì)算（-a）2·a4的結(jié)果是（ ）.

A. a6 B. -a6 C. a8 D. -a8

解：（-a）2·a4 = （-1 × a）2·a4 = （-1）2a2·a4 = a6.

故應(yīng)選A.

點(diǎn)評(píng)：求積的乘方，需分兩步走：一是把各因式分別乘方，二是把所得冪相乘. 此題將-a視為-1 × a，這樣求（-a）2則轉(zhuǎn)化為積的乘方.

注：負(fù)數(shù)的乘方，要注意其指數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)，以確定冪的符號(hào).

四、同底數(shù)冪的除法：底數(shù)不變，指數(shù)相減

例4（2021·重慶）計(jì)算x4 ÷ x結(jié)果正確的是（ ）.

A. x4 B. x3 C. x2 D. x

解：x4 ÷ x = x4 - 1 = x3. 故應(yīng)選B.

點(diǎn)評(píng)：將x視為x1，這樣所求式子就轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的除法.

五、從冪的乘除運(yùn)算中選擇正確的運(yùn)算結(jié)果，需要留意法則的條件和準(zhǔn)確記憶法則的結(jié)論

例5（2021·湖南·衡陽）下列運(yùn)算結(jié)果為a6的是（ ）.

A. a2·a3 B. a12 ÷ a2 C. （a3）2 D. [12a32]

解：選項(xiàng)A的結(jié)果是a5，選項(xiàng)B的結(jié)果是a10，選項(xiàng)D的結(jié)果是[14]a6，只有選項(xiàng)C的結(jié)果是a6.

故應(yīng)選C.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)的乘方不是將數(shù)與指數(shù)相乘，如[12a32]= [122a6]，而[122]≠ [12] × 2，還要將冪的乘法運(yùn)算法則與整式加減運(yùn)算法則即合并同類項(xiàng)的法則區(qū)別開來.

例6（2021·新疆）下列運(yùn)算正確的是（ ）.

A. 2x2 + 3x2 = 5x2 B. x2·x4 = x8

C. x6 ÷ x2 = x3 D. （xy2）2 = xy4

解：2x2 + 3x2 = （2 + 3）x2 = 5x2;x2·x4 = x2 + 4 = x6;

x6 ÷ x2 = x6 - 2 = x4;（xy2）2 = x2y4.

故應(yīng)選A.

點(diǎn)評(píng)：同底數(shù)冪的乘法法則與合并同類項(xiàng)法則容易混淆，注意法則條件的對(duì)比是解題的關(guān)鍵.

對(duì)于相近或易混淆的法則、公式，同學(xué)們?cè)诎盐障嗤c(diǎn)的同時(shí)，還要留意不同點(diǎn)，這樣方能做到正確運(yùn)用法則、公式解題.

（作者單位：天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué)）

同類演練

1. （2021·湖北·宜昌）下列運(yùn)算正確的是（ ）.

A. x3 + x3 = x6 B. 2x3 - x3 = x3 C. （x3）2 = x5 D. x3·x3 = x9

2. （2021·湖南·長沙）下列計(jì)算正確的是（ ）.

A. a3·a2 = a5 B. 2a + 3a = 6a C. a8 ÷ a2 = a4 D. （a2）3 = a5

3. （2021·湖南·常德）下列計(jì)算正確的是（ ）.

A. a3·a2 = a6? ? B. a2 + a2 = a4? ? C. （a3）2 = a5? ? D. [a3a2] = a（a ≠ 0）

4. （2021·浙江·臺(tái)州）下列運(yùn)算中，正確的是（ ）.

A. a2 + a = a3? B. （-ab）2 = -ab2? C. a5 ÷ a2 = a3 ? D. a5·a2 = a10

答案：1. B 2. A 3. D 4. C