分式是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是歷年各地中考關(guān)注的熱點，而近年來各地中考試卷中除了沿襲傳統(tǒng)的題型外，還出現(xiàn)了大量的創(chuàng)新型試題。針對這一動向，現(xiàn)舉例說明，希望對同學們的學習有所幫助。

一、判斷正誤題

例1對于試題“先化簡，再求值：－，其中x=2”，某同學寫出了如下解答：

解：－=+=+=x－3+(x+1)=x－3+x+1=2x－2。

當x=2時，原式=2×2－2=2。

她的解答正確嗎？如不正確，請你寫出正確解答。

解析本題是一道與分式運算有關(guān)的探索解題過程正誤題，觀察所給出的解題過程可知，前兩步的通分是正確的，但到第三步出現(xiàn)了錯誤，錯誤的原因是把分式的分母去掉了，違背分式加減運算中通分的法則。

正確解答過程是：－=+=+=。

當x=2時，原式==。

點評本題主要考查對分式運算的理解和掌握，分式的運算不能等同于解方程中的去分母。

二、開放性問題

例2先化簡代數(shù)式÷－1，然后選擇一個使原式有意義的a，b值代入求值。

解析這是一道開放型試題，開放的是最后的結(jié)果。如若求值，需先將求值式化簡，然后選擇一個使原式“有意義”的a，b值代入求值即可。但一定要注意這里的“有意義”，即所取的a，b值不能使原分式的所有分母及第二個分式的分子為零，即a≠－2b且a≠b；另外，所取的a，b的值應(yīng)使運算越簡單越好。

÷－1=×－1

=－==。

當a=2，b=1時，原式==。（答案不唯一，只要所取的a，b的值滿足a≠－2b且a≠b即可）

例3請以下列三個代數(shù)式中任選兩個構(gòu)造一個分式，并化簡該分式。

a2－1 ab－bb+ab

解析要求從三個代數(shù)式中任選兩個構(gòu)造一個分式，這樣就有六種組合，只要任選一種即可，本題是開放題，答案不唯一，例如：a2－1和ab－b就有兩種情況：

==，或==。

點評開放性問題的答案一般是不唯一的，它重點考查同學們的創(chuàng)新意識和能力。這種題型是近幾年來中考題的新亮點，它通過“一題多變”與“一題多解”來考查同學們的發(fā)散思維能力。

三、閱讀理解題

例４解答一個問題后，將結(jié)論作為條件之一，提出與原問題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原問題的一個“逆向”問題。例如，原問題是“若矩形的兩邊長分別為3和4，求矩形的周長”，求出周長等于14后，它的一個“逆向”問題可以是“若矩形的周長為14，且一邊長為3，求另一邊的長”；也可以是“若矩形的周長為14，求矩形面積的最大值”，等等。

（１）設(shè)A＝－，B＝，求A與B的積；

（2）提出（1）的一個“逆向”問題，并解答這個問題。

解析 （1）A×B=－×=×

=3x+6-x+2=2x+8；

（2）從提供的素材中可見“逆向”問題就是將原問題的結(jié)論、結(jié)果反過來作為題設(shè)。因此，根據(jù)（1）的結(jié)果，可得（1）的一個“逆向”問題是：設(shè)B＝，A與B的積是2x+8，求A。

A=（2x+8）÷B=（2x+8）÷=（2x+8）×=。

點評本題是一道定義性的閱讀理解題，問題解決的關(guān)鍵在于通過閱讀題目提供的素材，理解“逆向”問題與原問題的關(guān)系。要想正確提出原問題的一個“逆向”問題，首先必須正確解決好原問題。

四、說明理由題

例５已知y=÷－+1，試說明在右邊代數(shù)式有意義的條件下，不論x為何值，y的值不變。

解析初看本題，感覺較難，實際上，本題是一道分式化簡題。解決本題首先要按順序進行運算，先算除法，再算加減，根據(jù)最后的結(jié)果說明y的值與字母x的值無關(guān)。

因為y=÷－+1＝÷－+1

＝×－+1＝－+1＝1。

所以，在右邊代數(shù)式有意義的條件下，不論x為何值，y的值不變。

點評分式運算的關(guān)鍵在于掌握分式的運算順序、分式通分、約分的方法。解答和分式化簡有關(guān)的說理型試題，應(yīng)理解其解決的方法是先化簡，后說理。

五、探索規(guī)律題

例6由==1-，==-，==-，…

你能總結(jié)出=？（n為正整數(shù)）

并試著化簡+++…+。

解析可利用已知條件找出式子中的規(guī)律，即=－。然后利用這一規(guī)律化簡、計算即可。

因為=－，

所以+++…+

=-+-+-+…+-=-=。

點評規(guī)律探索題是近幾年來中考命題的熱點，主要考查同學們的觀察能力、歸納能力和合情猜想能力。解答這類題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，對于分式而言，主要觀察分子和分母的特征與變化規(guī)律。

六、生活應(yīng)用題

例７a克糖水中含b克糖（a>b>0），則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比是多少？若再添加c克糖（假定添加的糖全部溶解），則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比是多少？生活常識告訴我們：添加的糖完全溶解后，糖水會更甜，請根據(jù)所列式子及生活常識，猜想出一個不等式，并運用所學知識加以證明。

解析糖的質(zhì)量與糖水比為，當添加c克糖后，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比是，生活常識告訴我們糖水更甜，那就是添加糖后，糖水中糖的含量增加了，即>。利用數(shù)學知識證明如下：

∵ a>b，c>0，∴ ac>bc，∴ ac+ab>bc+ab，即a(c+b)>b(c+a)。

又∵ a(a+c)>0，∴ >，即>。

點評生活中處處存在著數(shù)學問題，只要你留意，總會有收獲的。利用這個不等式，請你比較下面三個數(shù)的大小：，，。